2023年人教版七年級上冊同步講義：09 有理數(shù)加減混合運(yùn)算 （含解析）

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2023年人教版七年級上冊同步講義：09有理數(shù)加減混合運(yùn)算

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．會把有理數(shù)的加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算；

2．熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算及其運(yùn)算順序；

3．能根據(jù)具體問題，適當(dāng)運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡化運(yùn)算。

知識梳理

知識點(diǎn)1．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

(1)將減法轉(zhuǎn)化為加法，然后去掉括號和加號．

(2)運(yùn)用加法法則和運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．

知識點(diǎn)2．加法運(yùn)算律

(1)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(2)交換律：a＋b＝b＋a.

方法規(guī)律總結(jié)：有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

規(guī)則：運(yùn)用減法法則將加減混合運(yùn)算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運(yùn)算

步驟：（1）減法化加法；

（2）省略括號和加號；

（3）運(yùn)用加法運(yùn)算律使計(jì)算簡便；

（4）運(yùn)用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計(jì)算。

注：運(yùn)用加法運(yùn)算律時，可按如下幾點(diǎn)進(jìn)行：

（1）同號的先結(jié)合；

（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；

（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；

（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；

（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。

考點(diǎn)解析

考點(diǎn)1.加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算

【例題1】將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法將它讀出來．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

考點(diǎn)2.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

【例題2】計(jì)算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；

(3)－－(－)＋(－)．

考點(diǎn)3.利用有理數(shù)加減運(yùn)算解決實(shí)際問題

【例題3】下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內(nèi)的水位變化情況(“＋”號表示水位比前一天上升，“－”號表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達(dá)到警戒水位．單位：米).

星期一二三四五六日

水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01

(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？

(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？

考點(diǎn)精練

一、選擇題

1.計(jì)算1—2+3—4+5—6++2023—2023的結(jié)果是（）

A．—2023B．—1007C．—1D．0

2．某地一天早晨的氣溫是℃，中午溫度上升了12℃，半夜又下降了8℃，則半夜的氣溫是（）

A．℃B．℃C．2℃D．6℃

3．如果是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為（）

A．0B．1或C．0或D．2或

4.（2022內(nèi)蒙古包頭）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則的值為（）

A.B.C.D.16

5.（2022河北）與相等的是（）

A.B.C.D.

二、填空題

1.某天上午的溫度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空氣南下，到夜間

又下降了9℃，則這天夜間的溫度是℃。

2.將中的減法改成加法并寫成省略加號的代數(shù)和的形式應(yīng)是。

3．如果，且，則的值是______．

三、解答題

1.計(jì)算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)

2.計(jì)算：

3.計(jì)算1—2+3—4+5—6+…+2023—2023

4．某出租車周日下午以鐘樓為出發(fā)點(diǎn)在東西方向的大街上行駛，規(guī)定向東為正方向，行駛里程按時間順序記錄如下（單位：km）

＋9，－3.5，－5，＋4.5，－8，＋6.5，－3，－6，＋4，＋10.5

（1）出租車最后在鐘樓的什么方向，離鐘樓多遠(yuǎn)？

（2）若出租車按每千米2.4元收費(fèi)，油費(fèi)為每千米0.8元，該出租車周日下午的凈收入是多少？

答案解析

考點(diǎn)解析

考點(diǎn)1.加減混合運(yùn)算統(tǒng)一成加法運(yùn)算

【例題1】將下列式子寫成省略括號和加號的形式，并用兩種讀法將它讀出來．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)

【答案】見解析。

【解析】先把加減法統(tǒng)一成加法，再省略括號和加號；讀有理式，式子中第一項(xiàng)的符號，要作為這一項(xiàng)的符號讀出正負(fù)來，式子中的符號就讀作加或減．

(－13)－(－7)＋(－21)－(＋9)＋(＋32)＝－13＋7－21－9＋32.

讀法①：負(fù)13、正7、負(fù)21、負(fù)9、正32的和；

讀法②：負(fù)13減去負(fù)7減去21減去9加上32.

【方法總結(jié)】注意掌握括號前是“＋”號時，將括號連同它前邊的“＋”號去掉，括號內(nèi)各項(xiàng)都不變；括號前是“－”號時，將括號連同它前邊的“－”去掉，括號內(nèi)各項(xiàng)都要變號．

考點(diǎn)2.有理數(shù)的加減混合運(yùn)算

【例題2】計(jì)算：(1)－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|；

(2)－14＋11－(－12)－14＋(－11)；

(3)－－(－)＋(－)．

【答案】見解析。

【解析】本題根據(jù)有理數(shù)加減互為逆運(yùn)算的關(guān)系把減法統(tǒng)一成加法，省略加號后，運(yùn)用加法運(yùn)算律，簡化運(yùn)算，求出結(jié)果．其中互為相反數(shù)的兩數(shù)先結(jié)合；能湊成整數(shù)的各數(shù)先結(jié)合．另外，同號各數(shù)先結(jié)合；同分母或易通分的各數(shù)先結(jié)合．

（1）－9.2－(－7.4)＋9＋(－6)＋(－4)＋|－3|

＝－9.2＋7.4＋9.2＋(－6.4)＋(－4)＋|－3|

＝－9.2＋7.4＋9.2－6.4－4＋3

＝(－9.2＋9.2)＋(7.4－6.4)－4＋3

＝0＋1－4＋3

＝0；

（2）－14＋11－(－12)－14＋(－11)

＝－14＋11＋12－14－11

＝(－14＋12)＋(11－11)－14

＝－2＋0－14

＝－16；

（3）－－(－)＋(－)

＝－＋－

＝(＋)＋(－－)

＝1＋(－)

＝.

【方法總結(jié)】(1)為使運(yùn)算簡便，可適當(dāng)運(yùn)用加法的結(jié)合律與交換律．在交換加數(shù)的位置時，要連同前面的符號一起交換．(2)注意同分母分?jǐn)?shù)相加，互為相反數(shù)相加，湊成整數(shù)的數(shù)相加，這樣計(jì)算簡便．(3)當(dāng)一個算式中既有小數(shù)又有分?jǐn)?shù)時，一般要統(tǒng)一，具體是統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)還是小數(shù)，要看哪一種計(jì)算簡便．

考點(diǎn)3.利用有理數(shù)加減運(yùn)算解決實(shí)際問題

【例題3】下表是某水位站記錄的潮汛期某河流一周內(nèi)的水位變化情況(“＋”號表示水位比前一天上升，“－”號表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好達(dá)到警戒水位．單位：米).

星期一二三四五六日

水位變化0.20.81－0.350.130.28－0.36－0.01

(1)本周哪一天河流水位最高，哪一天河流水位最低，它們位于警戒水位之上還是之下，與警戒水位的距離分別是多少？

(2)與上周末相比，本周末河流的水位是上升還是下降了？

【答案】見解析。

【解析】(1)先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．理解表中的正負(fù)號表示的含義，根據(jù)條件計(jì)算出每天的水位即可求解；(2)只要觀察星期日的水位是正負(fù)即可．

解：(1)以警戒水位為基準(zhǔn)，前兩天的水位是上升的，星期一的水位是＋0.20米；星期二的水位是＋0.20＋0.81＝1.01米；星期三的水位是＋1.01－0.35＝＋0.66米；星期四的水位是：＋0.66＋0.13＝0.79米；星期五的水位是：0.79＋0.28＝1.07米；

星期六的水位是：1.07－0.36＝0.71米；

星期日的水位是：0.71－0.01＝0.7米；

則水位最低的一天是第一天，高于警戒水位；

水位最高的是第5天；

（2）＋0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01＝＋0.7米；

則本周末河流的水位是上升了0.7米．

【方法總結(jié)】關(guān)鍵是分析題意列出算式，采用的數(shù)學(xué)思想是轉(zhuǎn)化思想，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．

考點(diǎn)精練

一、選擇題

1.計(jì)算1—2+3—4+5—6++2023—2023的結(jié)果是（）

A．—2023B．—1007C．—1D．0

【答案】B

【解析】1—2+3—4+5—6++2023—2023共有2023項(xiàng)，可以分1007項(xiàng)，每一項(xiàng)都是-1.這樣代數(shù)和為-1007

2．某地一天早晨的氣溫是℃，中午溫度上升了12℃，半夜又下降了8℃，則半夜的氣溫是（）

A．℃B．℃C．2℃D．6℃

【答案】C

【解析】溫度上升是加法，溫度下降是減法，據(jù)此列式計(jì)算即可．

由題意得：-2+12-8=2（℃），故選：C．

此題考查有理數(shù)加減法解決實(shí)際問題，正確理解上升與下降的含義列算式計(jì)算是解題的關(guān)鍵．

3．如果是非零有理數(shù)，且，那么的所有可能的值為（）

A．0B．1或C．0或D．2或

【答案】D

【解析】由、、是非零有理數(shù)，且可得，當(dāng)a、b為正數(shù)時，則c為負(fù)；當(dāng)a為正數(shù)時，則b、c為負(fù)；分情況討論求的值．

、、為非零有理數(shù)，且

、、只能為兩正一負(fù)或一正兩負(fù).

①當(dāng)、、為兩正一負(fù)時，設(shè)、為正，為負(fù)

原式

②當(dāng)、、為一正兩負(fù)時，設(shè)為正，、為負(fù)

原式

綜上，的值為2或-2，

故選D．

此題考查了絕對值，有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．

4.（2022內(nèi)蒙古包頭）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則的值為（）

A.B.C.D.16

【答案】C

【解析】根據(jù)a，b互為相反數(shù)，可得，c的倒數(shù)是4，可得，代入即可求解．

∵a，b互為相反數(shù)，

∴，

∵c的倒數(shù)是4，

∴，

∴，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的求值問題，利用已知求得，是解題的關(guān)鍵．

5.（2022河北）與相等的是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】根據(jù)，分別求出各選項(xiàng)的值，作出選擇即可．

A.，故此選項(xiàng)符合題意；

B.，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.，故此選項(xiàng)不符合題意；

D.，故此選項(xiàng)不符合題意．

【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，熟練掌握有理數(shù)的加減混合運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．

二、填空題

1.某天上午的溫度是5℃，中午又上升了3℃，下午由于冷空氣南下，到夜間

又下降了9℃，則這天夜間的溫度是℃。

【答案】-1

【解析】5℃+3℃-9℃=-1℃

2.將中的減法改成加法并寫成省略加號的代數(shù)和的形式應(yīng)是。

【答案】6-3+7-2

【解析】=6-3+7-2

3．如果，且，則的值是______．

【答案】2或6

【解析】首先根據(jù)絕對值的意義求得a，b的值，再由|a+b|=a+b確定出a與b的對應(yīng)值有兩種可能性，然后分別代入a-b，根據(jù)有理數(shù)的減法法則計(jì)算即可．

∵|a|=4，|b|=2，

∴a=±4,b=±2，

∵|a+b|=a+b，

∴a+b>0，

∴a=4，b=2或a=4，b=-2，

當(dāng)a=4，b=2時，a-b=4-2=2；

當(dāng)a=4，b=-2時，a-b=4-(-2)=4+2=6，

故a-b的值為：2或6，

故答案為：2或6.

本題考查了有理數(shù)的減法，絕對值的性質(zhì)，難點(diǎn)在于確定出a、b的對應(yīng)情況.

三、解答題

1.有理數(shù)加減混合計(jì)算：(－2)＋(+30)－(－15)－(＋27)

【答案】16

【解析】減法轉(zhuǎn)化成加法后按有理數(shù)加法法則計(jì)算

原式＝(－2)＋(＋30)＋(＋15)＋(－27)

＝[(－2)＋(－27)]＋[(＋30)＋(＋15)]

＝(－29)＋(＋45)

＝16

2.計(jì)算：

【答案】8

【解析】根據(jù)有理數(shù)的減法法則和加法法則計(jì)算即可。

=

=

=

=8

3.計(jì)算1—2+3—4+5—6+…+2023—2023

【答案】—1010

【解析】1—2+3—4+5—6++2023—2023共有1010項(xiàng)，

可以分1010項(xiàng)，每一項(xiàng)都是-1.這樣代數(shù)和為-1010

4．某出租車周日下午以鐘樓為出發(fā)點(diǎn)在東西方向的大街上行駛，規(guī)定向東為正方向，行駛里程按時間順序記錄如下（單位：km）

＋9，－3.5，－5，＋4.5，－8，＋6.5，－3，－6，＋4，＋10.5

（1）出租車最后在鐘樓的什么方向，離鐘樓多遠(yuǎn)？

（2）若出租車按每千米2.4元收費(fèi)，油費(fèi)為每千米0.8元，該出租車周日下午的凈收入是多少？

【答案】（1）出租車離鐘樓9km，在鐘樓的東方；（2）96元

【解析】首先審清題意，明確“正”和“負(fù)”所表示的意義；再根據(jù)題意作答．

（1）將最后一名乘客送到目的地時，出租車的位置應(yīng)該是所有正、負(fù)數(shù)的和；

（2）求該司機(jī)這天下午的營業(yè)額，應(yīng)先求