線性代數(shù)課件

定義設(shè)V

是數(shù)域F上的向量空間，a1

,a

2

,,am

?

V

。若（1）a1

,a

2

,,am

線性無關(guān)；（2）V

中任一向量a

均可由a1

,a

2

,,am線性表出，即存在m在個數(shù)a1

,a2

,,am

?

F，使a

=

a1a1

+

a2a

2

+

+

amam則稱a1

,a

2

,,am

是V

的一個基，稱m為V的維數(shù)，記為維(V

)或dim(V

)。例設(shè)F是數(shù)域，在向量空間F

n中考慮n元基本向量組e1

=

(1,0,,0),

e2

=

(0,1,0,,0),,

en

=

(0,0,,1)因為對任意a

=(a1

,a2

,,an

)?

F

n，均有a

=

a1e1

+

a2e2

+

+

anen且

e1

,

e2

,,

en

線性無關(guān)，故

e1

,

e2

,,

en是向量空間

Fn

的一組基（稱之為

Fn

的自然基），同時維(

Fn)

=

n。例

設(shè)

A

?

F

m·n

，秩(

A)

=

r

(1

￡

r

<

n)

，則N

(

A)是

F

n

的子空間。任取齊次線性方程組

AX

=

0的一個基礎(chǔ)解系

X1

,

X

2

,...,

Xn-r

，容易看出它們就是

N

(

A)

的一個基，因此維[N

(A)]=n

-r。定理設(shè)A

?

F

m·n

，則維(N

(A))+維(R(AT

))=n例求齊次線性方程組

x1

2x1-

x1+

2x2+

4

x2-

2x2+++x33x3x3+++x4x43x4+

x5+

x5-

3x5=

0=

0=

02x3+4

x4-

2x5=

0的解空間的一個基和維數(shù)。解已知該方程組有基礎(chǔ)解系X1

=（-

2，1，0，0，0）,

X

2

=（-

2，0，1，1，0）,

X

3

=（-

2，0，1，0，1）因此，其解空間N

(A)的一個基為X1

,X

2

,X

3

，且其維數(shù)是3。▌例證明：（1）向量組a1

,a

2

,,am

的極大無關(guān)組都是生成子空間

L(a1

,a

2

,...,a

m

)

的基；（2）維[

L(a1

,a

2

,,am

)

]

=

秩{

a1

,a

2

,,am

}定理設(shè)V是m維向量空間，則V中任意m個線性無關(guān)的向量都可構(gòu)成V

的基。例已知R4

中的三個向量a1

=

(1,2,0,1),a

2

=

(-1,1,1,1),a

3

=

(4,14,2,8)求L(a1

,a

2

,a

3

)的一個基及維數(shù)，并將這個基擴充為R4

的一個基。解令0

02

01

2

3

1

-

1 4

1

-

1

4

1

14

行fi

0

1

2

1

0

1

1 8

0

0

0A

=

[a

,a

,a

]

=

2由此得向量組a1

,a

2

,a

3的秩為2，且a1

,a

2

是一個極大無關(guān)組。于是，生成子空間L(a1

,a

2

,a

3

)的維數(shù)是2，且a1

,a

2

是它的一個基。構(gòu)造向量(0,0,1,0),(0,0,0,1)，由于1

2

3

40

0

=

[a

,a

,a

,a

]0001

-1

0 0

1

-1

0 0

0

1

0 0

1

1

0

1

1

0

0

0

0

1

1

1

0 1

行(逆向)fi

2因此，只需取

a

3

=

(0,1,0,0),a

4

=

(0,0,0,1)

，則

a1

,a

2

,a

3

,a

4

線性無關(guān)，即可作為

R4

的一個基。定義設(shè)V是m維向量空間，a1

,a

2

,,am

是V

的一個基。對任一a

?

V，設(shè)a

=

a1a1

+

a2a

2

+

...

+

amam則稱有序數(shù)組a1,a2

,...,am

為向量a

關(guān)于基a1

,a

2

,,am的坐標，記為(a1

,a2

,,am

)或。

m

a

a2

a1

▌例已知R3中的三個向量a1

=

(1,1,1),a

2

=

(1,1,0),a

3

=

(1,0,0)證明：a1

,a

2

,a

3

是R3

的一個基；求向量a

=(1,2,3)關(guān)于基a1

,a

2

,a

3的坐標解（1）

只須證a

1

,a

2

,a

3

線性無關(guān)；（2）

設(shè)a

=

x1a1

+

x2a

2

+

x3a

3把

a

,

a1

,

a

2

,

a

3

均表示為列向量，則有

3

x[a1

a

2

a

3

]

x2

=

a

x1

311

11

100

x0

x2

=

21

x1

1

2

10

3

-

1

=

-

1

2

3

1-1

1

3

x

3

1

1

x

=

1

1

00

x1

故a

關(guān)于基a1

,a

2

,a

3

的坐標為（3,-1,-1）。

定義設(shè)V

是m

維向量空間，a1

,a

2

,,am

與b1

,b2

,,bm

是V

的兩個基。設(shè)

b1

=

a11a1

+

a21a

2

+

+

am1a

m

b2

=

a12a1

+

a22a

2

+

+

am2a

mbm

=

a1ma1

+

a2ma

2

+

+

ammam令▌

mm

a1m

A

=

a

am1

m2a2m

a11

a12

a21

a22a則稱A是基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的過渡矩陣。上式可形式地記為b1

,

b2

,,

bm

]=

a1

,a

2

,,am

]A稱上面兩式為基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的基變換公式。例已知R3

的一組基b1

=

(1,2,1),

b2

=

(1,-1,0),

b3

=

(1,0,-1)求

R3

的自然基

e1

,

e2

,

e3

到基

b1

,

b2

,

b3

的過渡矩陣。解因為b1

=

e1

+

2e2

+

e3b2

=

e1

-

e2b3

=

e1

-

e3故[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]A其中

1

1

1

1

-

1

A

=

2

-

1

0

0是自然基e1

,e2

,e3

到基b1

,b2

,b3

的過渡矩陣。性質(zhì)（1）過渡矩陣是可逆矩陣；▌（2）若A是a1,a

2

,,a

m

到b1,b2

,,bm

的過渡矩陣。1

2

m矩陣，則A-1

是b

,b

,,b

到a1,a

2

,,a

m

的過渡定理設(shè)V是m維向量空間，a1

,a

2

,,am

與b1

,b2

,,bm

是V

的兩個基，a1

,a

2

,,am

到b1

,b2

,,bm的過渡矩陣為A。任取a

?

V

，設(shè)a

關(guān)于a1

,a

2

,,am的坐標為(x1

,x2

,,xm

)，關(guān)于基b1

,b2

,,bm

的坐標為(y1

,y2

,,ym

)，則

m

m

x

=

A

y

y1

x1

y2

-1

x2

稱上式為基a1

,a

2

,,am

到基b1

,b2

,,bm

的坐標變換公式。例已知R3的兩組基a1

=

(1,1,1),

a

2

=

(0,1,1),

a

3

=

(0,0,1)b1

=

(1,0,1),

b2

=

(0,1,-1),

b3

=（1，2，0）求a1,a2

,a3到

b1,

b2

,

b3

的過渡矩陣；求a

=（1，0，0）關(guān)于基b1,b2

,b3

的坐標。解（1）（法一）設(shè)A為所求過渡矩陣，則[b1,

b2

,

b3

]

=

[a1,a

2

,a3

]A把bi

,a

i

均寫成列向量，則[a1,a2

,a3

]是3階可逆矩陣。于是A

=

[a1,a2

,a3

]-1[b1,

b2

,

b3

]0

1

1

1

-

2

-

2

102

=

-

11

1

1

111

0

0

=

1

1

0

0

11

-

10-1

1（法二）取R3

的自然基e1

,e2

,e3，易得[a1

,a

2

,a

3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]P[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]Q其中0

1111

0

0

1

0

1

P

=

1

1

0,

Q

=

0

1

21

-

1∵[e1

,

e2

,

e3

]

=

[a1

,a

2

,a

3

]P

-1∴[b1

,

b2

,

b3

]

=

[a1

,a

2

,a

3

]P

-1Q由此得所求過渡矩陣為A

=

P

-1Q

-

21

0

11

111

0

0

1

1

0

1

=

1

1

0

0

1

2

=

-

1

11

-

1

-

20-1

1（2）設(shè)a

=y1b1

+y2b2

+y3b3∵[b1,

b2

,

b3

]

=

[e1,e2

,e3

]Q

0

1

a

=

[e1

,

e2

,

e3

]

0∴

0

-

10

=

2

1

2

-1

3

2

yy

=

Q

y1

即

a

關(guān)于

b1

,

b2

,

b3

的坐標為

(2,2,-1)。▌例已知向量空間F

3

的一個基b1

=

(0,1,1),

b2

=

(1,0,1),

b3

=

(1,1,0)解得

x1

=

0,

x2

=

3,

x3

=

-1

。所以，a

關(guān)于基

b1

,

b2

,

b3的坐標為(0,3,-1)。3

1

21

x

+

x

x

+

x

=

-1=

3求向量a

=(2,-1,3)關(guān)于基b1

,b2

,b3

的坐標。解（法一）令

a

=

x1b1

+

x2b2

+

x3b3

，則

x2

+

x3

=

2（法二）取

F

3

的自然基

e1

,

e2

,

e3

，容易得出b1

=

e2

+

e3

b2

=

e1

+

e3

b3

=

e1

+

e2寫成矩陣形式有

0

1

0

1

1

[b1

,

b2

,

b3

]

=

[e1

,

e2

,

e3

]

1

0

11因此，從基

e1,e2

,e3

到基

b1,

b2

,

b3

的過渡矩陣為

0

1

0

1

1

1

0

11已知a

關(guān)于自然基e1,e2

,e3

的坐標為(2,-1,3)，所以，根據(jù)坐標變換公式，a

關(guān)于基b1,b2

,b3的坐標為

-

1

=

3

0

3

-

1

1

0

1

1

0

111-1

2

0

▌例把R

2視為建立了直角坐標系Oxy的平面上全體有向線段的集合，則R

2即為平面空間。此時，R

2的自然基(1,0)，(0,1)

分別對應(yīng)x

軸和y軸上兩條起點在原點O、方向指向坐標軸正向、長為1fifi

fi的有向線段

i

和

j