控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1課件

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1數(shù)學(xué)模型的概念2.2控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型—?jiǎng)討B(tài)微分方程2.3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)2.4控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.5控制系統(tǒng)的信號流圖第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1數(shù)學(xué)模型的概念1數(shù)學(xué)模型所謂的數(shù)學(xué)模型，是指描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或各變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)定量分析的基礎(chǔ)。靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件下（即變量各階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)），各變量之間的代數(shù)方程。放大倍數(shù)動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程中，各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，如動(dòng)態(tài)微分方程等。2.1

數(shù)學(xué)模型的概念數(shù)學(xué)模型2.1數(shù)學(xué)模型的概念2微分方程：時(shí)域數(shù)學(xué)模型，是其它模型的基礎(chǔ)，直觀但求解繁瑣。傳遞函數(shù)：復(fù)域數(shù)學(xué)模型，是微分方程拉氏變換后的結(jié)果，是用的最多的一種數(shù)學(xué)模型。頻率特性函數(shù)：頻域數(shù)學(xué)模型，可直接用實(shí)驗(yàn)的方法獲得，有多種曲線表示方法，因而可用圖解法進(jìn)行分析。常用的數(shù)學(xué)模型有：

動(dòng)態(tài)微分方程、傳遞函數(shù)、響應(yīng)曲線、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖、信號流圖、脈沖響應(yīng)函數(shù)、頻率特性函數(shù)等。數(shù)學(xué)模型的類型：微分方程：常用的數(shù)學(xué)模型有：數(shù)學(xué)模型的類型：3分析法：分析系統(tǒng)各部分的運(yùn)動(dòng)機(jī)理，根據(jù)它們所依據(jù)的特理或化學(xué)規(guī)律列寫相應(yīng)的動(dòng)動(dòng)方法。2)實(shí)驗(yàn)法：人為地給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近，這種方法稱為系統(tǒng)辨識。建立數(shù)學(xué)模型的方法分析法：建立數(shù)學(xué)模型的方法4分析系統(tǒng)，忽略一些次要因素，合理簡化，確定其輸入量、輸出量和中間變量；根據(jù)相關(guān)基本定律，列寫各部分的微分方程；消去中間變量，得到只包含輸入量和輸出量的微分方程；將方程式化成標(biāo)準(zhǔn)形。與輸出量有關(guān)的放在左邊，與輸入量有關(guān)的放在右邊，導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降階排列。2.2控制系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型—?jiǎng)討B(tài)微分方程1.列寫微分方程的一般步驟分析系統(tǒng)，忽略一些次要因素，合理簡化，確定其輸入量、輸出量和5uoui例：RC電路+-uiuo+-CiR輸入量：輸出量：（1）

確定輸入和輸出量（2）

建立初始微分方程組（3）消除中間變量，使式子標(biāo)準(zhǔn)化可用一階常系數(shù)線性微分方程描述，為一階系統(tǒng)。ui=Ri+uoi=CduodtRCduodt+uo=ui2.典型系統(tǒng)微分方程的建立uoui例：RC電路+-uiuo+-CiR輸入量：輸出量：（6例2-8:下圖所示RLC電路，試列寫以u1為輸入量，以u2為輸出量的微分方程。輸入量：ui輸出量：uo根據(jù)基爾霍夫定律，可得系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程：可用二階線性微分方程描述，對應(yīng)二階系統(tǒng)+-uiuo+-CiRL例2-8:下圖所示RLC電路，試列寫以u1為輸入量，以u2為7例2-10:彈簧阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)組成：物體m彈簧k阻尼器f輸入量：外力F彈簧系數(shù)km阻尼系數(shù)fF輸出量：物體的位移xx微分方程組:∑F=maF(t)–F2(t)–F1(t)=ma根據(jù)牛頓第二定律有:彈簧的彈力阻尼器阻尼力例2-10:彈簧阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)組成：物體m彈簧k阻尼器f輸入量8代入上式，消除中間變量得:其中，F(xiàn)1=fdxdtF2=kxa=d2xdt2彈簧的阻力：阻尼器的粘性摩擦阻力：加速度：可用二階線性微分方程描述，對應(yīng)二階系統(tǒng)代入上式，消除中間變量得:其中，F(xiàn)1=fdxdtF2=9相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。在方程中，占據(jù)相同位置的量，相似量。上面兩個(gè)例題介紹的系統(tǒng)，就是相似系統(tǒng)。例2-8例2-10相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的相似關(guān)系，便于我們使用一個(gè)簡單模型去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng)，也為控制系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ)。相似系統(tǒng)的定義：任何系統(tǒng)，只要它們的微分方程具有相同的形式。10實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常微分方程來描述，其一般形式為：3.線性微分方程的一般形式式中，系統(tǒng)的輸出量系統(tǒng)的輸入量實(shí)際物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，若用線性定常微分方程來描述，其一般形11從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來看，上述微分方程應(yīng)滿足以下約束條件：1）方程的系數(shù)為實(shí)常數(shù)，由系統(tǒng)自身參數(shù)決定；2）輸出量的最高階導(dǎo)數(shù)大于等于輸入量，即這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)均有慣性的儲能元件。從工程可實(shí)現(xiàn)的角度來看，上述微分方程應(yīng)滿足以下約束條件：124.非線性微分方程的線性化嚴(yán)格講，實(shí)際系統(tǒng)或多或少都有一定的非線性特性，為簡化分析，在一定的條件下，可忽略一些次要因素，將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)。方法：若系統(tǒng)在工作點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)均存在，則可將非線性方程在工作點(diǎn)處按泰勒級數(shù)展開，略去二階以上的高階項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)近似線性化。4.非線性微分方程的線性化嚴(yán)格講，實(shí)際系統(tǒng)或多或少都有一定13當(dāng)偏差較小時(shí)，略去二階以上小偏差量，可得：

例：將非線性系統(tǒng)y=f(x)在靜態(tài)工作點(diǎn)y0=f(x0)處作近似線性化處理。

寫為增量形式為：式中：（增量線性方程）解：在工作點(diǎn)處按泰勒級數(shù)展開：當(dāng)偏差較小時(shí)，略去二階以上小偏差量，可得：例：將非線性系統(tǒng)14線性化處理中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）必須確定系統(tǒng)的靜態(tài)工作點(diǎn)，在不同的工作點(diǎn)，非線性曲線的斜率是不同的。2）近似線性化略去了式中二階以上項(xiàng)，如果系統(tǒng)工作范圍較大，將帶來較大誤差。3）對于某些本質(zhì)非線性系統(tǒng)，不能采用近似線性化處理，只能采用非線性理論進(jìn)行分析處理線性化處理中應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）必須確定系統(tǒng)的靜態(tài)工作點(diǎn)，在15本質(zhì)非線性系統(tǒng)輸出0輸入(a)飽和非線性輸出0輸入(b)死區(qū)非線性本質(zhì)非線性系統(tǒng)輸出0輸入(a)飽和非線性輸出0輸入(b)162-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)微分方程是以時(shí)間t為變量的實(shí)域數(shù)學(xué)模型利用拉氏變換可將線性微分方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)域內(nèi)一種新的數(shù)學(xué)模型——傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可表征系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，而且可用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響，是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的一種數(shù)學(xué)模型。2-3控制系統(tǒng)的復(fù)域數(shù)學(xué)模型微分方程是以時(shí)間t為變量的實(shí)域171.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，若記為G(s)，則G(S)R(s)C(s)r(t)c(t)輸入量輸出量輸入量的拉氏變換輸出的量拉氏變換1.傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)（1）傳遞函數(shù)的定義：零初始條件下18例2-15求RLC電路的傳遞函數(shù)，設(shè)初始條件為零。+-uiuo+-CLRi解：系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)微分方程為：初始條為零時(shí)，方程兩邊取拉氏變換：可得，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為:

例2-15求RLC電路的傳遞函數(shù)，設(shè)初始條件為零。+-ui19線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：可得，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為：初始條件為零時(shí)，方程兩邊取拉變氏得：線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式為：可得，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形20（2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程相對應(yīng)。傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的一種屬性，取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和特征參數(shù)，與輸入量的大小和性質(zhì)無關(guān)。傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，因?yàn)槔献儞Q是一種線性變換。傳遞函數(shù)描述的是一對確定的變量之間的傳遞關(guān)系，對中間變量不反應(yīng)。（2）傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)是一種數(shù)學(xué)模型，與系統(tǒng)的微分方程21傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況。傳遞函數(shù)一般為復(fù)變量s的有理分式，即nm。并且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。若G(s)已知，則由即可研究在各種輸入作用下系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，因而它不能反映在非零初始條件222、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)式中：—分子多項(xiàng)式—分母多項(xiàng)式若：2、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)式中：—分子多項(xiàng)式—分母多項(xiàng)式若：232、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)2）使所對應(yīng)的點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)或稱為特征根。3）把這個(gè)方程稱為特征方程。1）使所對應(yīng)的點(diǎn)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)幾個(gè)重要概念：2、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)2）使所對應(yīng)的點(diǎn)，24例：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：則，系統(tǒng)的零點(diǎn)為：系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的極點(diǎn)（特征根）為：例：若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：則，系統(tǒng)的零點(diǎn)為：系統(tǒng)的特征方程為：253.傳遞函數(shù)的描述形式（2）零極點(diǎn)的描述形式（首Ⅰ型）式中，（1）一般形式——傳遞函數(shù)的n個(gè)極點(diǎn)——傳遞函數(shù)的m個(gè)零點(diǎn)——傳遞系數(shù)3.傳遞函數(shù)的描述形式（2）零極點(diǎn)的描述形式（首Ⅰ型）式26（3）時(shí)間常數(shù)的描述形式（尾Ⅰ型）式中，——分子、分母各因子的時(shí)間常數(shù)——傳遞函數(shù)的放大系數(shù)或增益（3）時(shí)間常數(shù)的描述形式（尾Ⅰ型）式中，——分子、分母各因27（4）傳遞函數(shù)有共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)和零值極點(diǎn)時(shí)式中，（4）傳遞函數(shù)有共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)和零值極點(diǎn)時(shí)式中，28系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般可看作由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。研究和掌握這些典型環(huán)節(jié)的特性將有助于對系統(tǒng)性能的了解。

常見的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)等。

4.典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)任一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)都可表示為：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一般可看作由若干個(gè)典型環(huán)節(jié)組成。研究和掌握這些29c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)拉氏變換:傳遞函數(shù):（1）比例環(huán)節(jié)微分方程:K----環(huán)節(jié)的放大系數(shù)R(s)C(s)G(s)==KKR(s)C(s)環(huán)節(jié)的特點(diǎn):

輸入與輸出成比例關(guān)系，無失真和時(shí)間延遲。比例環(huán)節(jié)方框圖

單位階躍響應(yīng)曲線:ty(t)r(t)tk1c(t)=Kr(t)C(s)=KR(s)拉氏變換:傳遞函數(shù):30比例環(huán)節(jié)實(shí)例由線性電位器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)：K=R2+R1R2uc(t)+-R1R2+-ur(t)比例環(huán)節(jié)實(shí)例由線性電位器構(gòu)成的比例環(huán)節(jié)：K=R2+R1R31（2）慣性環(huán)節(jié)微分方程:T—慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)取拉氏變換：傳遞函數(shù):（2）慣性環(huán)節(jié)微分方程:T—慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)取拉氏變換：傳32（2）慣性環(huán)節(jié)方框圖R(s)C(s)Ts+11單位階躍響應(yīng)：慣性環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)函數(shù)：（2）慣性環(huán)節(jié)方框圖R(s)C(s)Ts+11單位階躍響應(yīng)33單位階躍響應(yīng)曲線：0tc(t)0.6320.8650.950.9821.0T2T3T4T是一條按指數(shù)規(guī)律上升的曲線。慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn):只有一個(gè)極點(diǎn)：輸出量不能立即復(fù)現(xiàn)輸入量的變化，即輸出響應(yīng)需要一定時(shí)間，T越大慣性越大。輸出穩(wěn)態(tài)值單位階躍響應(yīng)曲線：0tc(t)0.6320.8650.95034慣性環(huán)節(jié)實(shí)例RC電路構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)+-u1u2+-CiR動(dòng)態(tài)方程傳遞函數(shù)式中，慣性環(huán)節(jié)實(shí)例RC電路構(gòu)成的慣性環(huán)節(jié)+-u1u2+-CiR35微分方程：（3）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的輸出量與輸入量的積分成正比。微分方程：（3）積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：單位階躍響應(yīng)：特點(diǎn)：環(huán)節(jié)的36單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)特點(diǎn)：當(dāng)輸入階躍函數(shù)時(shí)，該環(huán)節(jié)的輸出隨時(shí)間線性增長，增長速度由ε決定。當(dāng)輸入突然除去，積分停止，輸出維持不變，故有記憶功能。單位階躍響應(yīng)曲線r(t)t0c(t)1c(t)r(t)特點(diǎn)37（4）微分環(huán)節(jié)1）理想微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)：特點(diǎn):輸出量反映了輸入量的變化率，而不反映輸入量本身的大小。動(dòng)態(tài)方程：—脈沖函數(shù)傳遞函數(shù)：（4）微分環(huán)節(jié)1）理想微分環(huán)節(jié)單位階躍響應(yīng)：特點(diǎn):38單位階躍響應(yīng)曲線在單位階躍輸入作用下，其輸出為脈沖函數(shù)，由于慣性的作用，理想脈沖實(shí)際中是不可能實(shí)現(xiàn)的。r(t)t0c(t)c(t)r(t)單位階躍響應(yīng)曲線在單位階躍輸入作用下，其輸出為脈沖函數(shù)39近似理想微分環(huán)節(jié)實(shí)例+-uc+-CRurRC電路構(gòu)成的微分環(huán)節(jié)，當(dāng)τ<<

1時(shí)，

----近似為理想微分環(huán)節(jié)近似理想微分環(huán)節(jié)實(shí)例+-uc+-CRurRC電路構(gòu)成的402）實(shí)際微分環(huán)節(jié)