圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)課件

圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)2023/7/31圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)2023/7/27圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌1BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫(huà)問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)BDACABCD哥尼斯堡七空橋一筆畫(huà)問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌2應(yīng)用及解決的問(wèn)題配送運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題物流車輛規(guī)劃調(diào)度系統(tǒng)物流園區(qū)規(guī)劃圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)應(yīng)用及解決的問(wèn)題配送運(yùn)輸規(guī)劃問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)3一、

圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識(shí)（一）、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本概念

EADCB1、一個(gè)圖是由點(diǎn)和連線組成。（連線可帶箭頭，也可不帶，前者叫弧，后者叫邊）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)一、圖與網(wǎng)絡(luò)的基本知識(shí)EADCB1、一個(gè)圖是由4一個(gè)圖是由點(diǎn)集和中元素的無(wú)序?qū)Φ囊粋€(gè)集合構(gòu)成的二元組，記為G=(V，E)，其中V中的元素叫做頂點(diǎn)，V表示圖G

的點(diǎn)集合；E中的元素叫做邊，E表示圖G的邊集合。v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10例圖1圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)一個(gè)圖是由點(diǎn)集和中元素的無(wú)序?qū)?2、如果一個(gè)圖是由點(diǎn)和邊所構(gòu)成的，則稱其為無(wú)向圖，記作G=(V，E)，連接點(diǎn)的邊記作[vi,vj]，或者[vj,vi]。3、如果一個(gè)圖是由點(diǎn)和弧所構(gòu)成的，那么稱它為有向圖，記作D=(V,A)，其中V表示有向圖D的點(diǎn)集合，A表示有向圖D的弧集合。一條方向從vi指向vj

的弧，記作(vi,vj)。v4v6v1v2v3v5V={v1,v2,v3,v4,v5,v6}，A={(v1,v3),(v2,v1),(v2,v3),(v2,v5),(v3,v5),(v4,v5),(v5,v4),(v5,v6)}圖2圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)2、如果一個(gè)圖是由點(diǎn)和邊所構(gòu)成的，則稱其為無(wú)向圖，記作64、一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。5、如果兩個(gè)端點(diǎn)之間有兩條以上的邊，那么稱為它們?yōu)槎嘀剡叀?、一個(gè)無(wú)環(huán)，無(wú)多重邊的圖稱為簡(jiǎn)單圖，一個(gè)無(wú)環(huán)，有多重邊的圖稱為多重圖。7、每一對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的無(wú)向簡(jiǎn)單圖稱為完全圖。有向完全圖則是指任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間有且僅有一條有向邊的簡(jiǎn)單圖。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)4、一條邊的兩個(gè)端點(diǎn)是相同的,那么稱為這條邊是環(huán)。6、7v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10度為零的點(diǎn)稱為弧立點(diǎn)，度為1的點(diǎn)稱為懸掛點(diǎn)。懸掛點(diǎn)的關(guān)聯(lián)邊稱為懸掛邊。度為奇數(shù)的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)，度為偶數(shù)的點(diǎn)稱為偶點(diǎn)。8、以點(diǎn)v為端點(diǎn)的邊的個(gè)數(shù)稱為點(diǎn)v的度（次），記作。圖中d(v1)=4，d(v6)=4（環(huán)計(jì)兩度）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)v1v2v3v4v5v6e1e2e3e4e5e6e7e8e98定理1所有頂點(diǎn)度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。定理2在任一圖中，奇點(diǎn)的個(gè)數(shù)必為偶數(shù)。所有頂點(diǎn)的入次之和等于所有頂點(diǎn)的出次之和。有向圖中，以vi為始點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)vi的出次，用表示；以vi為終點(diǎn)的邊數(shù)稱為點(diǎn)vi的入次，用表示；vi點(diǎn)的出次和入次之和就是該點(diǎn)的次。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)定理1所有頂點(diǎn)度數(shù)之和等于所有邊數(shù)的2倍。99、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V2,E2）如果V2

V1,E2E1稱G2是G1的子圖；如果V2=V1,E2E1稱G2

是G1

的部分圖或支撐子圖。v1v2v3v4v5v6v7e1e2e3e4e5e6e7e8e9e10e11(a)e5e7v1v2v5v6v7e1e6e8(b)子圖v1v2v3v4v5v6v7e1e6e7e9e10e11(c)支撐子圖圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)9、設(shè)G1=（V1,E1），G2=（V210在實(shí)際應(yīng)用中，給定一個(gè)圖G=（V，E）或有向圖D=（V，A），在V中指定兩個(gè)點(diǎn)，一個(gè)稱為始點(diǎn)（或發(fā)點(diǎn)），記作v1，一個(gè)稱為終點(diǎn)（或收點(diǎn)），記作vn，其余的點(diǎn)稱為中間點(diǎn)。對(duì)每一條弧，對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，稱為弧上的“權(quán)”。通常把這種賦權(quán)的圖稱為網(wǎng)絡(luò)。10、由兩兩相鄰的點(diǎn)及其相關(guān)聯(lián)的邊構(gòu)成的點(diǎn)邊序列稱為鏈。如:v0，e1，v1，e2，v2，e3，v3,…,vn-1,en

，vn，記作（v0，v1，v2，v3,…,vn-1，vn），

圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)在實(shí)際應(yīng)用中，給定一個(gè)圖G=（V，E）或有向圖D11e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e9e1011、圖中任意兩點(diǎn)之間均至少有一條通路，則稱此圖為連通圖，否則稱為不連通圖。其鏈長(zhǎng)為n

，其中v0，vn分別稱為鏈的起點(diǎn)和終點(diǎn)。若鏈中所含的邊均不相同，則稱此鏈為簡(jiǎn)單鏈；所含的點(diǎn)均不相同的鏈稱為初等鏈,也稱通路。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)e3v1v2v3v4v5v6e7e8e1e2e4e5e6e912（二）、圖的矩陣表示對(duì)于網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）G=（V，E），其中邊有權(quán)，構(gòu)造矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的權(quán)矩陣。設(shè)圖G=（V，E）中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為n，構(gòu)造一個(gè)矩陣，其中：稱矩陣A為網(wǎng)絡(luò)G的鄰接矩陣。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（二）、圖的矩陣表示設(shè)圖G=（V，E）中頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)13例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v64332256437圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)例權(quán)矩陣為：鄰接矩陣為：v5v1v2v3v4v643322514問(wèn)題圖（頂點(diǎn)、邊）、有限圖、無(wú)限圖無(wú)向圖、有向圖、環(huán)、多重邊多重圖、簡(jiǎn)單圖、完全圖、有向完全圖、二部圖頂點(diǎn)的次、出次、入次、懸掛點(diǎn)、孤立點(diǎn)、奇點(diǎn)、偶點(diǎn)子圖、生成子圖（支撐圖）、網(wǎng)絡(luò)（賦權(quán)圖）鏈、初等鏈、圈、初等圈、回路、連通圖圖的矩陣表示、鄰接矩陣歐拉道路、歐拉回路、中國(guó)郵路問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題圖（頂點(diǎn)、邊）、有限圖、無(wú)限圖圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)15樹(shù)的概念樹(shù)、樹(shù)葉、分枝點(diǎn)數(shù)的性質(zhì)生成子圖、生成樹(shù)、樹(shù)枝、弦最小生成樹(shù)避圈法、破圈法有向樹(shù)、根樹(shù)、葉、分枝點(diǎn)、叉樹(shù)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)樹(shù)的概念樹(shù)、樹(shù)葉、分枝點(diǎn)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)16

二、樹(shù)及最小樹(shù)問(wèn)題

已知有六個(gè)城市，它們之間要架設(shè)電話線，要求任意兩個(gè)城市均可以互相通話，并且電話線的總長(zhǎng)度最短。v1v2v3v4v5v61、一個(gè)連通的無(wú)圈的無(wú)向圖叫做樹(shù)。樹(shù)中次為1的點(diǎn)稱為樹(shù)葉，次大于1的點(diǎn)稱為分支點(diǎn)。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)二、樹(shù)及最小樹(shù)問(wèn)題v1v2v3v4v5v61、一17樹(shù)

的性質(zhì)：（1）樹(shù)必連通，但無(wú)回路（圈）。（2）n個(gè)頂點(diǎn)的樹(shù)必有n-1條邊。（3）樹(shù)中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間，恰有且僅有一條鏈（初等鏈）。（4）樹(shù)

連通，但去掉任一條邊，必變?yōu)椴贿B通。（5）樹(shù)無(wú)回路（圈），但不相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間加一條邊，恰得到一個(gè)回路（圈）。v1v2v3v4v5v6圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)樹(shù)的性質(zhì)：v1v2v3v4v5v6圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌182、設(shè)圖是圖G=(V,E)的一支撐子圖，如果圖是一個(gè)樹(shù),那么稱K是G的一個(gè)生成樹(shù)（支撐樹(shù)），或簡(jiǎn)稱為圖G的樹(shù)。圖G中屬于生成樹(shù)的邊稱為樹(shù)枝，不在生成樹(shù)中的邊稱為弦。一個(gè)圖G有生成樹(shù)的充要條件是G

是連通圖。v1v2v3v4v5v1v2v3v4v5圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)2、設(shè)圖是圖G=(V,E19用避圈法求出下圖的一個(gè)生成樹(shù)。v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8v1v2v3v4v5e2e4e6e8v1v2v3v4v5e1e2e3e4e5e6e7e8圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)用避圈法求出下圖的一個(gè)生成樹(shù)。v1v2v3v4v5e1e220（一）破圈法圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（一）破圈法圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)21（二）避圈法

在圖中任取一條邊e1，找一條與e1不構(gòu)成圈的邊e2，再找一條與{e1，e2}不構(gòu)成圈的邊e3。一般設(shè)已有{e1，e2，…，ek}，找一條與{e1，e2，…，ek}中任何一些邊不構(gòu)成圈的邊ek+1，重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到不能進(jìn)行為止。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（二）避圈法在圖中任取一條邊e1，找一條與e122v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5v6v1v3v2v5v6v4v1v3v2v5圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)v1v2v3v4v5v6v1v3v1v3v2v1v3v2v5233、最小生成樹(shù)問(wèn)題

如果圖是圖G的一個(gè)生成樹(shù)，那么稱E1上所有邊的權(quán)的和為生成樹(shù)T的權(quán)，記作S(T)。如果圖G的生成樹(shù)T*的權(quán)S(T*)，在G的所有生成樹(shù)T中的權(quán)最小，即那么稱T*是G的最小生成樹(shù)。某六個(gè)城市之間的道路網(wǎng)如圖所示，要求沿著已知長(zhǎng)度的道路聯(lián)結(jié)六個(gè)城市的電話線網(wǎng)，使電話線的總長(zhǎng)度最短。v1v2v3v4v5v66515723445v1v2v3v4v5v612344圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)3、最小生成樹(shù)問(wèn)題如果圖是圖G的一24v1v2v3v4v514231352圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)v1v2v3v4v514231352圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)25

最短路的一般提法為：設(shè)為連通圖，圖中各邊有權(quán)（表示之間沒(méi)有邊），為圖中任意兩點(diǎn)，求一條路，使它為從到的所有路中總權(quán)最短。即：最小。(一)、狄克斯屈拉(Dijkstra)算法適用于wij≥0，給出了從vs到任意一個(gè)點(diǎn)vj的最短路。三、最短路問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)(一)、狄克斯屈拉(Dijk26算法步驟：1.給始點(diǎn)vs以P標(biāo)號(hào)，這表示從vs到vs的最短距離為0，其余節(jié)點(diǎn)均給T標(biāo)號(hào)，。2.設(shè)節(jié)點(diǎn)vi

為剛得到P標(biāo)號(hào)的點(diǎn)，考慮點(diǎn)vj，其中，且vj為T(mén)標(biāo)號(hào)。對(duì)vj的T標(biāo)號(hào)進(jìn)行如下修改：3.比較所有具有T標(biāo)號(hào)的節(jié)點(diǎn)，把最小者改為P標(biāo)號(hào)，即：

當(dāng)存在兩個(gè)以上最小者時(shí)，可同時(shí)改為P標(biāo)號(hào)。若全部節(jié)點(diǎn)均為P標(biāo)號(hào)，則停止，否則用vk代替vi，返回步驟（2）。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)算法步驟：圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)27例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的最短路。v1v2v3v4v6v5352242421

解（1）首先給v1以P標(biāo)號(hào)，給其余所有點(diǎn)T標(biāo)號(hào)。（2）（3）（4）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)例一、用Dijkstra算法求下圖從v1到v6的28v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）（8）（9）（10）反向追蹤得v1到v6的最短路為：圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)v1v2v3v4v6v5352242421（5）（6）（7）29237184566134105275934682求從1到8的最短路徑圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682求從1到8的30237184566134105275934682X={1},w1=0min{c12,c14,c16}=min{0+2,0+1,0+3}=min{2,1,3}=1X={1,4},p4=1p4=1p1=0圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1},31237184566134105275934682X={1,4}min{c12,c16,c42,c47}=min{0+2,0+3,1+10,1+2}=min{2,3,11,3}=2X={1,2,4},p2=2p1=0p4=1p2=2圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,432237184566134105275934682X={1,2,4}min{c13,c23,c25,c47}=min{0+3,2+6,2+5,1+2}=min{3,8,7,3}=3X={1,2,4,6},p6=3p2=2p4=1p1=0p6=3圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,233237184566134105275934682X={1,2,4,6}min{c23,c25,c47,c67}=min{2+6,2+5,1+2,3+4}=min{8,7,3,7}=3X={1,2,4,6,7},p7=3p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,234237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c25,c75,c78}=min{2+6,2+5,3+3,3+8}=min{8,7,6,11}=6X={1,2,4,5,6,7},p5=6p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,235237184566134105275934682X={1,2,4,6,7}min{c23,c53,c58,c78}=min{2+6,6+9,6+4,3+8}=min{8,15,10,11}=8X={1,2,3,4,5,6,7},p3=8p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,236237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7}min{c38,c58,c78}=min{8+6,6+4,3+7}=min{14,10,11}=10X={1,2,3,4,5,6,7,8},p8=10p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,237237184566134105275934682X={1,2,3,4,6,7,8}1到8的最短路徑為{1，4，7，5，8}，長(zhǎng)度為10。p2=2p4=1p1=0p6=3p7=3p5=6p3=8p8=10圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)237184566134105275934682X={1,238求從V1到V8的最短路線。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)求從V1到V8的最短路線。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)39V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞②P=T=3T=+∞T=7T=+∞T=+∞T=+∞T=+∞

③T=6T=7P=T=5T=+∞T=+∞T=+∞

④P=T=6T=6

T=8T=+∞T=+∞

⑤P=T=6

T=8T=9T=12

⑥P=T=8T=10T=10

⑦P=T=9T=11再無(wú)其它T標(biāo)號(hào)，所以T(V8)=P(V8)=10;minL(μ)=10⑧P=T=10圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)V1V2V3V4V5V6V7V8①P=0T=+∞T=+∞T40由此看到，此方法不僅求出了從V1到V8的最短路長(zhǎng)，同時(shí)也求出了從V1到任意一點(diǎn)的最短路長(zhǎng)。將從V1到任一點(diǎn)的最短路權(quán)標(biāo)在圖上，即可求出從V1到任一點(diǎn)的最短路線。本例中V1到V8的最短路線是：

v1→v2→v5→v6→v8

圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)由此看到，此方法不僅求出了從V1到V841623121641036234210圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)623121641036234210圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)42（二）、逐次逼近法算法的基本思路與步驟：首先設(shè)任一點(diǎn)vi到任一點(diǎn)vj都有一條弧。顯然，從v1到vj的最短路是從v1出發(fā)，沿著這條路到某個(gè)點(diǎn)vi再沿弧(vi,vj)到vj。則v1到vi的這條路必然也是v1到vi的所有路中的最短路。設(shè)P1j表示從v1到vj的最短路長(zhǎng)，P1i表示從v1到vi的最短路長(zhǎng)，則有下列方程：開(kāi)始時(shí)，令即用v1到vj的直接距離做初始解。從第二步起，使用遞推公式：求，當(dāng)進(jìn)行到第t步，若出現(xiàn)則停止計(jì)算，即為v1到各點(diǎn)的最短路長(zhǎng)。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（二）、逐次逼近法圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)43例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837v1v2v3v4v5v6v7v8P(1)P(2)P(3)P(4)v10-1-23

0000v260

2

-1-5-5-5v3

-30-5

1

-2-2-2-2v48

0

2

3-7-7-7v5

-1

0

1-3-3v6

1017

-1-1-1v7

-1

0

5-5-5v8

-3

-50

66求圖中v1到各點(diǎn)的最短路圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)例二、

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－544

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－1211v6v7v837（0，0）（v3，-5）（v1，-2）（v3，-7）（v2，-3）（v4，-5）（v3，-1）（v6，6）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)

－18v1v2v3v4v5－26－3－5－1－3－521－45例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購(gòu)置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費(fèi)用最小。解：（1）分析：可行的購(gòu)置方案（更新計(jì)劃）是很多的，如：1）每年購(gòu)置一臺(tái)新的，則對(duì)應(yīng)的費(fèi)用為：

11+11+12+12+13+5+5+5+5+5=842)第一年購(gòu)置新的，一直用到第五年年底，則總費(fèi)用為：11+5+6+8+11+18=59

顯然不同的方案對(duì)應(yīng)不同的費(fèi)用。第i年度

12345購(gòu)置費(fèi)1111121213設(shè)備役齡0-11-22-33-44-5維修費(fèi)用

5681118圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)例三、求：5年內(nèi)，哪些年初購(gòu)置新設(shè)備，使5年內(nèi)的總費(fèi)用最小。46（2）方法：將此問(wèn)題用一個(gè)賦權(quán)有向圖來(lái)描述，然后求這個(gè)賦權(quán)有向圖的最短路。求解步驟：1）畫(huà)賦權(quán)有向圖：設(shè)Vi表示第i年初，(Vi,Vj)表示第i年初購(gòu)買新設(shè)備用到第j年初（j-1年底），而Wij表示相應(yīng)費(fèi)用，則5年的一個(gè)更新計(jì)劃相當(dāng)于從V1到V6的一條路。2）求解（標(biāo)號(hào)法）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（2）方法：將此問(wèn)題用一個(gè)賦權(quán)有向圖來(lái)描述，然后求這個(gè)賦權(quán)47W12=11+5=16W13=11+5+6=22W14=11+5+6+8=30W15=11+5+6+8+11=41W16=11+5+6++8+11+18=59W23=11+5=16W24=11+5+6=22W25=11+5+6+8=30W26=11+5+6+8+11=41W45=12+5=17W46=12+5+6=23W56=13+5=18W34=12+5=17W35=12+5+6=23W36=12+5+6+8=31圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)W12=11+5=16W23=11+5=1648例四、某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著時(shí)間的推移逐漸損壞。所以工廠在每年年初都要決定設(shè)備是否更新。若購(gòu)置設(shè)備，每年需支付購(gòu)置費(fèi)用；若繼續(xù)使用舊設(shè)備，需要支付維修與運(yùn)行費(fèi)用，而且隨著設(shè)備的老化會(huì)逐年增加。計(jì)劃期（五年）內(nèi)中每年的購(gòu)置費(fèi)、維修費(fèi)與運(yùn)行費(fèi)如表所示，工廠要制定今后五年設(shè)備更新計(jì)劃，問(wèn)采用何種方案才能使包括購(gòu)置費(fèi)、維修費(fèi)與運(yùn)行費(fèi)在內(nèi)的總費(fèi)用最小。年份12345購(gòu)置費(fèi)1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費(fèi)57121825圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)例四、某工廠使用一種設(shè)備，這種設(shè)備在一定的年限內(nèi)隨著49年份12345購(gòu)置費(fèi)1820212324使用年數(shù)0~11~22~33~44~5維修費(fèi)5712182528v1v2v3v4v5v62325262930426085324462334530圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)年份12345購(gòu)置費(fèi)1820212324使用年數(shù)0~11~250四、最大流問(wèn)題（一）、基本概念1、設(shè)一個(gè)賦權(quán)有向圖D=（V,E）,在V中指定一個(gè)發(fā)點(diǎn)vs和一個(gè)收點(diǎn)vt

,其它的點(diǎn)叫做中間點(diǎn)。對(duì)于D中的每一個(gè)?。╲i

,vj）∈E,都有一個(gè)非負(fù)數(shù)cij,叫做弧的容量。我們把這樣的圖D叫做一個(gè)容量網(wǎng)絡(luò)，簡(jiǎn)稱網(wǎng)絡(luò)，記做D=（V，E，C）。網(wǎng)絡(luò)D上的流，是指定義在弧集合E上的一個(gè)函數(shù)其中f(vi

,vj)=fij

叫做弧(vi，vj)上的流量。

圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)四、最大流問(wèn)題圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)512、稱滿足下列條件的流為可行流：（1）容量條件：對(duì)于每一個(gè)?。╲i,vj）∈E 有 0≤

fij

≤

cij

。（2）平衡條件：對(duì)于發(fā)點(diǎn)vs，有對(duì)于收點(diǎn)vt

，有對(duì)于中間點(diǎn)，有可行流中fij＝cij

的弧叫做飽和弧，fij＜cij的弧叫做非飽和弧。fij＞0的弧為非零流弧，fij＝0的弧叫做零流弧。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)2、稱滿足下列條件的流為可行流：可行流中fij＝cij的5213(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)圖中為零流弧，其余為非飽和弧。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2533、容量網(wǎng)絡(luò)G，若為網(wǎng)絡(luò)中從vs到vt的一條鏈，給定向?yàn)閺膙s到vt，上的弧凡與方向相同的稱為前向弧，凡與方向相反的稱為后向弧，其集合分別用和表示。f是一個(gè)可行流，如果滿足：

則稱為從vs到vt

的關(guān)于f的一條增廣鏈。推論可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到vt

的關(guān)于f的一條可增廣鏈。即中的每一條弧都是非飽和弧即中的每一條弧都是非零流弧圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)推論可行流f是最大流的充分必要條件是不存在從vs到v5413(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)是一個(gè)增廣鏈顯然圖中增廣鏈不止一條圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2554、容量網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C），vs為始點(diǎn)，vt為終點(diǎn)。如果把V分成兩個(gè)非空集合使，則所有始點(diǎn)屬于S，而終點(diǎn)屬于的弧的集合，稱為由S決定的截集,記作。截集中所有弧的容量之和，稱為這個(gè)截集的容量，記為。vsv1v2v4v3vt374556378S圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)4、容量網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C），vs為始點(diǎn)，vt5613(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為24圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(25713(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)設(shè)，則截集為容量為20圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(258（二）求最大流的標(biāo)號(hào)法標(biāo)號(hào)過(guò)程：1．

給發(fā)點(diǎn)vs標(biāo)號(hào)（0，+∞）。2．

取一個(gè)已標(biāo)號(hào)的點(diǎn)vi，對(duì)于vi一切未標(biāo)號(hào)的鄰接點(diǎn)vj

按下列規(guī)則處理：（1）如果邊，且，那么給vj

標(biāo)號(hào)，其中：（2）如果邊，且，那么給vj

標(biāo)號(hào)，其中：3．重復(fù)步驟2，直到vt被標(biāo)號(hào)或標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，則標(biāo)號(hào)結(jié)束。若vt被標(biāo)號(hào)，則存在一條增廣鏈，轉(zhuǎn)調(diào)整過(guò)程；若vt未被標(biāo)號(hào)，而標(biāo)號(hào)過(guò)程無(wú)法進(jìn)行下去，這時(shí)的可行流就是最大流。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)（二）求最大流的標(biāo)號(hào)法圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)59調(diào)整過(guò)程設(shè)1．令2．去掉所有標(biāo)號(hào)，回到第一步，對(duì)可行流重新標(biāo)號(hào)。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)調(diào)整過(guò)程圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)60求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)(1,1)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,1)(1,1)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,1)（0，+∞）（-v1,1）（+vs,4）（-v2，1）（+v2，1）(+v3，1)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)求下圖所示網(wǎng)絡(luò)中的最大流，弧旁數(shù)為(1,61(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,2)(1,0)(4,3)(2,2)(3,0)(5,3)(2,2)（0，+∞）（+vs,3）最小截集圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)(1,0)v2v1v4v3vsvt(3,3)(5,6213(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(2)5(2)5(0)4(2)4(1)9(5)10(1)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(5)9(3)4(1)5(3)6(3)5(26313(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(5)5(4)5(4)4(4)4(3)9(9)10(7)截集1截集2最小截量為：9+6+5=20圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)13(11)9(9)4(0)5(5)6(6)5(6470（70）70（50）130（100）150（130）150（150）50（20）50（50）120（30）100（100）∞（120）∞（230）∞（150）∞（200）圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)70（70）70（50）130（100）150（130）1565第五節(jié)最小費(fèi)用最大流問(wèn)題定義8.17已知網(wǎng)絡(luò)G=（V，E，C，d），f是G上的一個(gè)可行流，為一條從vs到vt的增廣鏈，稱為鏈的費(fèi)用。

若*是從vs到vt的增廣鏈中費(fèi)用最小的增廣鏈，則稱*是最小費(fèi)用增廣鏈。結(jié)論：如果可行流f在流量為W(f)的所有可行流中的費(fèi)用最小，并且*是關(guān)于f的所有增廣鏈中的費(fèi)用最小的增廣鏈，那么沿增廣鏈*調(diào)整可行流f，得到的新可行流f*也是流量為W(f*)的所有可行流中的最小費(fèi)用流。當(dāng)f*是最大流時(shí)，就是最小費(fèi)用最大流。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)第五節(jié)最小費(fèi)用最大流問(wèn)題定義8.17已知網(wǎng)絡(luò)G=（V66尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈：構(gòu)造一個(gè)關(guān)于f的賦權(quán)有向圖L(f)，其頂點(diǎn)是原網(wǎng)絡(luò)G的頂點(diǎn)，而將G中的每一條弧(vi,vj

)變成兩個(gè)相反方向的?。╲i，vj）和(vj

,vi)，并且定義圖中弧的權(quán)l(xiāng)ij為：1.當(dāng)，令

2.當(dāng)（vj，vi）為原來(lái)網(wǎng)絡(luò)G中（vi，vj）的反向弧，令在網(wǎng)絡(luò)G中尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈等價(jià)于在L(f)中尋求從vs

到vt

的最短路。圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)尋找關(guān)于f的最小費(fèi)用增廣鏈：圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)67步驟：（1）取零流為初始可行流，f(0)={0}。（2）一般地，如果在第k-1步得到最小費(fèi)用流f(k-1)，則構(gòu)造圖L(f(k-1)

)。（3）在L(f(k-1)

)中，尋求從vs到vt的最短路。若不存在最短路，則f(k-1)就是最小費(fèi)用最大流；否則轉(zhuǎn)(4)。（4）如果存在最短路，則在可行流f

(k－1)的圖中得到與此最短路相對(duì)應(yīng)的增廣鏈，在增廣鏈上，對(duì)f

(k－1)進(jìn)行調(diào)整，調(diào)整量為：圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)步驟：圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)68令得到新可行流f

(k)。對(duì)f

(k)重復(fù)上面步驟，返回（2）。例8.11求網(wǎng)絡(luò)的最小費(fèi)用最大流，弧旁權(quán)是（bij,cij）(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)令得到新可行流f(k)。對(duì)f(k)重復(fù)上面步驟，返回（693vsv2v1vtv3164122(1)L(f(0))(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)0vsv2v1vtv3300333(2)f(1)1=3W(f(1))=3－1(3)L(f(1))－23vsv2v1vtv316412－1－2圖與網(wǎng)絡(luò)分析物流運(yùn)籌學(xué)3vsv2v1vtv3164122(1)L(f701vsv2v1vtv3400343(4

)f(2)2=1W(f(2))=4(3,2)vsv2v1vtv3(1,4)(6,7)(4,8)(1,6)(2,5)(2,3)(5)L(f(2))－3vsv2v1vtv3－1412－2－23－1661vsv2v1