習(xí)題1-3行列式的性質(zhì)

1、用行列式的性質(zhì)計算下列行列式：（1）34215280923521529092【分析】可見行列式中1，2兩列元素大部分?jǐn)?shù)字是相等的，列差同為1000，易于化為下三角行列式，于是，342153521534215100061230【解法一】2809229092c-c280921000r-r1000二下三角6123000。280922 1【解法二】3421535215r-r61236123c-c6123028092290921 228092290922 1280921000下三角6123000。-abacae（2）bd-cddebfcf-ef【分析】各行、列都有公因，【】抽出后再行計算。解一ab

bd

bfacae-bceba一r一-cdded一1radfb-cec一cf-eff一2rbc:ee一11ccadfbcec11111111rr+radfbcer一r-abcdef3002020020002上三角-abcdef義（：1）×22=4abcdef。1（3）：1-11 1 11 1 1-1 1 1-1 -1 1【分析】將第一行加到以下各行即成為上三角行列式，11 1111112222【解】11-11-1-11 r+r2 11 r+r3 11r+r4 100020002上三角1×23=8。2、把下列行列式化為上三角形行列式，并計算其值：—22—40/?4—13 53 1—2—32 0 5 1—22—402—2—40—14354—135—14352—2—40【解法一】31—2—3c—c213—2—3r—r2 F=13—2—3205102510251r+2r21r+r3 1二—1435—143062100—110712r—r2 3=0 7102510 2555—14358r+7r0—11823 2r+2r0085814 200717—143000—11010784117r-7r4 300043—1101005841—270=—270o—2 2 —44 —1 3【解法二】2 1?3 1 —22 0 5r+r21r—rr+4r32r+2r4 →r+4r3K上三角(一1)2×1×(—270)1—2001—2001—2000—11—20154—135—12Q —2—3=2^r= 31—2—3c—c 12 -1— 1120510—1—2 01—1—203150—11 8—240—3二r304 0 —325102 5 1—1—201—1—2 0—1180—11 80429工—2r3—200 4 29071700—1—41—1—2 01—1—2 0—11 80—11 800—135r—r 乙300—1 —410—1—4100 0—135—1432—2 03 5—2—35 1上三角2×1×(—1)2×(—135)=—270。(2)1234234134124123【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2，3，4列加到第1列：【解】123423413410234102 3 44110341r-r2 10 1 1 -312C+(c+c+c)1 2 3 410412r-r3 10 2-2-22310123r-r40-1-1-1102r-2r32r+r4 2二31—404—34—4上三角10義1×(—4)2=160。0001003、設(shè)行列式a=m（i,j=1,2,,5），依下列次序?qū)進(jìn)行變換后，求其結(jié)果：j ij交換第一行與第五行，再轉(zhuǎn)置，用2乘所有元素，再用（-3）乘以第二列加到第四列，最后用4除第二行各元素。 …【解】（D交換第一行與第五行，行列式變號，結(jié)果為-m；（2）再轉(zhuǎn)置，行列式的值不變，-m；（3）用2乘所有元素，即5行里每行都有公因2,這等于用25乘以行列式，結(jié)果為—m×25=—32m；（4）再用（-3）乘以第二列加到第四列，這是倍加，行列式的值不變，結(jié)果仍為-32m；（5）最后用4除第二行各元素，即第二行有公因4，這等于用4乘以行列式，結(jié)果為—32m×-=-8m。44、用行列式的性質(zhì)證明下列等式：abC1 1abc；2 2 'abc3 3a+kbb+cc(1)a+kb22a+kb33111b+cc222b+cc333【證法一】左邊=a+kb

1 ]a+kb2 :a+kb

3 :123b+c1b+c2b+c3123c1c2c3C-C2百a+kb1a+kb2 :a+kb

3 :123b1b2b3c1c2c3【證法三】左邊=(2)c-kc1二a1a2a3b1b2b3C1C2C3=右邊，證畢?！咀C法二】右邊=abC111abC222abC333c+kca+kb

1 ]a+kb2 :a+kb

3 :123c+c2 3b+c1b+C2b+C312都分拆C 2第，行列式C\o"CurrentDocument"a+kb

1 ]a+kb2 :\o"CurrentDocument"a+kb

3 :123b1b2b3C1C2C3a+kb1a+kb2a+kb

3 :12b+C1b+C2b+C31233c1c2c3=左邊，證畢。c1c2c3分拆Ca1a2a3+C11b+C22b+C3bc1c2c3+kb1kb2kb3b+C1b+C2b+C312333a1a2a3bCaCCkbbCkbCC11111111111bC+aCC+kbbC+kbCC22222222222bCaCCkbbCkbCC33333333333二C3a1a2a3b1b2b3c1c2c3+0+0+0=a1a2a3b1b2b3c1c2c3=右邊，證畢。2第行列式CC=k:11 2y+zz+Xx+yxyzX+yy+zz+x二2zxyz+XX+yy+zyzxy+zz+xx+y2(x+y+z)z+xx+y【證法一】左邊=X+yy+zZ+xC+(C+C)2(x+y+z)y+zZ+xZ+xx+yy+z1232(X+y+Z)x+yy+zr-r21r-r3 12(元+y+Z)00z+xy-xy-zx+y

z-y

z-x1 z+x x+y2(X+y+Z)-c 2(X+y+Z)O y-X Z-y1 0 y-z z-Xc1c2c31 0 0c「(Z+X)c12(x+y+z)0y-xz-y[(X+y)c 0y-zz-χXyzX+y+zy右邊=2ZXy2 、2c+(c+c)乙X+y+zXyzX1 2 3—X+y+zzZyX1yz(X+y+Z)-2(X+y+Z)IXyH 1zX1yzr2-r2(X+y+z)0X-yy-z0Z-yX-Z100c-yc212(X+y+z)0X-yy-zc-ZC3 —= 0z-yX-Z1 0 0r2(X+y+z)0y-XZ-y,J 0y-zz-X對比即得左邊=右邊,證畢。y+zz+XX+yyz+XX+yzz+XX+y【證法二】左邊=X+yy+zZ+X分拆CXy+zZ+X+yy+zZ+Xz+XX+yy+z——一ZX+yy+zXX+yy+zyz+XXZXX+yyzXZXy前CC31Xy+zZ+yzZ+X前CC23XyZ+yzX后CC2 —ZZX+yyXyy+z后CC3 2-ZXyXyZXyXyzzr一2XyZXyZZXy+ZXyyzXyzX刖r—rXXzz一yy都r21后r一r3XXyyzz1Xyz=2zXy=右邊，證畢。yzX5、計算下列行列式：xaa（1）xaaa;x【分析】該行列式屬于同行元素之和相等的類型，應(yīng)將2列以后各列加到第1歹U：xa【解】設(shè)a???xaaxaaaxaaa為n階行列式，則每行中有1個x，n-1個。，于是x'??x'??aaa???axaaaaxxaaaaaaaaaaaaxaaxx+(n—1)aaaaax+(n—1)axaaax+(n—1)aaxaac+(c+c+c)12 3 n???x+(n—1)aaa*??xax+(n—1)aaa???ax??????*?????????*?x+(n—1)a aaaa0 x—a0…00c-c 0 02 1x—a*??0???0XX0 00*??x—a00 0*?? ???0???*??0??? ???x—a*??上三角[X+(n-1)a](X—a)n-1。1 210(2P-21—21—2330—3—3n—1 nn—1 nn—1 n0 n—(n—1)0【分析】該行列式主對角線以下元素與首行元素對應(yīng)為相反數(shù)，因此，將首行加到以下各行，將化為上三角行列式。?123n—1n-103n—1n—1-20n—1n【解】???—1-2???—30n—1-2???—3—(n―1)0123n—1n0262(n—1)2nc+c210032(n—1)???2nC+Cn1000???n—12n 0???0???0??????0??????n???上三角1x2x3x x(n-1)n=n!。11（3）1aa12a+ba11 2aa+b1 221aa12ananana+bnn【分析】這是為n+1階行列式。該行列式主對角線以下元素與首行元素對應(yīng)相等，因此，將首行的-1倍加到以下各行，?將化為上三角行列式。11【解】1a1a+b11a11a1a a1aa2 n1 2a a0b02 nC-C1a+b a2 100b2 2 ... n2C—ca a+b-n 1-0002 … n n 1an00上三角bbb~^ 12n(4)a1°1a11 01???0a200，其中a≠0oibn100an【分析】為化成上三角行列式，須將a0下方元素全化為0，這樣就需要次第地（以一定順序，個接一個地），將a0化為-1后加到第1歹U，將a1化為-1后加到第2列，，將a化為-1后n加到第1列。01a01【解】111a010a21000a1c--c1a210a201101a10a10n0111c--caa32二a1001a1010a21 00a

c-~c1an+anaaa——,——*■—0aa1 200a

n?..1an10a20 00a-￡?1 1 …10ai=1i\o"CurrentDocument"0 a 0 00 d a2 …00 0 0 …a??? n上三角aIa2a(an0工工

ai=1i上述的n次列倍加運(yùn)算也可以疊加進(jìn)行:a 1 10\o"CurrentDocument"1 a 011 0a21 001c--c1a21c--c1an+1a-E?0a

i=1i

0001a10010a20上三角Ia2a(an0ai=1iaoa2aa0?nnn6、解下列方程：(1)112 312-X22 32 3 150；2 3 19-x2【解】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，注意到1，2兩行及3，4兩行有較多的相同元素，得：1123112312—X22301—X200左邊二C3r-r3215二2152319一X2H0004-X2-3-523c-2c13c-3c01-X2000015上三角-3X(1-X2)(4-X2),23-0004-X2原方程為(1—X2)(4—X2)=0，即得4個根為X=±1,X=±2。1 111-X1 1 11 1 1(2)1 12-X 1 1???=0；【解1 1 1 …(n-2)-X 1III… 1 (n-1)-X??? ????????????】先將等式左邊的行列式化為上三角形行列式，將第一行的-1倍加到以下各行即成為上三角行列式。1 111-X1 1左邊二1 11 1???1 1 11 1 12-X 1 11 …(n-2)-X 11 1 (n-1)-X11…1 1 …10-X 0… 0 0r-r02 101-X 0 0???M00 0 …(n-3)-X 000 0 … 0 (n-2)-X????????????????(??上三角-X(1-X)(2-X)?.[(n-3)-X][(n-2)-X]，???原方程為X(1-X)(2-X) [(n-3)-X][(n-2)-X]=0，即得n-1個根為X=k,(k=0,1,2, ,n—1,n—2。)7、設(shè)n階行列式D=det(α)，把D上下翻轉(zhuǎn)，或逆時針旋轉(zhuǎn)90o,或依副對角線翻轉(zhuǎn)，ij依次得an1D=1a11annaInD=2a1na11aaannnn1n，D=，3aaan1n1... 11證明D=D=?(?7)nCn-1)/2D,D=D。12 3???【證明】(1)D=(-1)n(n-1)/2D，1a11這就是將D變換成D：1an1aa1n n1→anna11ann，由于把D上下翻aIn轉(zhuǎn)得到D，翻轉(zhuǎn)變換中，元素a的列碼仍為列碼，順序沒變，?行碼則由順序123 n變成1 ij??????了逆序n321。由于排列123n變成n321要經(jīng)過(n-1)+(n-2)+ +2+1…… n(n—1)=次對換，n(n-1)?一可知把D上下翻轉(zhuǎn)得到D，須經(jīng)過 次行對換，從而12D=(-1)n(n-1)/2D。證畢。1(2)D=(-1)n(n-1)/2D，2a11這就是將D變換成D：2a1n→anna1n，由于把D逆時針an1???annan1???a1旋轉(zhuǎn)90o得到D：2*??*??*??*??*??*??a11a12a1,n-1???a1na1n???a2nan-1,nanna21a22a2,n-1a2na1,n-1a2,n-1an-1,n-1an,n-1→an-1,1an-1,2*??a… n-1,n-1an-1,na12a22*?????an-1,2an2an1a.n2a… nn-1a.nna.11a.21*??an-1,1a.n』旋轉(zhuǎn)變換中，都作為行碼看待時，由順序元素a-的第一碼i變成了第二碼，，ij123n變成為逆序n321；而第二碼j變成了第一碼i，都作為列碼看待時，順序不變，由于排列123n變成n321要經(jīng)過(n—1)+(n—2)+ +2+1n(n—1)次對換，可知把D旋轉(zhuǎn)90O得到D2,須經(jīng)過n(n—1)

-2-次對換,從而D2=(-I)n(nWD。證畢。(3)D=D。3a11an1ann這就是將D變換成D3：，由于把D依副對角線翻轉(zhuǎn)得到D：a11an1annaIn3*???aaaaaaaa11121,n—11