梁的基礎(chǔ)知識(shí)課件

梁的基礎(chǔ)知識(shí)1梁的基礎(chǔ)知識(shí)1為什么研究梁？聯(lián)系與區(qū)別

離散系統(tǒng)（有限自由度）——三要素（質(zhì)量、彈簧、阻尼）——常微分方程連續(xù)系統(tǒng)（無(wú)限自由度）——彈性體原件（桿、梁、軸、板等）——偏微分方程2為什么研究梁？聯(lián)系與區(qū)別離散系統(tǒng)（有限自由度）——三要素（常微分方程（個(gè)數(shù)與自由度數(shù)相同、自變量是t）偏微分方程（自變量有時(shí)間t、位置x）3常微分方程（個(gè)數(shù)與自由度數(shù)相同、自變量是t）3研究梁的什么？

振動(dòng)方面：

固有頻率（特征行列式為0，三角函數(shù)）振型（每個(gè)固有頻率對(duì)應(yīng)一個(gè)振型）響應(yīng)（疊加，振型疊加法，正交性）4研究梁的什么？振動(dòng)方面：4固有頻率特征方程（行列式、線性代數(shù)）方程的處理（高數(shù)微分方程）列方程（理論力學(xué)、材料力學(xué)）5固有頻率特征方程（行列式、線性代數(shù)）5歐拉梁與鐵木辛柯梁

求解這兩種梁時(shí)的思路是一致的，只是鐵木辛克梁考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與剪切變形的影響，所以在列運(yùn)動(dòng)方程時(shí)復(fù)雜一點(diǎn)，本質(zhì)區(qū)別2處：1、歐拉梁中彎矩與撓度關(guān)系中涉及到的轉(zhuǎn)角，是由彎矩引起，而鐵木辛克梁中考慮了剪切變形，存在由剪力引起的轉(zhuǎn)角。2、列轉(zhuǎn)動(dòng)方程時(shí)，后者由于考慮了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，會(huì)多出一項(xiàng)。6歐拉梁與鐵木辛柯梁求解這兩種梁時(shí)的思路是一致的，只是鐵木辛歐拉梁設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，材料密度和彈性模量為和E，截面積和截面二次矩為S(x)和I(x)，為單位長(zhǎng)度質(zhì)量，EI(x)為梁的抗彎剛度。

7歐拉梁設(shè)梁的長(zhǎng)度為l，材料密度和彈性模量為和E，截面積和截鉛垂方向受力平衡+轉(zhuǎn)動(dòng)方程

8鉛垂方向受力平衡+轉(zhuǎn)動(dòng)方程

8

9

9此方程含對(duì)空間變量x的四階偏導(dǎo)數(shù)和對(duì)時(shí)間變量t的二階偏導(dǎo)數(shù)，求解時(shí)必須列出4個(gè)邊界條件和2個(gè)初始條件。常見(jiàn)的邊界條件：位移、轉(zhuǎn)角（幾何邊界條件）

彎矩、剪力（力的邊界條件）（1）固定端

（2）鉸支端（3）自由端

10此方程含對(duì)空間變量x的四階偏導(dǎo)數(shù)和對(duì)時(shí)間變量t的二階偏導(dǎo)數(shù)，

解方程——梁的自由振動(dòng)（分離變量法）11

解方程——梁的自由振動(dòng)（分離變量法）11

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12高數(shù)知識(shí)（寫(xiě)成簡(jiǎn)單的形式）

13高數(shù)知識(shí)（寫(xiě)成簡(jiǎn)單的形式）

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14簡(jiǎn)支梁為例，求固有頻率與振型梁彎曲振動(dòng)振型函數(shù)的一般表達(dá)式為：簡(jiǎn)支端的邊界條件（位移、彎矩為0）簡(jiǎn)支梁的邊界條件為15簡(jiǎn)支梁為例，求固有頻率與振型梁彎曲振動(dòng)振型函數(shù)的一般表達(dá)式為振型函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋侯l率方程固有頻率為振幅，模態(tài)實(shí)驗(yàn)16振型函數(shù)表達(dá)式變?yōu)椋侯l率方程固有頻率為振幅，模態(tài)實(shí)驗(yàn)16簡(jiǎn)支梁的各階振型17簡(jiǎn)支梁的1818響應(yīng)的求解（振型疊加法）振型函數(shù)正交性：

如同坐標(biāo)系

xyz

（1）不同固有頻率對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)關(guān)于質(zhì)量的正交性：正則化

19響應(yīng)的求解（振型疊加法）振型函數(shù)正交性：19（2）不同固有頻率的振型函數(shù)關(guān)于剛度的正交性：正則化20（2）不同固有頻率的振型函數(shù)關(guān)于剛度的正交性：20

根據(jù)振型函數(shù)的正交性，可將多自由度系統(tǒng)模態(tài)疊加法的思想應(yīng)用于連續(xù)系統(tǒng)。即將彈性體的振動(dòng)表示為各階模態(tài)的線性組合，用于計(jì)算系統(tǒng)在激勵(lì)作用下的振動(dòng)規(guī)律。以承受分布載荷作用的細(xì)直梁的彎曲振動(dòng)方程為例初始狀態(tài)：將方程的解寫(xiě)作振型函數(shù)的線性組合：

2121將之代入動(dòng)力學(xué)方程可得：將上式各項(xiàng)與φi(x)相乘后沿梁的全長(zhǎng)積分：交換積分與求和次序：22將之代入動(dòng)力學(xué)方程可得：22利用正交性條件可得：其中Qi(t)是與廣義坐標(biāo)qi(t)對(duì)應(yīng)的廣義力，解可利用杜哈梅積分寫(xiě)出：廣義坐標(biāo)和廣義速度的初始值由初始條件確定：23利用正交性條件可得：23解出響應(yīng)24解出響應(yīng)24歐拉梁鐵木辛柯梁忽略剪切變形時(shí)，微段為虛線所示，截面法線與梁軸線的切線重合?？紤]剪切變形時(shí)，截面法線與梁軸線之間有一夾角25歐拉梁鐵木辛柯梁忽略剪切變形時(shí)，微段為虛線所示，截面法

由材料力學(xué)知微段在y方向移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程仍為：

由于考慮微段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，微段的轉(zhuǎn)動(dòng)方程為：對(duì)于等截面梁，由上兩式消去ψ，可以得26由材料力學(xué)知由于考慮微段轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，微段的轉(zhuǎn)動(dòng)方程式中第三項(xiàng)和第四項(xiàng)表達(dá)了轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響，該方程仍可用分離變量法求解。