實例說明利用Excel進行主成分分析

PAGE4方法:1利用Excel2000進行主成分分析第一步，錄入數(shù)據(jù)，并對進行標準化?！纠恳唤M古生物腕足動物貝殼標本的兩個變量：長度和寬度。圖1原始數(shù)據(jù)和標準化數(shù)據(jù)及其均值、方差（取自張超、楊秉庚《計量地理學基礎》）計算的詳細過程如下：=1\*GB2⑴將原始數(shù)據(jù)繪成散點圖（圖2）。主持分分析原則上要求數(shù)據(jù)具有線性相關趨勢——如果數(shù)據(jù)之間不相關（即正交），則沒有必要進行主成分分析，因為主成分分析的目的就是用正交的變量代替原來非正交的變量；如果原始數(shù)據(jù)之間為非線性關系，則有必要對數(shù)據(jù)進行線性轉換，否則效果不佳。從圖2可見，原始數(shù)據(jù)具有線性相關趨勢，且測定系數(shù)R2=0.4979，相應地，相關系數(shù)R=0.7056。=2\*GB2⑵對數(shù)據(jù)進行標準化。標準化的數(shù)學公式為這里假定按列標準化，式中，分別為第j列數(shù)據(jù)的均值和標準差，為第i行（即第i個樣本）、第j列（即第j個變量）的數(shù)據(jù)，為相應于的標準化數(shù)據(jù)，為樣本數(shù)目。圖2原始數(shù)據(jù)的散點圖圖3標準化數(shù)據(jù)的散點圖圖8協(xié)方差選項框=4\*GB2⑷計算特征根。我們已經(jīng)得到相關系數(shù)矩陣為，而二階單位矩陣為，于是根據(jù)公式，我們有按照行列式化為代數(shù)式的規(guī)則可得根據(jù)一元二次方程的求根公式，當時，我們有據(jù)此解得，（對于本例，顯然，）。這便是相關系數(shù)矩陣的兩個特征根。=5\*GB2⑸求標準正交向量。將代入矩陣方程，得到在系數(shù)矩陣中，用第一行加第二行，化為由此得，令，則有，于是得基礎解系，單位化為單位化的公式為（）。完全類似，將代入矩陣方程，得到用系數(shù)矩陣的第二行減去第一行，化為于是得到，取，則有，因此得基礎解系為，單位化為這里、便是標準正交向量。=6\*GB2⑹求對角陣。首先建立標準正交矩陣P，即有該矩陣的一個特殊性質便是，即矩陣的轉置等于矩陣的逆。根據(jù)，可知下面說明一下利用Excel進行矩陣乘法運算的方法。矩陣乘法的命令為mmult，語法是mmult(矩陣1的單元格范圍，矩陣2的單元格范圍)。例如，用矩陣與矩陣C相乘，首先選擇一個輸出區(qū)域如G1:H2，然后輸入“=mmult(A1:B2,C1:D2)”，然后按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵（圖9），即可給出1.2060441.2060440.20817-0.20817再用乘得的結果與P陣相乘，便得對角矩陣1.705603000.294397如果希望一步到位也不難，選定輸出區(qū)域如C3:D4，然后輸入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)”（圖10），同時按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵，立即得到結果（圖11）。顯然，對角矩陣對角線的數(shù)值恰是相關系數(shù)矩陣的特征值。圖9矩陣乘法示例圖10矩陣連乘的命令與語法至此，標準化的原始變量x與主成分之間z之間可以表作顯然與之間正交。圖11乘法結果：對角矩陣=7\*GB2⑺根據(jù)特征根計算累計方差貢獻率?，F(xiàn)已求得第一特征根為，第二特征根為，二者之和剛好就是矩陣的維數(shù)，即有，這里m=2為變量數(shù)目（注意前面的n=25為樣本數(shù)目）。比較圖6或圖10中給出的相關系數(shù)矩陣C與圖11中給出的對角矩陣D可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有Tr.(C)=Tr.(D)，可見將相關系數(shù)亦即協(xié)方差矩陣轉換為對角矩陣以后，矩陣的跡（trace，即對角線元素之和）沒有改變，這意味著將原始變量化為主成分以后，系統(tǒng)的信息量沒有減少?，F(xiàn)在問題是，如果我們只取一個主成分代表原來的兩個變量，能反映原始變量的多少信息？這個問題可以借助相關系數(shù)矩陣的特征根來判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28%（見下表），即有特征根累計值百分比累計百分比1.7056031.70560385.28%85.28%0.294397214.72%100.00%也就是說：：1.7056，：0.2944，：2，這表明，如果僅取第一個主成分，可以反映原來數(shù)據(jù)85.28%的信息——換言之，舍棄第二個主成分，原來數(shù)據(jù)的信息僅僅損失14.72%，但分析變量的自由度卻減少一個，整個分析將會顯得更加簡明。=8\*GB2⑻計算主成分載荷。根據(jù)公式，容易算出=9\*GB2⑼計算公因子方差和方差貢獻。根據(jù)上述計算結果可以比較公因子方差和方差貢獻。再考慮全部的兩個主成分的時候，對應于和的公因子方差分別為對應于第一主成分z1和第二主成分z2的方差貢獻分別為可以看出（圖12）：第一，方差貢獻等于對應主成分的特征根，即有第二，公因子方差相等或彼此接近，即有第一，公因子方差之和等于方差貢獻之和，即有第一個規(guī)律是我們決定提取主成分數(shù)目的判據(jù)與之一，第二個規(guī)律是我們判斷提取主成分數(shù)目是否合適的判據(jù)之一，第三個規(guī)律是我們判斷提取主成分后是否損失信息的判據(jù)之一。去掉次要的主成分以后，上述規(guī)律理當仍然滿足。這時如果第二個規(guī)律不滿足，就意味著主成分的提取是不合適的。此外，上述規(guī)律也是我們檢驗計算結果是否正確的判據(jù)之一。圖12公因子方差、方差貢獻的計算結果及其與特征根的貢獻=10\*GB2⑽計算主成分得分。根據(jù)主成分與原始變量的關系，應有或者對于本例而言，式中，，這里，為前面計算的標準化特征向量。于是有化為代數(shù)形式便是式中的x均為標準化數(shù)據(jù)。對進行轉置，可得圖13計算特征向量的公式及語法圖14計算主成分得分根據(jù)這個式子，利用Excel計算主成分得分的步驟如下：=1\*GB3①將特征向量復制到標準化數(shù)據(jù)的附近；=2\*GB3②選中一個與標準化數(shù)據(jù)占據(jù)范圍一樣大小的數(shù)值區(qū)域（如G2:H26）；=3\*GB3③輸入如下計算公式“=mmult(標準化數(shù)據(jù)的范圍，特征向量的范圍)”，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)”（圖13）；=4\*GB3④同時按下“Ctrl+Shift+Enter”鍵。=5\*GB3⑤計算主成分得分的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)，均值為0（由于誤差之故，約等于0），方差等于特征根。=6\*GB3⑥最后，可以對主成分得分進行標準化。已知主成分得分的均值為0,我們不按總體方差進行標準化，而按樣本方差進行標準化。圖15主成分得分的標準化結果樣本方差的計算公式為相應地，標準差為標準化公式同前面給出的一樣。結果見表15。注意，這里之所以按樣本方差進行標準化，主要目的是為了與SPSS的計算結果進行比較。分別以z1、z2為坐標軸，將主成分得分（包括標準化的得分）點列標繪于坐標圖中，可以發(fā)現(xiàn)，點列分布沒有任何趨勢：回歸結果表明，回歸系數(shù)和相關系數(shù)均為零，即有，，（圖16，圖17）。這從幾何圖形上顯示：主成分之間是正交的，即有（試將圖16、圖17與圖2、圖3