第三章二維隨機(jī)變量及其分布

二維隨機(jī)變量(X,Y)是一個(gè)整體，但是它的分量X和Y也是一維隨機(jī)變量，各自有著自己的分布。問(wèn)題:已知(X

,Y

)的分布,如何確定X

,Y

的分布?F

(

x,

y)

=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}

,

F

(

x)

=

P{

X

￡

x},P{

X

￡

x}

=

P{

X

￡

x,Y

<

￥

}

=

F

(

x,

￥

)

=

FX

(

x)(X

,Y

)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).定義設(shè)F

(x,y)為隨機(jī)變量(X

,Y

)的分布函數(shù),則

F

(

x,

y)

=

P{

X

￡

x,Y

￡

y}

.令

y

fi

￥

,

稱

P{

X

￡

x}

=

P{

X

￡

x,Y

<

￥

}

=

F

(

x,

￥

)為隨機(jī)變量(X

,Y

)關(guān)于X的邊緣分布函數(shù).記為

FX

(

x)

=

F

(

x,￥

).同理令

x

fi

￥

,一、邊緣分布函數(shù)為必然事件FY

(

y)

=

F

(￥

,

y)

=

P{

X

<

￥

,Y

￡

y}

=

P{Y

￡

y}為隨機(jī)變量(X,Y

)關(guān)于Y

的邊緣分布函數(shù).邊緣分布：一個(gè)受限制，其它不受限制(取全部值)。

-

￥

<

y

<

+￥y

-

￥

<

x

<

+￥

，,

3+arctan+arctan2

2

2F

(x,

y)=例1.設(shè)二維隨機(jī)變量(X，Y

)的聯(lián)合分布函數(shù)為2x

p1

ppFyfi

+￥X同理，Y

的邊緣分布函數(shù)為

2

2

3

22yfi

+￥x)=

lim

F

x，

y)=

lim

1

p

+

arctan

x

p

+

arctan

y

p

2

=

1

p

+

arctan

x

p

2x

?

-

￥，

+

￥

))y

xfi

+￥Y2

F

(y)=

lim

F(x，

y)=

1

p

+arctan

,

y?

(-￥，

+￥)p

2試求：X

及Y

的邊緣分布函數(shù)．解：X

的邊緣分布函數(shù)為記j

=1,2,,i

=1,2,,分別稱

pi?

(i

=1,2,)

和

p?

j

(

j

=1,2,)

為(

X

,Y

)關(guān)于X

和關(guān)于Y

的邊緣分布律.￥i=1p?

j

=

P{Y=

y

j

}

=

pij

,pi?

=

P{X

=

xi

}

=

pij

,j

=1定義

設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(

X

,Y

)的聯(lián)合分布律為

P{X

=

xi

,Y

=

y

j

}

=

pij

,

i,

j

=1,2,.￥二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律注意記法￥P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;j

=1￥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1XYx

1x

2x

iy1p

11p

12p

21p

22p

i

1y2p

i

2y

jp

1

jp

2

jp

ij縱橫求和，放在邊緣上——邊緣分布律￥P

{

X

=

xi

}

=

pij

,

i

=

1,2,

;j

=1￥P{Y

=

y

j

}

=

pij

,

j

=

1,2,.i

=1Y.試求(X，Y

)的聯(lián)合分布律與X

及Y

各自的邊緣分布律例2.從1，2，3，4

這4個(gè)數(shù)中隨機(jī)取出一個(gè)，記所取的數(shù)為X，再?gòu)?到X

中隨機(jī)地取出一個(gè)數(shù)，記所取的數(shù)為pi.解：(X

,Y

)的分布律:XY1212341413

41

10001281216111812161

100016161pi

.

=

pij

,

p.

j

=

pijj

i????p.

j25/4813/487/481/161三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)1.

邊緣密度函數(shù)對(duì)于二維連續(xù)型R.V.(X

,Y

)，已知其聯(lián)合密度函數(shù)為f

(x,y).X

F

(x)=

F

(x，

+￥

)=-￥ -￥x+￥

f

(u，

y)dy

du+￥-￥+￥-￥f

(y)=Yf

(x，

y)dx分別稱f

X

(x),fY

(y)為(X

,Y

)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度。面密度變?yōu)榫€密度——一個(gè)取定值，另一個(gè)全部求和。則X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：f

X

(x)=

f

(x，y)dy同理Y是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為：求fX

(x),fY

(y).0,

其他.6,

x2

￡

y

￡

x,f

(x,

y)

=

解：fX+￥-￥(

x

)

=y

=

xy

=

x2Oxy(1,1)例3

設(shè)隨機(jī)變量X

和Y

具有聯(lián)合概率密度f(wàn)(

x,

y

)d

y+￥-￥Xf

(x,

y)dy

=(x)

=xx26d

y2-

x

).=

6(

x或x

>1時(shí),當(dāng)0

￡

x

￡

1

時(shí),

f當(dāng)x

<0+￥-￥f

(

x

)

=X0,因而得0

￡

x

￡1,其他.6(x

-x2

),fX

(x)

=f

(

x,

y

)d

y

=

0.同理得：0

其它6(

y

-

y)

0

<

y

<1fY

(y)=均勻分布的邊緣分布不是均勻分布(x，

y)?

D(x，

y)ˇ

Df

(x，

y

=

0)

1/

A四、二維均勻分布與二維正態(tài)分布1.

二維均勻分布設(shè)D

是平面上的有界區(qū)域,其面積為A.如果二維R.V

.(X

,Y

)的密度函數(shù)為則稱二維隨機(jī)變量(X

,Y

)服從區(qū)域D

上的均勻分布．說(shuō)明：二維隨機(jī)變量(X,Y)均勻落在D內(nèi)，落在D的子區(qū)域D1的概率為：D1的面積/D的面積。DD1例4

已知隨機(jī)變量

(

X

,

Y

)

在

D上服從均勻分布(如圖),試求X和Y的邊緣密度函數(shù).0-￥2d

y

=

2(x

+1)f

(x,

y)

d

y

=

f

(x)

=x+1X解2,

(x,

y)?

D,0,

其他.f

(x,

y)

=12S

=xoyy

=

x

+1-

11當(dāng)-1