平面向量之三點(diǎn)共線

平面向量之三點(diǎn)共線平面向量中的三點(diǎn)共線的應(yīng)用定理1：向量a和向量b平行（不相交）的充分必要條件是向量a等于向量b的數(shù)量積。定理2：三點(diǎn)A、B、C共線的充分必要條件是向量AB等于向量BC的數(shù)量積，即向量OC等于向量OB加上向量BC的數(shù)量積。例1：在三角形ABC中，M是邊BC上的任意一點(diǎn)，N是線段AM的中點(diǎn)，且AN等于向量AB加上向量AC的數(shù)量積。求λ加μ的值。類型一：已知三點(diǎn)共線，則可得x+y=1。練習(xí)：1.在三角形ABC中，G是重心，過(guò)G分別作直線與直線AB、AC交于M、N。設(shè)AM等于向量AB的數(shù)量積，AN等于向量AC的數(shù)量積。求x/y的值。2.在三角形ABC中，3AN等于NC，P是線段BN上的一點(diǎn)，且AP等于m倍的向量AB加上n倍的向量AC。求m加n的最小值。例2：設(shè)a、b是兩個(gè)不共線的單位向量，向量c滿足c等于向量a乘以3減去向量b乘以2λ再加上向量b乘以2減去向量a乘以2λ，且向量c等于向量a加上向量b的數(shù)量積的11/3倍。當(dāng)向量a減去向量b的模長(zhǎng)最小時(shí)，向量a和向量b的夾角的余弦值是多少？類型二：注意到x+y=1，可聯(lián)想到三點(diǎn)共線。練習(xí)：1.在三角形ABC中，a+b+c=1，c等于2/3，且向量a減去向量b與向量c的夾角為120度。求ta加上（1-t）b的最小值。2.在直角坐標(biāo)系中，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，2）。當(dāng)實(shí)數(shù)p、q滿足1/p+1/q=1時(shí)，點(diǎn)C、D分別在x軸和y軸上，且OC等于p倍的向量OA，OD等于q倍的向量OB。求直線CD恒過(guò)的一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。3.在三角形ABC中，AB等于4，AC等于2，向量AB加上向量AC的λ倍的最小值為2。對(duì)于三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)P，求PA乘以PB加上PC的最小值。例3：如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使DE等于CD。設(shè)向量AP等于向量AB加上向量AE的λ倍。求λ+μ的最小值和最大值。類型三：利用x+y=1，構(gòu)造直線來(lái)求值。練習(xí)：1.在扇形OAB中，∠AOB等于60度，C是弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OC等于x倍的向量OA加上y倍的向量OB。求x加3y的取值范圍。2.矩形ABCD中，AB等于1，BC等于2，E是BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)在三角形DCE內(nèi)（包括邊界）。令A(yù)F等于向量AB乘以x加上向量AE乘以y。求x加2y的取值范圍。3.在三角形OAB中，C是OA上的一點(diǎn)，且OC等于OA的三分之一。D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線l平行于OD，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，且OP等于向量OB乘以λ1加上向量OC乘以λ2。求λ1減去λ2的值。已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E在CD延長(zhǎng)線上，且DE=CD。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形ABCD的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到AA點(diǎn)，其中AP=λAB+μAE。判斷下列命題的正確性。1.λ≥0，μ≥0；2.當(dāng)點(diǎn)P為AD中點(diǎn)時(shí)，λ+μ=1；3.若λ+μ=2，則點(diǎn)P有且只有一個(gè)；4.λ+μ的最大值為3。正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E點(diǎn)位于CD延長(zhǎng)線上，且DE=CD。動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始，沿著正方形ABCD的邊以逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周，最終回到點(diǎn)A。假設(shè)AP=λAB+μAE，以下哪些命題是