河南省鄭州市高新區(qū)2022-2023學(xué)年八年級下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（27分）1．（3分）下列航天圖標(biāo)中，其圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）如果設(shè)汽車速度為vkm/h，用不等式表示下面交通標(biāo)志意義正確的是（）A．v≤30 B．v≥30 C．v＞30 D．v＜303．（3分）若a＜b，下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+m＞b+m B．2a＞2b C． D．a(chǎn)﹣2＞b﹣24．（3分）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)3﹣a＝a（a2﹣1） B．25x2﹣y2＝（5x+y）（5x﹣y） C．m2﹣2m+1＝m（m﹣2）+1 D．5．（3分）用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)不平行b B．a(chǎn)不垂直于c C．b不垂直于c D．a(chǎn)，b都不垂直于c6．（3分）由生活經(jīng)驗(yàn)，我們知道往一杯糖水中再加入一點(diǎn)糖，糖水就變甜了．將a克糖放入水中，此時(shí)糖水的含糖量記為（a＜b），再往杯中加入c（c＞0），此時(shí)糖水的含糖含糖量可表示為（）A． B． C． D．7．（3分）校園湖邊一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，若在線段右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一個(gè)觀賞亭，使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等．則點(diǎn)P在（）A．線段AC、BD的交點(diǎn) B．∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn) C．線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn) D．線段BC、CD垂直平分線的交點(diǎn)8．（3分）生活中，我們所見到的地面、墻面、繪畫圖案等常常由一種或幾種形狀相同的圖形拼接而成，彼此之間不留空隙，這就是平面圖形的鑲嵌．以下鑲嵌圖形所用的平行四邊形中最大內(nèi)角為（）A．110° B．120° C．144° D．150°9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形∠OAB＝90°，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A． B．（2，2） C． D．（2，﹣2）二、填空題（15分）10．（3分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是．11．（3分）等邊三角形三邊相等的逆命題為．12．（3分）為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市制定如下的用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)用水量未超過8m3時(shí)，每立方米收費(fèi)1元；當(dāng)用水量超過8m3時(shí)，超過的部分每立方米收費(fèi)1.5元，設(shè)某戶六月的用水量為xm3（x＞8）應(yīng)交水費(fèi)y（元）．則y＝．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是．14．（3分）定義：如果一個(gè)凸四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對角線稱為“界線”，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，則∠BCD的度數(shù)為．三、解答題（75分）15．（8分）計(jì)算：（1﹣）÷16．（9分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請畫出△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1.此時(shí)B1的坐標(biāo)為平移過程中線段CB掃過的面積為；（2）請畫出△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A2B2C2，△A2B2C2面積為．（3）如果△ABC可以通過一次旋轉(zhuǎn)得到△A2B2C2，則旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)為．17．（12分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探索三角形的一條中位線和第三邊中線關(guān)系的過程．在如圖中，運(yùn)用尺規(guī)作△ABC三邊的垂直平分線，分別與邊AB、AC、BC交于點(diǎn)D、E、F，請你一起完成探索過程．（1）使用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；（2）通過觀察圖形，猜想DE和AF互相平分，請你寫出證明過程；（3）通過證明，可以得到結(jié)論（用文字表述：如三角形內(nèi)角和180°）18．（10分）我們生活在一個(gè)充滿軸對稱的世界中，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，都可以找到軸對稱的影子．我們把形如AA，BAB，EFGFE等的正整數(shù)叫“軸對稱數(shù)”，例如：33，2442，56765，…（1）寫出一個(gè)最小的兩位“軸對稱數(shù)”：．（2）任意一個(gè)三位及三位以上“軸對稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差都能被10整除．例如121﹣1×11＝110＝10×11；2332﹣2×11＝2310＝10×231；32123﹣3×11＝32090＝10×3209．①設(shè)形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)“軸對稱數(shù)”可以表示為．②運(yùn)用所學(xué)說明形如ABA的三位的“軸對稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差能被10整除．（3）如果形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”與它的“換位軸對稱數(shù)”形如BAB的和等于百位數(shù)字a與十位數(shù)字b的平方差的37倍（其中a＞b），則稱這個(gè)三位數(shù)為“智慧軸對稱數(shù)”，例如212的“換位軸對稱數(shù)”為121，212百位數(shù)字2與十位數(shù)字1的平方差的37倍（22﹣12）×37＝111，因?yàn)?33≠111，所以212不是“智慧軸對稱數(shù)”．如果一個(gè)三位數(shù)是“智慧軸對稱數(shù)”．19．（12分）2023中國產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)移發(fā)展對接活動(dòng)（河南）在鄭州隆重舉行，本屬活動(dòng)以“開放，提出要重點(diǎn)培育新興產(chǎn)業(yè)．電子商務(wù)作為新興行業(yè)，其迅速崛起帶來了物流運(yùn)輸和配送的巨大需求．某快遞公司采購A，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多分揀200件快遞，且A型機(jī)器人分揀700件快遞所用的時(shí)間與B型機(jī)器人分600件快遞所用的時(shí)間相等．（1）求B型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞的件數(shù)；（2）若快遞公司共購進(jìn)10臺機(jī)器人，A型機(jī)器人售價(jià)20萬元/臺，B型機(jī)器人售價(jià)15萬元/臺，如何設(shè)計(jì)采購方案費(fèi)用最少？20．（12分）小慧同學(xué)在參加學(xué)校剪紙社團(tuán)的時(shí)候，剩下了一些四邊形的紙片．愛思考的她想計(jì)算一下這張紙片的面積，通過測量她發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，AC＝6cm．她發(fā)現(xiàn)如果將紙片沿著AC裁剪，△ACB拼到AD的左側(cè)正好可以拼成一個(gè)等腰直角三角形（△ACC′）．通過證明和計(jì)算同桌小智經(jīng)過思考，過點(diǎn)A作BC的垂線AE，然后沿著AE裁剪，這樣就拼出了兩個(gè)等腰直角三角形（△ACE′和△ACE），通過證明和計(jì)算你知道他們都是如何解決這個(gè)問題的嗎？請你從兩名同學(xué)的作法中任選一個(gè)，給出證明，并求出四邊形ABCD的面積．?21．（12分）小宇將一個(gè)含60°的三角板繞著等邊△ABC中BC邊上的一點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，如圖所示，三角板短直角邊、斜邊分別與邊AB、AC交于點(diǎn)D、點(diǎn)F，得到圖1，作點(diǎn)E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)G，DG．?（1）請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形，則EC與CG的數(shù)量關(guān)系是，∠ACG的度數(shù)為．（2）①證明△DBE≌△ECF；②證明四邊形DBCG是平行四邊形．（3）當(dāng)AD＜BD，時(shí)，直接寫出∠BDE的度數(shù)．

2022-2023學(xué)年河南省鄭州市高新區(qū)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題.1．（3分）下列航天圖標(biāo)中，其圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義（在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形與另一個(gè)圖形重合，那么這兩個(gè)圖形互為中心對稱圖形）逐項(xiàng)判斷即可得．【解答】解：選項(xiàng)A、C、D都不能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，所以不是中心對稱圖形．選項(xiàng)B能找到這樣的一個(gè)點(diǎn)，使圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與原來的圖形重合．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是中心對稱圖形，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合．2．（3分）如果設(shè)汽車速度為vkm/h，用不等式表示下面交通標(biāo)志意義正確的是（）A．v≤30 B．v≥30 C．v＞30 D．v＜30【答案】A【分析】根據(jù)限速30km/h，即可得出關(guān)于v的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：v≤30．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．3．（3分）若a＜b，下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)+m＞b+m B．2a＞2b C． D．a(chǎn)﹣2＞b﹣2【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a＜b，∴a+m＜b+m，故A不符合題意；B、∵a＜b，∴2a＜2b，故B不符合題意；C、∵a＜b，∴﹣＞﹣，故C符合題意；D、∵a＜b，∴a﹣2＜b﹣5，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（3分）下列因式分解正確的是（）A．a(chǎn)3﹣a＝a（a2﹣1） B．25x2﹣y2＝（5x+y）（5x﹣y） C．m2﹣2m+1＝m（m﹣2）+1 D．【答案】B【分析】根據(jù)因式分解的定義，然后對于每一個(gè)多項(xiàng)式都先提公因式，再運(yùn)用公式法繼續(xù)分解，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、a3﹣a＝a（a2﹣8）＝a（a+1）（a﹣1），故A不符合題意；B、25x2﹣y2＝（5x+y）（8x﹣y），故B符合題意；C、m2﹣2m+4＝（m﹣1）2，故C不符合題意；D、x+3＝x（1+），故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，一定要注意如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，必須先提公因式．5．（3分）用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)不平行b B．a(chǎn)不垂直于c C．b不垂直于c D．a(chǎn)，b都不垂直于c【答案】A【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立解答即可．【解答】解：反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，則a∥b”時(shí)，假設(shè)a不平行b，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．6．（3分）由生活經(jīng)驗(yàn)，我們知道往一杯糖水中再加入一點(diǎn)糖，糖水就變甜了．將a克糖放入水中，此時(shí)糖水的含糖量記為（a＜b），再往杯中加入c（c＞0），此時(shí)糖水的含糖含糖量可表示為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】依據(jù)題意，根據(jù)糖水中的含糖量＝，進(jìn)而計(jì)算可以得解．【解答】解：由題意，加入c克糖后，糖總量為（a+c）克，∴此時(shí)糖水的含糖含糖量＝．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了溶液中溶質(zhì)的含量計(jì)算，解題時(shí)要理解題意，準(zhǔn)確列式．7．（3分）校園湖邊一角的形狀如圖所示，其中AB，BC，若在線段右側(cè)的區(qū)域中找到一點(diǎn)P修建一個(gè)觀賞亭，使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等．則點(diǎn)P在（）A．線段AC、BD的交點(diǎn) B．∠ABC、∠BCD角平分線的交點(diǎn) C．線段AB、BC垂直平分線的交點(diǎn) D．線段BC、CD垂直平分線的交點(diǎn)【答案】B【分析】角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，由此即可判斷．【解答】解：∵角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，∴使點(diǎn)P到三面墻的距離都相等，點(diǎn)P是∠ABC．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．8．（3分）生活中，我們所見到的地面、墻面、繪畫圖案等常常由一種或幾種形狀相同的圖形拼接而成，彼此之間不留空隙，這就是平面圖形的鑲嵌．以下鑲嵌圖形所用的平行四邊形中最大內(nèi)角為（）A．110° B．120° C．144° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)平面圖形鑲嵌的定義和平行四邊形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：由圖中心的五角星可得空白的平行四邊形的內(nèi)角為360°÷5＝72°，所以另一個(gè)內(nèi)角為180°﹣72°＝108°，所以鑲嵌圖形所用的平行四邊形中最大內(nèi)角為360°﹣108°×2＝144°．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了平面鑲嵌，掌握平面鑲嵌的條件是解題的關(guān)鍵．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等腰直角三角形∠OAB＝90°，點(diǎn)B在第一象限內(nèi)，將△AOB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A． B．（2，2） C． D．（2，﹣2）【答案】A【分析】觀察圖象可知，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)8次一個(gè)循環(huán)，利用這個(gè)規(guī)律解決問題即可．【解答】解：觀察圖象可知，點(diǎn)B1旋轉(zhuǎn)8次一個(gè)循環(huán)，∵2023÷2＝252余數(shù)為7，∴點(diǎn)B2023的坐標(biāo)與B7（3，0）相同，∴點(diǎn)B2023的坐標(biāo)為（3，0）．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化﹣旋轉(zhuǎn)，規(guī)律型問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．二、填空題（本題5個(gè)小題，每小題3分，共15分）10．（3分）若代數(shù)式有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是x≠2．【答案】x≠2．【分析】根據(jù)分式的分母不為零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由題意得：2﹣x≠0，解得x≠7，故答案為：x≠2．【點(diǎn)評】本題考查的是分式有意義的條件，熟記分式的分母不為零是解題的關(guān)鍵．11．（3分）等邊三角形三邊相等的逆命題為三邊相等的三角形是等邊三角形．【答案】三邊相等的三角形是等邊三角形．【分析】根據(jù)逆命題的概念解答即可．【解答】解：等邊三角形三邊相等的逆命題為三邊相等的三角形是等邊三角形，故答案為：三邊相等的三角形是等邊三角形．【點(diǎn)評】本題考查的是逆命題的概念，兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．其中一個(gè)命題稱為另一個(gè)命題的逆命題．12．（3分）為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識，某市制定如下的用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：當(dāng)用水量未超過8m3時(shí)，每立方米收費(fèi)1元；當(dāng)用水量超過8m3時(shí)，超過的部分每立方米收費(fèi)1.5元，設(shè)某戶六月的用水量為xm3（x＞8）應(yīng)交水費(fèi)y（元）．則y＝1.5x﹣4（x＞8）．【答案】1.5x﹣4（x＞8）．【分析】利用應(yīng)交水費(fèi)＝1×8+1.5×超過8m3的部分，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，此題得解．【解答】解：根據(jù)題意得：y＝1×8+3.5（x﹣8），∴y＝6.5x﹣4（x＞3）．故答案為：1.5x﹣3（x＞8）．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．13．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點(diǎn)N是BC邊上一點(diǎn)，點(diǎn)M為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN的中點(diǎn)，則DE的最小值是．【答案】．【分析】當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最小，此時(shí)DE的值也最小，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)三角形的面積求出CM，再求出答案即可．【解答】解：連接CM，∵點(diǎn)D、E分別為CN，∴DE＝CM，當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM的值最小，由勾股定理得：AB＝＝＝10，∵S△ABC＝＝，∴CM＝，∴DE＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了三角形的面積，勾股定理，三角形的中位線，垂線段最短等知識點(diǎn)，注意：三角形的中位線等于第三邊的一半．14．（3分）定義：如果一個(gè)凸四邊形的一條對角線把四邊形分成兩個(gè)等腰三角形，那么稱這個(gè)凸四邊形為“等腰四邊形”，把這條對角線稱為“界線”，AB＝BC＝AD，∠BAD＝90°，則∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．【答案】∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．【分析】由AC是四邊形ABCD的等腰線，可以得出△ACD是等腰三角形，從圖1，圖2，圖3三種情況運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)和判定和30°的直角三角形性質(zhì)就可以求出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC是四邊形ABCD的界線，∴△ACD是等腰三角形．∵AB＝AD＝BC，如圖1，當(dāng)AD＝AC時(shí)，∴AB＝AC＝BC，∠ACD＝∠ADC∴△ABC是正三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°．∵∠BAD＝90°，∴∠CAD＝30°，∴∠ACD＝∠ADC＝75°∴∠BCD＝60°+75°＝135°．如圖2，當(dāng)AD＝CD時(shí)，∴AB＝AD＝BC＝CD．∵∠BAD＝90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°如圖3，當(dāng)AC＝CD時(shí)，過點(diǎn)B作BF⊥CE于F，∵AC＝CD．CE⊥AD，∴AE＝AD．∵∠BAD＝∠AEF＝∠BFE＝90°，∴四邊形ABFE是矩形．∴BF＝AE．∵AB＝AD＝BC，∴BF＝BC，∴∠BCF＝30°．∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC．∵AB∥CE，∴∠BAC＝∠ACE，∴∠ACB＝∠ACE＝∠BCF＝15°，∴∠BCD＝15°×3＝45°．綜上，∠BCD的度數(shù)為135°或90°或45°．故答案為：135°或90°或45°．【點(diǎn)評】本題考查了“等腰四邊形”的定義和性質(zhì)的運(yùn)用，“等腰四邊形”的判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，30°的直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用．解答如圖3這種情況容易忽略，解答時(shí)合理運(yùn)用分類討論思想是關(guān)鍵．三、解答題（本大題共7小題，共75分）15．（8分）計(jì)算：（1﹣）÷【答案】1．【分析】原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果．【解答】解：原式＝＝＝7．【點(diǎn)評】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．16．（9分）如圖，△ABC三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）請畫出△ABC向左平移4個(gè)單位長度后得到的△A1B1C1.此時(shí)B1的坐標(biāo)為（0，2）平移過程中線段CB掃過的面積為8；（2）請畫出△A1B1C1關(guān)于原點(diǎn)對稱的△A2B2C2，△A2B2C2面積為3.5．（3）如果△ABC可以通過一次旋轉(zhuǎn)得到△A2B2C2，則旋轉(zhuǎn)中心Q的坐標(biāo)為（2，0）．【答案】（1）（4，0），8；（2）3.5；（3）（2，0）．【分析】（1）利用點(diǎn)平移的坐標(biāo)變換規(guī)律得到點(diǎn)A1、B1、C1的坐標(biāo)，然后描點(diǎn)即可；（2）用一個(gè)矩形的面積分別減去三個(gè)直角三角形的面積去計(jì)算△A2B2C2面積；、（3）利用AA1、BB1和CC1，它們相交于點(diǎn)Q，從而寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6為所作，B1的坐標(biāo)為（0，5），平移過程中線段CB掃過的面積＝4×2＝8；故答案為：（4，0），8；（2）如圖，△A2B2C6為所作，△A2B2C5面積＝3×3﹣×3×4﹣×2×8＝3.5；故答案為：3.5；（3）如圖，△ABC點(diǎn)Q（26B2C2．故答案為：（3，0）．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，對應(yīng)角都相等都等于旋轉(zhuǎn)角，對應(yīng)線段也相等，由此可以通過作相等的角，在角的邊上截取相等的線段的方法，找到對應(yīng)點(diǎn)，順次連接得出旋轉(zhuǎn)后的圖形．也考查了平移變換．17．（12分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探索三角形的一條中位線和第三邊中線關(guān)系的過程．在如圖中，運(yùn)用尺規(guī)作△ABC三邊的垂直平分線，分別與邊AB、AC、BC交于點(diǎn)D、E、F，請你一起完成探索過程．（1）使用直尺和圓規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡）；（2）通過觀察圖形，猜想DE和AF互相平分，請你寫出證明過程；（3）通過證明，可以得到結(jié)論三角形的中位線和第三邊上的中線互相平分（用文字表述：如三角形內(nèi)角和180°）【答案】（1）見解析；（2）DE和AF互相平分，證明見解析；（3）三角形的中位線和第三邊上的中線互相平分．【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；（2）連接DE，EF，根據(jù)三角形中位線定理得到DF∥AC，EF∥AB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示；（2）DE和AF互相平分，證明：連接DE，EF，∵D是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF∥AC，∵E是AC的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AB，∴四邊形ADFE是平行四邊形，∴DE和AF互相平分；（3）三角形的中位線和第三邊上的中線互相平分，故答案為：三角形的中位線和第三邊上的中線互相平分．【點(diǎn)評】本題考查了作圖﹣基本作圖，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確地作出圖形是解題的關(guān)鍵．18．（10分）我們生活在一個(gè)充滿軸對稱的世界中，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，都可以找到軸對稱的影子．我們把形如AA，BAB，EFGFE等的正整數(shù)叫“軸對稱數(shù)”，例如：33，2442，56765，…（1）寫出一個(gè)最小的兩位“軸對稱數(shù)”：11．（2）任意一個(gè)三位及三位以上“軸對稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差都能被10整除．例如121﹣1×11＝110＝10×11；2332﹣2×11＝2310＝10×231；32123﹣3×11＝32090＝10×3209．①設(shè)形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”的百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個(gè)“軸對稱數(shù)”可以表示為101a+10b．②運(yùn)用所學(xué)說明形如ABA的三位的“軸對稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差能被10整除．（3）如果形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”與它的“換位軸對稱數(shù)”形如BAB的和等于百位數(shù)字a與十位數(shù)字b的平方差的37倍（其中a＞b），則稱這個(gè)三位數(shù)為“智慧軸對稱數(shù)”，例如212的“換位軸對稱數(shù)”為121，212百位數(shù)字2與十位數(shù)字1的平方差的37倍（22﹣12）×37＝111，因?yàn)?33≠111，所以212不是“智慧軸對稱數(shù)”．如果一個(gè)三位數(shù)是“智慧軸對稱數(shù)”a﹣b＝3．【答案】（1）11；（2）①101a+10b；②答案見解析過程；（3）a﹣b＝3．【分析】（1）由“軸對稱數(shù)”是正整數(shù)，再根據(jù)“軸對稱數(shù)”的表示形式，便可求出最小的兩位的兩位“軸對稱數(shù)；（2）①用相應(yīng)數(shù)位上的數(shù)字成數(shù)位，再相加，便可表示出該“軸對稱數(shù)”；②先用代數(shù)式分別表示出形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”以及它個(gè)位數(shù)字的11倍，然后將它們相減，并化簡所得結(jié)果，最后驗(yàn)證結(jié)果是10的倍數(shù)即可；（3）先表示出該三位“軸對稱數(shù)”與它的“換位軸對稱數(shù)”的差，再表示出a與b平方差的37倍，由兩者相等，建立等式，對此等式變形化簡，可得出a和b之間滿足的關(guān)系．【解答】解：（1）因?yàn)椤拜S對稱數(shù)”是正整數(shù)，且最小的正整數(shù)是1，所以最小的兩位“軸對稱數(shù)”是：11，故答案為：11；（2）①由題知，這個(gè)“軸對稱數(shù)”是：100a+10b+a＝101a+10b，故答案為：101a+10b；②令形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”的百位數(shù)字為m，十位數(shù)字為n，則該“軸對稱數(shù)”可表示為：101m+10n，它個(gè)位數(shù)字的11倍為：11m，因此兩者的差為：101m+10n﹣11m＝90m+10n＝10（9m+n），又m為正整數(shù)，n為非負(fù)整數(shù)，則10（7m+n）是10的倍數(shù)，所以形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”與它個(gè)位數(shù)字的11倍的差能被10整數(shù)；（3）形如ABA的三位“軸對稱數(shù)”可表示為：101a+10b，它的“換位軸對稱數(shù)”可表示為：101b+10a，則它們的和為：101a+10b+101b+10a＝111a+111b，又a與b的平方差的37倍可表示為：37（a2﹣b2），由題知，兩者相等時(shí)，所以111a+111b＝37（a5﹣b2），即111（a+b）＝37（a+b）（a﹣b），又a+b≠0，故a﹣b＝2，所以a和b滿足的條件是：a﹣b＝3，故答案為：a﹣b＝3．【點(diǎn)評】本題考查了用字母表示數(shù)，及代數(shù)式的運(yùn)算．19．（12分）2023中國產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)移發(fā)展對接活動(dòng)（河南）在鄭州隆重舉行，本屬活動(dòng)以“開放，提出要重點(diǎn)培育新興產(chǎn)業(yè)．電子商務(wù)作為新興行業(yè)，其迅速崛起帶來了物流運(yùn)輸和配送的巨大需求．某快遞公司采購A，已知A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多分揀200件快遞，且A型機(jī)器人分揀700件快遞所用的時(shí)間與B型機(jī)器人分600件快遞所用的時(shí)間相等．（1）求B型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞的件數(shù)；（2）若快遞公司共購進(jìn)10臺機(jī)器人，A型機(jī)器人售價(jià)20萬元/臺，B型機(jī)器人售價(jià)15萬元/臺，如何設(shè)計(jì)采購方案費(fèi)用最少？【答案】（1）1200件；（2）采購A型機(jī)器人5臺，B型機(jī)器人5臺時(shí)總費(fèi)用最少．【分析】（1）根據(jù)A型機(jī)器人比B型機(jī)器人每小時(shí)多分揀200件快遞，且A型機(jī)器人分揀700件快遞所用的時(shí)間與B型機(jī)器人分600件快遞所用的時(shí)間相等，列出方程解之即可；（2）根據(jù)每小時(shí)分揀不少于13000件快遞的需求列出不等式即可．【解答】解：（1）設(shè)B型每小時(shí)分揀快遞x件，則A型分揀（x+200）件，由題意可得：，解得：x＝1200，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝1200是原分式方程的根，答：B型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞1200件．（2）設(shè)A型機(jī)器人a臺，則B型機(jī)器人（10﹣a）臺，由（1）可知：B型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞1200件，A型機(jī)器人每小時(shí)分揀快遞1400件，由題意可知：1200（10﹣a）+1400a≥13000且a≤10，解得：5≤a≤10，w＝20a+15（10﹣a），整理得：w＝5a+150，∵7＞0，∴w隨a的增大而增大，∴當(dāng)a＝5，即A型機(jī)器人8臺．答：采購A型機(jī)器人5臺，B型機(jī)器人5臺時(shí)總費(fèi)用最少．【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用及其分式方程，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．20．（12分）小慧同學(xué)在參加學(xué)校剪紙社團(tuán)的時(shí)候，剩下了一些四邊形的紙片．愛思考的她想計(jì)算一下這張紙片的面積，通過測量她發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，AC＝6cm．她發(fā)現(xiàn)如果將紙片沿著AC裁剪，△ACB拼到AD的左側(cè)正好可以拼成一個(gè)等腰直角三角形（△ACC′）．通過證明和計(jì)算同桌小智經(jīng)過思考，過點(diǎn)A作BC的垂線AE，然后沿著AE裁剪，這樣就拼出了兩個(gè)等腰直角三角形（△ACE′和△ACE），通過證明和計(jì)算你知道他們都是如何解決這個(gè)問題的嗎？請你從兩名同學(xué)的作法中任選一個(gè)，給出證明，并求出四邊形ABCD的面積．?【答案】任選一個(gè)同學(xué)的作法作答，S四邊形ABCD＝18cm2．【分析】依據(jù)題意，分別對小慧和小智的作法進(jìn)行分析、推理后，即可得解．【解答】解：小慧的作法：由題意，△ABC≌△ADC'．∴∠CAB＝∠C'AD，CA＝C'A＝6cm．∵∠DAB＝90°，∠DCB＝90°，∴∠C'AC＝∠C'AD+∠CAD＝∠CAB+∠CAD＝∠DAB＝90°，∠CDA+∠CBA＝180°．又∠C'DA＝∠CBA，∴∠CDA+∠C'DA＝180°．∴C'、D、C在一直線上．又∠C'AC＝90°，∴S△C'AC＝S四邊形ABCD＝CA×CA＝18（cm2）．小智的作法：由題意，△AEB≌△AE'D．∴∠AEB＝∠AE'D＝90°，AE＝AE'．∵∠CDA+∠CBA＝180°．∴∠E'DA+∠CBA＝180°．∴E'、D、C在一直線上．又∠DCB＝∠CEA＝∠E'＝90°，∴四邊形AECE'是矩形．又AE＝AE'，∴四邊形AECE'是正方形．∵AC＝6cm，∴正方形的邊長AE＝AC＝3．∴S正方形AECE'＝S四邊形ABCD＝EA×EA＝18（cm7