課時(shí)規(guī)范練25　平面向量的概念及線性運(yùn)算

課時(shí)規(guī)范練25平面向量的概念及線性運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固組1.給出下列命題:①零向量的長(zhǎng)度為零,方向是任意的;②若a,b都是單位向量,則a=b;③向量AB與BA則所有正確命題的序號(hào)是()A.① B.③ C.①③ D.①②答案:A解析:根據(jù)零向量的定義可知①正確;根據(jù)單位向量的定義可知,單位向量的模相等,但方向不一定相同,故兩個(gè)單位向量不一定相等,故②錯(cuò)誤;向量AB與BA互為相反向量,故③2.(2021福建福州模擬)如圖,則a-b=()A.2e1-3e2B.-2e1+3e2C.3e1-2e2D.-3e1+2e2答案:A解析:由圖知:a=3e1+e2,b=e1+4e2,則a-b=2e1-3e2.3.(2021四川瀘州診斷測(cè)試)在四邊形ABCD中,AC=AB+A.四邊形ABCD是矩形 B.四邊形ABCD是菱形C.四邊形ABCD是正方形 D.四邊形ABCD是平行四邊形答案:D解析:根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可得,以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD,如圖,可得AC=AB+AD,4.(2021廣東珠海模擬)已知正六邊形ABCDEF中,AB+CD+EFA.AF B.BE C.CD 答案:D解析:如圖,連接AD,BE,設(shè)AD與BE交于O點(diǎn),則BO=∴AB+CD5.(2021貴州貴陽(yáng)清華中學(xué)高三月考)如圖,在△ABC中,BD=12DC,AE=3ED,若AB=a,AC=A.13a+13b B.-12C.12a+14b D.-13答案:B解析:因?yàn)锳E=3ED,所以BE?BA=3(BD?BE),所以4又因?yàn)锽D=12DC,所以BD=可得4BE=BA+(AC?AB),所以4BE即BE=-12AB+14AC,即BE=-6.(2021山東濰坊三模)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=13AC,若ED=λAD+μAB,則λA.-13 B.1 C.23答案:D解析:ED=AD?AE又ED=λAD+μAB根據(jù)平面向量基本定理可得λ=23,μ=-13,∴λ+μ7.(2021陜西西安中學(xué)高三月考)在四邊形ABCD中,AB∥CD,設(shè)AC=λAB+μAD(λ,μ∈R).若λ+μ=43,則|CDA.23 B.12 C答案:C解析:∵AB∥CD,∴設(shè)|CD||AB|=k,則DC∵AC=AD+DC=kAB∴λ=k,μ=1.∵λ+μ=43,∴8.給出以下5個(gè)條件:①a=b;②|a|=|b|;③a與b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a與b都是單位向量.其中能使a∥b成立的是(填序號(hào)).

答案:①③④解析:相等向量一定是共線向量,①能使a∥b;|a|=|b|,不能確定方向,所以②不能使a∥b成立;方向相同或相反的向量一定是共線向量,③能使a∥b;零向量與任一向量平行,④能使a∥b成立;單位向量的模相等,但方向不確定,所以⑤不能使a∥b成立.9.(2021浙江湖州模擬)已知|AB|=10,|AC|=7,則|CB|的取值范圍為.

答案:[3,17]解析:因?yàn)镃B=AB?AC,所以|CB又||AB|-|AC||≤|AB?AC|≤|AB|+|AC|,即3≤|AB?AC|≤17,即3≤|CB10.(2021北京通州一模)設(shè)向量e1,e2是兩個(gè)不共線的向量,已知AB=2e1-e2,AC=e1+3e2,BD=2e1-ke2,且B,C,D三點(diǎn)共線,則BC=(用e1,e2表示);實(shí)數(shù)k=.

答案:-e1+4e28解析:由向量減法法則得BC=AC?AB=-e1+由于B,C,D三點(diǎn)共線,所以BD=λBC,即2e1-ke2=λ(-e1+4e2所以-λ=2綜合提升組11.(2021福建福州一模)在△ABC中,E為AB邊的中點(diǎn),D為AC邊上的點(diǎn),BD,CE交于點(diǎn)F.若AF=37AB+A.2 B.3 C.4 D.5答案:C解析:設(shè)AC=λAD,因?yàn)锳F所以AF=因?yàn)锽,F,D三點(diǎn)在同一條直線上,所以37+所以λ=4,所以ACAD=412.莊嚴(yán)美麗的國(guó)旗和國(guó)徽上的五角星是革命和光明的象征,正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系.在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且PTAP=5A.B.C.D.答案:A解析:設(shè)AP=a,因?yàn)镻TAP所以PT=5-12a,CP=5+12a所以CP因?yàn)镃T=CP+PT所以CT13.(2021湖北武漢模擬)已知O是△ABC所在平面內(nèi)的一定點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|,λ∈(0,+∞A.內(nèi)心 B.外心C.重心 D.垂心答案:A解析:如圖,設(shè)AB|AB|=AF以AE,AF為鄰邊作平行四邊形AEDF,連接AD,并延長(zhǎng)至與BC則AD=易知四邊形AEDF為菱形,所以AD平分∠BAC,由OP=OA+λAB|AB|+AC|AC得AP=λAD,又AP與AD有公共點(diǎn)A,故A,D所以點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上,故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)△ABC的內(nèi)心.14.點(diǎn)M在△ABC內(nèi)部,滿(mǎn)足2MA+3MB+4MC=0,則S△MAC∶S△MAB=.

答案:3∶4解析:由題意,分別延長(zhǎng)MA至D,MB至E,MC至F,連接ED,DF,EF.使MD=2MA,ME=3MB,MF=4MC,如圖,由2MA+3MB+4MC=0,得MD+ME+所以點(diǎn)M是△DEF的重心,所以S△MDE=S△MEF=S△MFD,設(shè)S△MDE=1,則S△MAB=12×13=16所以S△MAC∶S△MAB=18∶16=15.(2021江蘇鹽城中學(xué)高三月考)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,且滿(mǎn)足BE=EC,CD=2CF,則|AE答案:3解析:因?yàn)锽E=EC,又因?yàn)镃D=2CF,所以AF=所以|AE+AF|=32|又因?yàn)椤螧AD=120°,所以∠ADC=60°,所以△ADC為等邊三角形,所以AC=AD=2,所以|AE+AF|=32|AC|=創(chuàng)新應(yīng)用組16.(2021山東淄博一模)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6,點(diǎn)P滿(mǎn)足PA+2PB?PC=0,則|PA|=(A.32 B.23 C.33 D.答案:C解析:依題意PA+2PB?PC=0,PA?PC=-2PB,CA=-如圖,在△ABC中,設(shè)D是AC中點(diǎn),連接BD,由于三角形ABC是等邊三角形,所以BD⊥AD,∠ABD=∠CBD=30°,由于CA=2BP,所以DA=BP,所以四邊形BDAP是矩形,在圖中作出四邊形所以∠ABP=90°-30°=60°,Rt△APB中,AP=AB·sin60°=6×32=33,即|PA|=17.(2021四川涼山三模)如圖,P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn),角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知總有優(yōu)美等式S△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0成立.現(xiàn)有以下命題:①若P是△ABC的重心,則有PA+PB+②若aPA+bPB+cPC=0成立,則P是△ABC的內(nèi)心;③若AP=25AB+15AC,則S△ABP④若P是△ABC的外心,A=π4,PA=mPB+nPC,則m+n∈[-則正確的命題有.

答案:①②④解析:對(duì)于①,如圖所示,因?yàn)镈,E,F分別為CA,AB,BC的中點(diǎn),所以CP=2PE,S△AEC=12S△ABC,S△APC=23S△AEC=13S同理可得S△APB=13S△ABC,S△BPC=13S△所以S△PBC=S△PAC=S△PAB.又因?yàn)镾△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC=0,所以PA+PB+PC=0對(duì)于②,記點(diǎn)P到AB,BC,CA的距離分別為h1,h2,h3,S△PBC=12a·h2,S△PAC=12b·h3,S△PAB=12c·h1,因?yàn)镾△PBCPA+S△PACPB+S△PABPC則12a·h2·PA+12b·h3·PB+12c·h1·PC=0,即a·h2PA+b·h又因?yàn)閍PA+bPB+cPC=0,所以h1=h2=h3,所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.②正確;對(duì)于③,因?yàn)锳P=所以PA=-25AB?所以S△PBC-25AB?15AC+S△PAC35AB?15AC+S△化簡(jiǎn)得-25S△PBC+35S△PAC-25S△PABAB+-15S△PBC-