數(shù)學(xué)分析第三章-函數(shù)極限課件

§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限§1函數(shù)極限概念第三章函數(shù)極限1一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限

一、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限2數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件3數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件4數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件5定義１設(shè)

為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對(duì)任給的,存在正數(shù)Ｍ

,使得當(dāng)時(shí)有

則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)時(shí)以Ａ為極限。記作.

定義１設(shè)為定義在上的函數(shù)，Ａ為定數(shù)。若對(duì)任給的,存在正數(shù)Ｍ6幾點(diǎn)注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實(shí)數(shù),(1)正整數(shù)n。的鄰域描述：當(dāng)時(shí)，(3)(2)的幾何意義：對(duì)中心線，以為寬的帶形區(qū)域;，就有以Ａ為的右方，曲線全部落在這個(gè)帶形區(qū)域內(nèi)。在直線幾點(diǎn)注記而不僅僅是某些表示比Ｍ大的所有實(shí)數(shù),(1)正整數(shù)7數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件82.另兩種情形:

2.另兩種情形:93.幾何解釋:3.幾何解釋:10例1例111證例2證例212證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，，則有：分析證左半部分成立，只考察右半部分x的范圍，13二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限14數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件15時(shí)函數(shù)極限的定義

1定義２設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義，Ａ為定數(shù)，若對(duì)，當(dāng)時(shí)，有則稱(chēng)函數(shù)當(dāng)

（或稱(chēng)Ａ為時(shí)的極限），記作:

時(shí)以Ａ為極限趨于時(shí)函數(shù)極限的定義1定義２設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)16數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件172.幾何解釋:注意：2.幾何解釋:注意：18例3例319證例4證例420證例5證明

證例5證明21.例6.例622證證23幾點(diǎn)注釋1定義中的相當(dāng)于數(shù)列極限中的，它與有關(guān)，但不是唯一確定。2定義中只考慮在空心鄰域內(nèi)有定義的情形，一般不考慮函數(shù)在有無(wú)定義。3以上的定義可以用鄰域的形式簡(jiǎn)單給出。幾點(diǎn)注釋1定義中的相當(dāng)于數(shù)列極限中的24三.單側(cè)極限:例如,三.單側(cè)極限:例如,25數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件26左極限

右極限左極限右極限27例6例628證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。證左右極限存在但不相等,例7討論函數(shù)在處的單側(cè)極限。29數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件30作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);8作業(yè)P471(3)(4);3;4;6(3);831§２函數(shù)極限的性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。教學(xué)要求：掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)：唯一

性、局部保號(hào)性、不等式性質(zhì)以及有理運(yùn)算性等?！欤埠瘮?shù)極限的性質(zhì)教學(xué)目的：使學(xué)生掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)。32六種極限

六種極限33一函數(shù)極限的性質(zhì)

2.局部有界性1.唯一性一函數(shù)極限的性質(zhì)2.局部有界性1.唯一性34推論3.局部保號(hào)性

；推論3.局部保號(hào)性；354.局部保不等性定理3.54.局部保不等性定理3.536本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算函數(shù)極限的方法。5.逼斂性定理3.5本定理既給出了判別函數(shù)極限存在的方法；又提供了一個(gè)計(jì)算函數(shù)極376、極限運(yùn)算法則

6、極限運(yùn)算法則38二、求極限方法舉例

例5求二、求極限方法舉例例5求39數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件40例3求例3求41解(消去零因子法).例4證明解(消去零因子法).例4證明42數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件43數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件44解左右極限存在且相等,解左右極限存在且相等,45作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,7

作業(yè)P511(3)(5)(8),2(2),5,746

§３函數(shù)極限存在的條件教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西準(zhǔn)則判定某些函數(shù)極限的存在性。教學(xué)要求：掌握海涅定理與柯西準(zhǔn)則，其實(shí)質(zhì)以及證明的基本思路?！欤澈瘮?shù)極限存在的條件教學(xué)目的：理解并運(yùn)用海涅定理與柯西47定理3.8注：本定理有如下幾點(diǎn)注釋?zhuān)?/p>

1本定理建立了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系，將函數(shù)極限的存在性轉(zhuǎn)化為數(shù)列極限的存在性。

2本定理通常用來(lái)證明函數(shù)極限的不存在性。一、歸結(jié)原則(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(海涅定理))1海涅(Heine)定理定理3.8注：本定理有如下幾點(diǎn)注釋?zhuān)阂?、歸結(jié)原則(函數(shù)極限48證明:(必要性)

證明:(必要性)49數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件50例如,例如,51注１

這個(gè)定理把函數(shù)

的極限歸結(jié)為數(shù)列

的極限問(wèn)題來(lái)討論，所以稱(chēng)之為“歸結(jié)原則”。由此，可由數(shù)列極限的性質(zhì)來(lái)推斷函數(shù)極限性質(zhì)。注１這個(gè)定理把函數(shù)的極限歸結(jié)為數(shù)列的極限問(wèn)題來(lái)討論，所52不存在注２．從Heine定理可以得到一個(gè)說(shuō)明的方法，即(1)“若可找到一個(gè)數(shù)列

，使得不存在；”或(2)“找到兩個(gè)都以為極限的數(shù)列，使都存在但不相等，則不存在。，不存在注２．從Heine定理可以得到一個(gè)說(shuō)明的方法，即(1)53例1例154二者不相等,證二者不相等,證552其它類(lèi)型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)：以上4種極限有相互對(duì)應(yīng)的單調(diào)有界準(zhǔn)則。2其它類(lèi)型極限的歸結(jié)原則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)：以上4種極限有相互56數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件57注：定理３.10可更具體地?cái)⑹鋈缦拢簽槎x在上的函數(shù)，若（１）在上遞增有下界，則存在，且；（２）在有上界，則存在，且

上遞減注：定理３.10可更具體地?cái)⑹鋈缦拢簽槎x在上的函數(shù)，若（１58二Cauchy收斂準(zhǔn)則：設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義。存在的充要條件為：收斂函數(shù)的函數(shù)值在幾乎“擠”在了一起。通常用Cauchy收斂準(zhǔn)則證明函數(shù)的極限不存在。1定理3.11

二Cauchy收斂準(zhǔn)則：設(shè)函數(shù)在59數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件60數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件61注：按照Cauchy準(zhǔn)則，可以寫(xiě)出不存在的充要條件：存在，對(duì)任意，存在使得.注：按照Cauchy準(zhǔn)則，可以寫(xiě)出不存在的充要條件：存在，對(duì)62數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件63作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和Cauchy準(zhǔn)則是說(shuō)明極限不存在的很方便的工具。作業(yè)P551,3(1),4綜上所述：Heine定理和64§４兩個(gè)重要極限教學(xué)目的：掌握兩個(gè)重要極限，并能熟練應(yīng)用。教學(xué)要求：掌握兩個(gè)重要極限，牢記結(jié)論；掌握證明的基本思路和方法，并能靈活運(yùn)用?！欤磧蓚€(gè)重要極限教學(xué)目的：掌握兩個(gè)重要極限，并能熟練應(yīng)用。65一一66數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件67例1

例168解解69數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件70數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件71數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件72數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件73例4例474例5解例5解75解解76數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件77三、小結(jié)

1.兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則

.三、小結(jié)1.兩個(gè)準(zhǔn)則2.兩個(gè)重要極限夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界78作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(1)作業(yè)P581(3)(6)(9),2(3)(4),3,4(79§５無(wú)窮小量和無(wú)窮大量教學(xué)目的：理解無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念。會(huì)利用它們求某些函數(shù)的極限。教學(xué)要求：作為函數(shù)極限的特殊情形，要求掌握無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的概念，并由此求出某些函數(shù)的極限。§５無(wú)窮小量和無(wú)窮大量教學(xué)目的：理解無(wú)窮?。ù螅┝考捌潆A的80一、無(wú)窮小量

一、無(wú)窮小量81例如,注5:無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;例如,注5:無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;822.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:2.無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:83意義1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):

兩個(gè)(或有限個(gè))無(wú)窮小量（相同類(lèi)型的）之和、差、積仍為無(wú)窮小量。

意義1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3.無(wú)窮84注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.注意無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.85(2)有界量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.(2)有界量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.86證證87結(jié)論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.結(jié)論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.結(jié)論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小結(jié)論1在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的結(jié)論2常數(shù)88二、無(wú)窮小量階的比較

例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.二、無(wú)窮小量階的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“89定義:

定義:90數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件91數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件92例1

例193例2解例2解94解解95常用等價(jià)無(wú)窮小:

常用等價(jià)無(wú)窮小:96數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件97(4)等價(jià)無(wú)窮小替換定理(4)等價(jià)無(wú)窮小替換定理98例3

例399解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.注意例4

解不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換.100解解錯(cuò)解解錯(cuò)101三、無(wú)窮大

絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.1．非正常極限三、無(wú)窮大絕對(duì)值無(wú)限增大的變量稱(chēng)為無(wú)窮大.1．非正常極限102數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件1032．無(wú)窮大量的定義

定義３．對(duì)于自變量的某種趨向（或所有以（包括數(shù)列），都稱(chēng)為無(wú)窮大量。），為非正常極限的函數(shù)1.無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;2.無(wú)窮大是一種特殊的無(wú)界變量,但是無(wú)界變量未必是無(wú)窮大.注意2．無(wú)窮大量的定義定義３．對(duì)于自變量的某種趨向（或所有以（104不是無(wú)窮大．無(wú)界，不是無(wú)窮大．無(wú)界，105數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件106數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件107證證108數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件1093、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系

意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.3、無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系意義關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為110證證111數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件112四、曲線的漸近線1．曲線的漸近線定義定義４若曲線Ｃ上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)與某直線Ｌ的距離趨于零，則稱(chēng)直線Ｌ為曲線Ｃ的漸近線。四、曲線的漸近線1．曲線的漸近線定義定義４若曲線Ｃ上的動(dòng)點(diǎn)113數(shù)學(xué)分析第三章--函數(shù)極限課件1142.曲線的漸近線何時(shí)存在？存在時(shí)如何求出其方程?

假設(shè)曲線有斜漸近線，曲線上到漸近線的距離為

（１）斜漸近線動(dòng)點(diǎn)依漸近線定義，當(dāng)時(shí)（類(lèi)似），，即有，——③或2.曲線的漸近線何時(shí)存在？存在時(shí)如何求出其方程?假設(shè)曲線有115又由—④又由—④116由上面的討論知，若曲線有斜漸近線，則常數(shù)與反之，若由④和③求得與，則可知（），從而為曲線的漸近線?？上嗬^由④和③式求出；由上面的討論知，若曲線有斜漸近線，則常數(shù)與反之，若由④和③求117（２）垂直漸近線若函數(shù)滿(mǎn)足），則按漸近線定義可知有垂直于x軸的漸近線，稱(chēng)為垂