近世代數(shù)課件(全)-4-1-唯一分解環(huán)

近世代數(shù)第四章整環(huán)里的因子分解

§1唯一分解環(huán)

8/8/2023近世代數(shù)第四章整環(huán)里的因子分解8/1/2023一、幾個(gè)概念設(shè)K是整環(huán)整除:性質(zhì):稱b整除a，并稱b是a的一個(gè)因子，a是b的倍元.在中,3|18,而3|7中,,而在例1：在中,2+i|5,而2+i|3+i.

8/8/2023一、幾個(gè)概念設(shè)K是整環(huán)整除:性質(zhì):稱b整除a，并稱b是a2.單位：可逆元例2：（1）Z中只有兩個(gè)單位：（2）Z[i]的單位有：的單位有：1和-1；1，-1，i，-i；1和-1.性質(zhì):（1）一個(gè)整環(huán)至少有兩個(gè)單位：1和-1；（2）兩個(gè)單位的乘積也是單位；（3）單位的逆元也是單位.

8/8/20232.單位：可逆元例2：（1）Z中只有兩個(gè)單位：（2）Z3.公因子公因子：.如果,則稱d為a與b的一個(gè)公因子.(1)d為a與b的公因子；最高公因子：(2)如果c為a與b的任一公因子,則有c|d，如果d滿足：則稱d為a與b的一個(gè)最高公因子(或最大公因子). 如果d為a與b的任一最高公因子,性質(zhì)：則任給單位u,du還是a與b的最高公因子.

8/8/20233.公因子公因子：.如果,則稱d為a與b的一個(gè)公因子.(1)4.相伴若存在單位，使得則稱b與a相伴，也稱b是a的相伴元記作5.平凡因子：稱單位和相伴元為平凡因子；稱除了平凡因子的因子（若有的話）為真因子.例3 在中,其中1與-1為單位,6和-6與6相伴,6有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.2,-2,3,-3為6的真因子.

8/8/20234.相伴若存在單位，使得則稱b與a相伴，也稱b是a的相伴元例45的平凡因子：全部真因子為：求中5的因子.

8/8/2023例45的平凡因子：全部真因子為：求中5的因子.8/1/206.不可約元不是單位，則稱為不可約元；若只有平凡因子，若有真因子，稱為可約元.例5:Z中全部不可約元：素?cái)?shù)及相反數(shù).性質(zhì)：有真因子都不是單位（2）（1）不可約元與單位乘積是不可約元；

8/8/20236.不可約元不是單位，則稱為不可約元；若只有平凡因子，若有真7.唯一分解元是中一個(gè)非零、非單位的元素.若滿足:(1)可分解為中不可約元的乘積,(2)的上述分解式在相伴的意義下是有另一分解式:則有,且適當(dāng)交換因子的次序,有,則稱在中能唯一分解.唯一的,即如果

8/8/20237.唯一分解元是中一個(gè)非零、非單位的元素.若滿足:(1)可例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.證明：的單位只有1和-1；（1）（2）的元都是不可約元：則是單位；則是相伴元.在Z中無解；因此的元都是不可約元.

8/8/2023例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.證明例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.證明：的單位只有1和-1；（1）（2）的元都是不可約元：（3）

8/8/2023例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.證明8.素元性質(zhì)：素元一定是不可約元；例7 在Z中全部素元：不是單位，則稱p

為素元.不可約元未必是素元.素?cái)?shù)及相反數(shù)

8/8/20238.素元性質(zhì)：素元一定是不可約元；例7 在Z中全部素元：不二、唯一分解環(huán)問題：是否整環(huán)中非零、非單位的元素都能中任一非零非單位的元素都是唯一分解環(huán).（不一定）唯一分解？定義：如果能唯一分解,則稱定理1唯一分解環(huán)的不可約元等同于素元.定理2若有以下性質(zhì)：都可以分解成不可約元的乘積；是唯一分解環(huán).（1）每一個(gè)非零、（2）不可約元都是素元,則非單位的元素例8為唯一分解環(huán).

8/8/2023二、唯一分解環(huán)問題：是否整環(huán)中非零、非單位的元素都能中任一非