計算機(jī)視覺中的多視圖幾何第一章-2-D射影幾何和變換課件

第1章2D射影幾何和變換平面幾何射影幾何點齊次表示：直線

二次曲線

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0平行線

平行直線無交點

點齊次表示:直線

齊次表示:二次曲線其中二次曲線系數(shù)矩陣c：平行線平行直線交與理想點無窮遠(yuǎn)線

所有理想點的集合

1.1平面幾何與射影幾何的對比：第1章2D射影幾何和變換平面幾何射影幾何11.22D射影平面1.2.1點與直線：

結(jié)論1.1：點X在直線L上的充要條件是：結(jié)論1.2：兩直線L和L’的交點是點X：結(jié)論1.3：過兩點X和X’的直線L是：1.2.2理想點與無窮直線理想點的齊次表示:無窮直線的齊次表示：=1.22D射影平面1.2.1點與直線：結(jié)論1.1：點2射影平面的模型：結(jié)論1.4：對偶原理2維射影集合中的任何定理都有一個對應(yīng)的對偶定理，它可以通過互換定理中的點和線的作用而導(dǎo)出。射影平面的模型。IP2的點和線分別表示為過IR3中過原點的射線和平面。X1X2-上的射線表示理想點，而x1x2-平面表示射影平面的模型：結(jié)論1.4：對偶原理2維射影集合中的任何定31.2.3二次曲線與對偶二次曲線二次曲線的切線：結(jié)論1.5過（非退化）二次曲線C上點X的切線L由對偶二次曲線：結(jié)論1.6：對偶二次曲線C的切線L由非退化二次曲線非滿秩矩陣C所定義的二次曲線稱作退化二次曲線，退化的點二次曲線包含兩條線（秩2）或一條重線（秩1）。1.2.3二次曲線與對偶二次曲線二次曲線的切線：結(jié)論1.541.3射影變換定義1.7射影映射是IP2到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射h：三點x1，x2和x3共線當(dāng)且僅當(dāng)h(x1),h(x2)和h(x3)也共線。

射影映射組成一個群。定理1.8映射h：IP2→IP2是射影映射的充要條件是：存在一個3X3的非奇異矩陣H，使得IP2的任何一個用矢量X表示的點都滿足h（X）=HX。定義1.9射影變換就是X’=HX1.3.1直線與二次曲線的變換直線的變換：二次曲線的變換：在點變換X’=HX下，1.3射影變換定義1.7射影映射是IP2到它自身的5結(jié)論1.10在點變換X’=HX下，對偶二次曲線變化為1.4變換的層次等距變換相似變換仿射變換射影變換射影變換的層次圖結(jié)論1.10在點變換X’=HX下，對偶二次曲線61.4.1等距變換等距變換的矩陣表示：其中簡潔的分塊形式寫為：等距變換就是圖形進(jìn)行一個旋轉(zhuǎn)和位移得到另一個圖形的過程。1.4.1等距變換等距變換的矩陣表示：其中7等距變換失真情況1.4.2相似變換相似變換的矩陣表示：簡潔的分塊形式寫成：其中s為縮放量，。等距變換的不變性質(zhì)：長度，面積等距變換失真情況1.4.2相似變換相似變換的矩陣表示：簡8相似變換就是在等距變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一個S的縮放。相似變換失真情況相似變換的不變性質(zhì)：長度比，夾角，虛圓點。1.4.3仿射變換仿射變換是一個非奇異線性變換與一個平移變換的復(fù)合。它的矩陣表示為：相似變換就是在等距變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一個S的縮放。相似變換失9它的分塊形式：可以把仿射變換中A看作兩個基本變換——旋轉(zhuǎn)和非均勻縮放的復(fù)合。仿射變換的失真情況仿射變換的不變性質(zhì)：平行，面積比，共線線段或平行線段的長度比，矢量的線性組合它的分塊形式：可以把仿射變換中A看作兩個基本變換——旋轉(zhuǎn)和非101.4.4射影變換射影變換的分塊形式：射影變換是在仿射變換的基礎(chǔ)上進(jìn)行的非線性的縮放。它的不變性質(zhì)：共點，共線，接觸的階：相交；相切；拐點；切線不連續(xù)性和歧點。交比。1.51D射影幾何交比交比是射影不變量。給定4個點，交比定義為：1.4.4射影變換射影變換的分塊形式：射影變換是在仿射變換11在任何直線的射影變換下，交比的值不變：如則：1.6從圖像恢復(fù)仿射和度量性質(zhì)1.6.1無窮遠(yuǎn)線結(jié)論1.11由上式可知在射影變換H下，無窮遠(yuǎn)直線為不動直線的充要條件是H是仿射變換。在任何直線的射影變換下，交比的值不變：如121.6.3虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠(yuǎn)直線上有兩個不動點，它們是虛圓點I,J，其標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)是：結(jié)論1.12在射影變換H下的，虛圓點I和J為不動點的充要條件是H是相似變換。1.6.3虛圓點及其對偶在相似變換下，無窮遠(yuǎn)直線上有兩個13與虛圓點對偶的二次曲線二次曲線與虛圓點對偶。這條曲線是由虛圓點構(gòu)成的退化的線二次曲線。因為對偶二次曲線變換遵循結(jié)論，可以驗證在點相似變換下：結(jié)論1.13對偶二次曲線在射影變換H下不變的充要條件是H是相似變換。1.6.4射影平面上的夾角結(jié)論1.13一旦二次曲線在射影平面上被辨認(rèn)，那么歐氏角可以測量，公式為：與虛圓點對偶的二次曲線二次曲線與虛圓點對偶。這條曲14結(jié)論1.14如果，則直線I和m正交。1.6.5由圖像恢復(fù)度量性質(zhì)結(jié)論1.15在射影平面上，一旦被辨認(rèn)，那么射影失真可以矯正到相差一個相似變換。1.7二次曲線的其他性質(zhì)1.7.1極點-極線關(guān)系點X和二次曲線C定義一條直線L=CX。L稱為X關(guān)于C的極線，而點X稱為L關(guān)于C的極點。結(jié)論1.14如果15如果點在C上，則它的極線就是二次曲線過點X的切線。1.8不動點與直線變換的一個特征矢量對應(yīng)一個不