偏微分方程的弱解形式課件

第一講

有限元基本理論元計(jì)算技術(shù)部第一講

有限元基本理論元計(jì)算技術(shù)部本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及采用有限元方法時(shí)用到的方程弱形式、形函數(shù)等內(nèi)容，目的在于介紹有限元的基本理論。有限元分析目的和概念有限單元法的基本思想有限元分析的基本流程有限單元法的基本原理偏微分方程的弱解形式插值函數(shù)與單元類型本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及有限元分析目的和概念

有限元分析的目的：針對具有任意復(fù)雜幾何形狀變形體，完整獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準(zhǔn)確力學(xué)信息，即求取該變形體的三類力學(xué)信息（位移、應(yīng)變、應(yīng)力）。從而在準(zhǔn)確進(jìn)行力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)師就可以對所設(shè)計(jì)對象進(jìn)行強(qiáng)度、剛度等方面的評判，以便對不合理的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改，以得到較優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案，然后再次進(jìn)行方案修改后的有限元分析，以進(jìn)行最后的力學(xué)評判和校核，確定出最后的設(shè)計(jì)方案。有限元方法：是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復(fù)雜的原函數(shù)，這樣就使有限元方法可以針對具有任意復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果。有限元分析目的和概念有限元分析的目的：針對具有限單元法的基本思想有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，而且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域。有限單元法作為數(shù)值分析方法的另一個(gè)重要特點(diǎn)是利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來表示。這樣以來，一個(gè)問題的有限元分析中，未知場函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量（也即自由度），從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成場函數(shù)的近似值，從而得到整個(gè)求解域上的近似解。有限單元法的基本思想有限元法的基本思想是將連有限元分析的基本流程(1)結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。(2)選擇適當(dāng)?shù)牟逯的Ｊ?3)單元分析(4)總體合成。(5)引入約束條件(6)方程求解(7)計(jì)算其它參數(shù)。有限元分析的基本流程(1)結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。(2)有限單元法的基本原理虛位移原理工程或物理中許多問題，通常是以偏微分方程和對應(yīng)的邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足偏微分方程組：其中Ω域可以是體積域、面積域等，如圖所示。同時(shí)未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件：(1)(2)有限單元法的基本原理虛位移原理工程或物理由于偏微分方程組(1)在域Ω中每一點(diǎn)為零，因此就有：其中V是向量函數(shù)，稱為試探函數(shù)或虛位移函數(shù)，它是一組和偏微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。假如A(u)是一光滑函數(shù)，可以斷言，若積分方程(3)對于任意的V都能成立，則原偏微分方程必然在域內(nèi)任一點(diǎn)都得到滿足。(3)假如A(u)在域內(nèi)某些點(diǎn)或—部分子域中不滿足，即出現(xiàn)A(u)≠0,馬上可以找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)V使(3)的積分形式亦不等于零,可見當(dāng)A(u)是一光滑函數(shù)時(shí)，式(3)和(1)是等價(jià)的。由于偏微分方程組(1)在域Ω中每一點(diǎn)為零，因此就有：其中V是在很多情況下可以對(3)式進(jìn)行分部積分得到另一種形式其中C、D、E、F是微分算子，它們中所包含的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較(3)式的微分算子A底，這樣對函數(shù)u只需要求較低階的連續(xù)性就可以了，這種降低對函數(shù)u連續(xù)性要求的作法在近似計(jì)算中，尤其是在有限元方法中十分重要。式(3)是偏微分方程組(1)的弱解積分形式或“弱”形式，或稱之為虛位移原理。在很多情況下可以對(3)式進(jìn)行分部積分得到另一種偏微分方程的弱解形式本小節(jié)通過一個(gè)熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)問題，來說明將偏微分方程化為其弱解積分形式的一般過程。對于二維直角坐標(biāo)系，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程如下：邊界條件如下：這里u表示溫度，k表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，u0和q0是邊界上溫度和熱流的給定值，Q是熱源密度乘以材料密度。偏微分方程的弱解形式本小節(jié)通過一個(gè)熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)問題，來說明對方程兩邊乘一標(biāo)量函數(shù)v，并對方程兩邊進(jìn)行積分得到：對上式進(jìn)行分部積分得到：利用方程的邊界條件，上式可變?yōu)椋禾貏e指出對于強(qiáng)制邊界條件（即第一類邊界條件），這時(shí)未知函數(shù)在此類邊界上的值已確定，可以選取虛位移函數(shù)在此類邊界上的值為0，則“弱”形式可略去沿此類邊界上的邊界積分項(xiàng)（)。對方程兩邊乘一標(biāo)量函數(shù)v，并對方程兩邊進(jìn)行積分得到：對上式進(jìn)對于一般問題推導(dǎo)其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化為其積分形式；利用分部積分公式將其積分形式化為“弱”形式；利用邊界條件將“弱”形式化為更簡潔的表達(dá)式。對于一般問題推導(dǎo)其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化插值函數(shù)與單元類型關(guān)于單元插值函數(shù)的形式，有限元方法采用不同階次冪函數(shù)所構(gòu)成的多項(xiàng)式，因?yàn)樗鼈儽阌谶\(yùn)算并且容易滿足收斂性。下面結(jié)合有限元方法經(jīng)常使用的Lagrange插值函數(shù)討論一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造。一維Lagrange單元：對于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，如果它的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只含有場函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值，則單元內(nèi)的場函數(shù)可插值表示為：其中插值函數(shù)Ni(xj)具有下列性質(zhì)：δij是Kronecker函數(shù)。插值函數(shù)與單元類型關(guān)于單元插值函數(shù)的形式，有對于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，Ni(xj)可采用n-1次Lagrange插值多項(xiàng)式，即令：如果n=2，函數(shù)Φ的插值表示如下：其中：，為了使計(jì)算過程標(biāo)準(zhǔn)化，采用無量綱坐標(biāo)：則上面的表達(dá)式可以表示為：對于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，Ni(xj)可采用n-1次Lagr則對于n=2，有：上面就是一維線性Lagrange單元。對于n=3，有：

上式表示一維二次Lagrange單元。上述無量綱表達(dá)式即為今后常用的自然坐標(biāo)。這樣做的目的可使單元的構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化，即插值函數(shù)和一維單元的尺寸無關(guān)，從而大大方便有限元軟件的編制和應(yīng)用。上面給出一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造，下面類似的給出二維單元插值函數(shù)的表達(dá)式：則對于n=2，有：上面就是一維線性Lagrange單元。對于對于如下圖所示的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元：考慮自然坐標(biāo)ξ，η兩個(gè)方向的Lagrange多項(xiàng)式：考慮