圓錐曲線中的離心率問題（學生版）

圓錐曲線的離心率問題圓錐曲線是高中數學的重點也是高考的熱點，而離心率是圓錐曲線的一個重要性質和活躍元素，關于離心率的問題在數學高考中頻繁出現，值得關注.一、利用圓錐曲線的離心率解決求參數值問題.例1：若橢圓的離心率等于，則＝________【變式訓練1】若橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,m＋9)＝1的離心率為eq\f(1,2)，則m的值為求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數的比例關系（只需找出其中兩個參數的關系即可），方法通常有兩個方向：（1）利用幾何性質：如果題目中存在焦點三角形（曲線上的點與兩焦點連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點三角形三邊的比例關系，進而兩條焦半徑與有關，另一條邊為焦距。從而可求解（2）利用坐標運算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關系，那么可考慮將點的坐標用進行表示，再利用條件列出等式求解二、直接求出、，代入公式求解離心率.例2：已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的離心率為.【變式訓練2】在△ABC中，∠ACB＝60°，sinA∶sinB＝8∶5，則以A、B為焦點且過點C的橢圓的離心率為________．三、挖掘題意，直接求與的比值，得離心率.例3：在平面直角坐標系中，若雙曲線的右焦點到一條漸近線的距離為，則其離心率的值是【變式訓練3】在平面直角坐標系中，有橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距為2c，以O為圓心，a為半徑的圓．過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))作圓的兩切線互相垂直，則離心率e＝________．利用關于，的齊次式求離心率.根據題設條件，借助之間的關系，消去，得到關于的齊次式，進而得到關于的一元方程，從而解方程得出離心率e.例4：已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點的坐標為，的面積為，則橢圓的離心率為。【變式訓練4】若一個橢圓長軸的長度，短軸的長度和焦距依次成等差數列，則該橢圓的離心率是________．六．利用坐標化思想求離心率.例5：已知O為坐標原點，F是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左，右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為【變式訓練5】過雙曲線的右頂點作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點分別為．若，則雙曲線的離心率是.圓錐曲線離心率范圍問題：在尋找不等關系時通常可從以下幾個方面考慮：（1）題目中某點的橫坐標（或縱坐標）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對橫坐標的范圍有要求。如果問題圍繞在“曲線上存在一點”，則可考慮該點坐標用表示，且點坐標的范圍就是求離心率范圍的突破口（2）若題目中有一個核心變量，則可以考慮離心率表示為某個變量的函數，從而求該函數的值域即可（3）通過一些不等關系得到關于的不等式，進而解出離心率注：在求解離心率范圍時要注意圓錐曲線中對離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線：例6：已知F是雙曲線的左焦點，是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為【變式訓練6】設、是橢圓：長軸的兩個端點，若上存在點滿足=120°，則的取值范圍是例7：設F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，若在直線x＝eq\f(a2,c)上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓的離心率的取值范圍為【變式訓練7】橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的兩焦點為F1，F2，若橢圓上存在一點P，使PF1⊥PF2，則橢圓離心率e的取值范圍為．例8：已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為e.若橢圓上存在點P，使得eq\f(PF1,PF2)＝e，則該橢圓離心率e的取值范圍是【變式訓練8】已知橢圓的左、右焦點分別為，若橢圓上存在點使，則該橢圓的離心率的取值范圍為【鞏固訓練】1.若雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a>0)的離心率為2，則a＝________2.已知雙曲線的漸近線方程為，則此雙曲線的離心率為已知橢圓：的一個焦點為，則的離心率為若，則雙曲線的離心率的取值范圍是5.橢圓Γ：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，焦距為2c.若直線y＝eq\r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個交點M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于______6.過雙曲線＝1的左焦點且垂直于軸的直線與雙曲線相交于、兩點，以為直徑的圓恰好過雙曲線的右頂點，則雙曲線的離心率等于____.7.已知橢圓：的左、右頂點分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為8.如圖，在平面直角坐標系中，為橢圓的四個頂點，為其右焦點，直線與直線相交于點T，線段與橢圓的交點恰為線段的中點，則該橢圓的離心率為.9.設