第20章-慣性力課件

第二十章1第二十章1本章介紹動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要原理——達(dá)朗貝爾原理。應(yīng)用這一原理，可以把動(dòng)力學(xué)問(wèn)題從形式上轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)問(wèn)題，并利用靜力學(xué)中研究平衡問(wèn)題的方法來(lái)求解。這種解答動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的方法，也稱(chēng)動(dòng)靜法。第二十章慣性力2本章介紹動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要原理——達(dá)朗貝爾原理§20-1達(dá)朗貝爾原理人用手推車(chē)時(shí)，車(chē)在加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，人會(huì)感到受到力的作用，這個(gè)力是由于車(chē)具有慣性，力圖保持原來(lái)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)人產(chǎn)生的反抗力，稱(chēng)為慣性力。如圖質(zhì)點(diǎn)m的運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律：FI為慣性力，上式為質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。從形式上看作用在質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力、約束力和虛加慣性力組成平衡力系，這只不過(guò)是處理動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一種方法，質(zhì)點(diǎn)并未處于平衡狀態(tài)。一、質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理第二十章慣性力3§20-1達(dá)朗貝爾原理人用手推車(chē)時(shí)，車(chē)在加速運(yùn)動(dòng)過(guò)[例1]列車(chē)在水平軌道上行駛，車(chē)廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車(chē)廂向右作勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，單擺左偏角度q

，相對(duì)于車(chē)廂靜止。求車(chē)廂的加速度。第二十章慣性力4[例1]列車(chē)在水平軌道上行駛，車(chē)廂內(nèi)懸掛一單擺，當(dāng)車(chē)廂選單擺的擺錘為研究對(duì)象虛加慣性力解：由動(dòng)靜法,有解得

q角隨著加速度的變化而變化，當(dāng)不變時(shí)，q角也不變。只要測(cè)出q角，就能知道列車(chē)的加速度。這就是擺式加速度計(jì)的原理。第二十章慣性力5選單擺的擺錘為研究對(duì)象解：由動(dòng)靜法,有解得二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理該式表明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的主動(dòng)力、約束反力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，對(duì)每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)i，有把作用于I質(zhì)點(diǎn)的所有力分為外力的合力，內(nèi)力的合力，則上式表明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的外力、內(nèi)力和慣性力在形式上構(gòu)成平衡力系。由靜力學(xué)知，空間任意力系平衡的充分必要條件是力系的主矢和對(duì)于任一點(diǎn)的主矩等于零，即第二十章慣性力6二、質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理該式表明，質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上作用的由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)存在，且等值、反向、共線，有則上式可改寫(xiě)為第二十章慣性力7由于質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力總是成對(duì)存在，且等值、反向、共線，有則上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上慣性力在形式上組成平衡力系，這就是質(zhì)點(diǎn)系達(dá)朗貝爾原理的又一表述。對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來(lái)說(shuō)，動(dòng)靜法給出的平衡方程，只是質(zhì)點(diǎn)系的慣性力系與其外力的平衡，而與內(nèi)力無(wú)關(guān)。另外很顯然有第二十章慣性力8上式表明，作用于質(zhì)點(diǎn)系上的所有外力與虛加在每個(gè)質(zhì)點(diǎn)上慣性力在對(duì)平面任意力系：對(duì)于空間任意力系：實(shí)際應(yīng)用時(shí),同靜力學(xué)一樣任意選取研究對(duì)象,列平衡方程求解。用動(dòng)靜法求解動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，第二十章慣性力9對(duì)平面任意力系：對(duì)于空間任意力系：實(shí)際應(yīng)用時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個(gè)力系，利用靜力學(xué)的力系簡(jiǎn)化理論，求出慣性力系的主矢和主矩，給解題會(huì)帶來(lái)方便，這里討論剛體平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)時(shí)慣性力系的簡(jiǎn)化。

§20-2剛體慣性力系的簡(jiǎn)化以FIR表示慣性力系的主矢，則該式對(duì)任何質(zhì)點(diǎn)系做任意運(yùn)動(dòng)都成立，當(dāng)然適用于做平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)的剛體。主矢的大小和方向與簡(jiǎn)化中心的位置無(wú)關(guān)。第二十章慣性力10對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)均受到慣性力的作用，這些慣性力形成一個(gè)力系1、剛體作平移若選質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心，則rC=0，有：故平移剛體的慣性力系可以簡(jiǎn)化為通過(guò)質(zhì)心的合力，其力大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積，合力的方向與加速度方向相反。作平移時(shí)，剛體任一點(diǎn)i的加速度ai與質(zhì)心的加速度aC相同，如圖，以O(shè)為簡(jiǎn)化中心，有第二十章慣性力111、剛體作平移若選質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心，則rC=0，有：故平移2、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體如圖示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，考慮質(zhì)點(diǎn)i，以O(shè)為簡(jiǎn)化中。有則慣性力系對(duì)x軸的矩為：第二十章慣性力122、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體如圖示定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體，考慮質(zhì)點(diǎn)i，以O(shè)為簡(jiǎn)化中同理慣性力系對(duì)y軸的矩為慣性力系對(duì)z軸的矩為第二十章慣性力分別稱(chēng)為對(duì)z軸的慣性積，則慣性力系對(duì)x軸的矩為13同理慣性力系對(duì)y軸的矩為慣性力系對(duì)z軸的矩為第二十章慣性力綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矩為如果剛體有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面,切該平面與轉(zhuǎn)軸z垂直,簡(jiǎn)化中心O取為此平面與轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)，則有則慣性力系簡(jiǎn)化的主矩為結(jié)論:當(dāng)剛體有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面且繞垂直與此對(duì)稱(chēng)平面的軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),慣性力系向轉(zhuǎn)軸簡(jiǎn)化為此對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶,這個(gè)力等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心的加速度的乘積,方向與加速度方向相反,作用線通過(guò)轉(zhuǎn)軸;這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度的乘積,轉(zhuǎn)向與角加速度相反.第二十章慣性力14綜上所述,慣性力系向轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O簡(jiǎn)化的主矩為如果剛體有質(zhì)量對(duì)討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)點(diǎn)C。②轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)點(diǎn)C，但a0，慣性力偶（與a反向）③剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸過(guò)質(zhì)心，則第二十章慣性力15討論：①剛體作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸不通過(guò)質(zhì)點(diǎn)C。②轉(zhuǎn)軸過(guò)工程中的剛體常具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面，且平行于該平面運(yùn)動(dòng)，則剛體各點(diǎn)的慣性力組成的空間力系，可簡(jiǎn)化為在該對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)的平面運(yùn)動(dòng)。如圖，以質(zhì)心C為簡(jiǎn)化中心，慣性力系可簡(jiǎn)化為3、剛體作平面運(yùn)動(dòng)（平行于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面）結(jié)論：有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面的剛體，平行于此平面運(yùn)動(dòng)時(shí)，剛體的慣性力系簡(jiǎn)化為在此平面內(nèi)的一個(gè)力和一個(gè)力偶。這個(gè)力通過(guò)質(zhì)心，其大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，其方向與質(zhì)心加速度的方向相反；這個(gè)力偶的矩等于剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心且垂直于質(zhì)量對(duì)稱(chēng)面的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角角速度的乘積，轉(zhuǎn)向與角加速度相反。主矢：主矩：第二十章慣性力16工程中的剛體常具有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面，且平行于該平面運(yùn)動(dòng)，則剛體各對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)剛體：由動(dòng)靜法可列出如下三個(gè)方程：實(shí)質(zhì)上即是剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程：第二十章慣性力17對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)剛體：由動(dòng)靜法可列出如下三個(gè)方程：實(shí)質(zhì)上即是[例2]

均質(zhì)細(xì)桿支承如圖所示。已知桿長(zhǎng)為l，重為P，斜面傾角。若桿與水平面交角瞬時(shí)，A端的加速度為，桿的角速度為零。試求此瞬時(shí)桿上慣性力系向點(diǎn)O簡(jiǎn)化的結(jié)果。AO第二十章慣性力18[例2]均質(zhì)細(xì)桿支承如圖所示。已知桿長(zhǎng)為l，重為P，解:桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，可將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，故需求得質(zhì)心C的加速度，以桿端點(diǎn)A為基點(diǎn)，則上式中方向如圖所示角加速度a的計(jì)算，以桿端點(diǎn)A為基點(diǎn)，B為動(dòng)點(diǎn)第二十章慣性力19解:桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，可將慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，故需求得質(zhì)心因此得此桿慣性力系的主矢為式中慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化得主矩為方向如圖所示。AO第二十章慣性力20因此得此桿慣性力系的主矢為式中慣性力系向質(zhì)心簡(jiǎn)化得主矩為方向AOAO再向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，主矢不變主矩為第二十章慣性力21AOAO再向O點(diǎn)簡(jiǎn)化，主矢不變主矩為第二十章慣性力21[例3]均質(zhì)桿長(zhǎng)l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿由與平面成

0角位置靜止落下。求開(kāi)始落下時(shí)桿AB的角加速度及A點(diǎn)支座反力。選桿AB為研究對(duì)象虛加慣性力系：解：根據(jù)動(dòng)靜法，有第二十章慣性力22[例3]均質(zhì)桿長(zhǎng)l,質(zhì)量m,與水平面鉸接,桿第二十章慣性力23第二十章慣性力23

[例4]牽引車(chē)的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌道滾動(dòng)，設(shè)車(chē)輪所受的主動(dòng)力可簡(jiǎn)化為作用于質(zhì)心的兩個(gè)力及驅(qū)動(dòng)力偶矩M，車(chē)輪對(duì)于通過(guò)質(zhì)心C并垂直于輪盤(pán)的軸的回轉(zhuǎn)半徑為

，輪與軌道間摩擦系數(shù)為f,試求在車(chē)輪滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件下，驅(qū)動(dòng)力偶矩M之最大值。O第二十章慣性力24[例4]牽引車(chē)的主動(dòng)輪質(zhì)量為m，半徑為R，沿水平直線軌取輪為研究對(duì)象虛加慣性力系：解：O由動(dòng)靜法，得：聯(lián)立求解得FN=P+F2第二十章慣性力25取輪為研究對(duì)象解：O由動(dòng)靜法，得：聯(lián)立求解得FN要保證車(chē)輪不滑動(dòng)，必須FS<fFN=f(P+F2)

Mmax的值為上式右端的值。O即第二十章慣性力26要保證車(chē)輪不滑動(dòng)，Mmax的值為上式右端的值。O即第二十章§20-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承的附加動(dòng)反力如圖，以O(shè)為簡(jiǎn)化中心，所有主動(dòng)力和慣性力系向該點(diǎn)簡(jiǎn)化，形成一空間任意“平衡力系”，列平衡方程由上述5個(gè)方程解得軸承的全約束反力為第二十章慣性力27§20-3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸承的附加動(dòng)反力

這里把由于慣性力系的主矢FIR和主矩MIO引起的軸承約束力稱(chēng)為動(dòng)約束力，要使之為零，必須有即要使軸承動(dòng)約束力等于零的條件是：慣性力系的主矢等于零，慣性力系對(duì)于x軸和y軸的主矩等于零。第二十章慣性力28這里把由于慣性力系的主矢FIR和主矩MIO引結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是，轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心，剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的慣性積等于零。如果剛體對(duì)通過(guò)某點(diǎn)的軸z的慣性積Jxz=Jyz=0等于零，稱(chēng)該軸為過(guò)該點(diǎn)的慣性主軸，通過(guò)質(zhì)心的慣性主軸成為中心慣性主軸。則上述結(jié)論可表達(dá)為：避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件為是，剛體的轉(zhuǎn)軸是剛體的中心慣性主軸。由前面所得，即有所以，要使慣性力系的主矢等于零，必須aC=0，即轉(zhuǎn)軸通過(guò)質(zhì)心。要使主矩等于零，必須有Jxz=Jyz=0，即剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸z的慣性積等于零。第二十章慣性力29結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，避免出現(xiàn)軸承動(dòng)約束力的條件是，轉(zhuǎn)軸通[例5]質(zhì)量不計(jì)的剛軸以角速度

勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其上固結(jié)著兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A和B。指出在圖示各種情況下，哪些是靜平衡的？哪些是動(dòng)平衡的？靜平衡：（a)(b)、(d)動(dòng)平衡：(a)動(dòng)平衡的剛體，一定是靜平衡的；反過(guò)來(lái)，靜平衡的剛體，不一定是動(dòng)平衡的。第二十章慣性力30[例5]質(zhì)量不計(jì)的剛軸以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，其上固結(jié)著兩設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心

C

到轉(zhuǎn)軸的距離是

e，轉(zhuǎn)子以勻角速度ω

繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，

AO

=

a

，OB

=

b

(圖

a)。假定轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)子的對(duì)稱(chēng)平面垂直，求當(dāng)質(zhì)心

C

轉(zhuǎn)到最低位置時(shí)軸承所受的壓力。

b

a

e

z

C

O

B

A(a

)[例6]第二十章慣性力31設(shè)勻質(zhì)轉(zhuǎn)子重P，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸的距離是第二十章慣性力32第二十章慣性力32解:軸Oz是轉(zhuǎn)子在點(diǎn)O的主軸之一?？梢?jiàn)慣性力對(duì)點(diǎn)O的主矩在垂直于Oz的平面上兩軸的投影MICx

和MICy恒等于零。又a

=0，這樣MICz也等于零。因此轉(zhuǎn)子的慣性力合成為作用于點(diǎn)O的一個(gè)力FIC，大小等于方向沿OC。當(dāng)質(zhì)心C轉(zhuǎn)到最低位置時(shí)，軸上實(shí)際所受的力如圖b所示。(a

)

b

a

e

z

C

O

B

A

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA第二十章慣性力33解:軸Oz是轉(zhuǎn)子在點(diǎn)O的主軸之一。根據(jù)動(dòng)靜法寫(xiě)出動(dòng)態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得兩軸承所受的力分別和FA，F(xiàn)B的大小相等而方向相反。

b

a

e

z

C

O

B

A(b

)PFBFA第二十章慣性力34根據(jù)動(dòng)靜法寫(xiě)出動(dòng)態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得兩軸如圖a所示。渦輪輪盤(pán)由于軸孔不正，裝在軸上時(shí)，軸與輪盤(pán)面的垂線Ox成交角g=1o。已知輪盤(pán)質(zhì)量為m=20kg，半徑R=200mm，厚度h=20mm，重心O在轉(zhuǎn)軸上。設(shè)輪盤(pán)為均質(zhì)圓盤(pán)，它到兩端軸承的距離OA=OB=0.5m，軸作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，n=12000r·min－1。求軸承的附加動(dòng)約束力。AOB(a)[例7]第二十章慣性力35如圖a所示。渦輪輪盤(pán)由于軸孔不正，裝在軸上時(shí)第二十章慣性力36第二十章慣性力36取固結(jié)于渦輪盤(pán)上的坐標(biāo)系Oxyz如圖所示，以輪盤(pán)和軸為研究對(duì)象。解：在圓盤(pán)上加慣性力，向中心點(diǎn)O簡(jiǎn)化結(jié)果為作用于研究對(duì)象的主動(dòng)力有通過(guò)重心O的重力，約束力有FAx，F(xiàn)Ay，F(xiàn)Bx，F(xiàn)By。xzAOBFByFBxFAyFAxy第二十章慣性力37取固結(jié)于渦輪盤(pán)上的坐標(biāo)系Oxyz如圖所示，以輪盤(pán)和軸為研究對(duì)因?yàn)閳A盤(pán)上各點(diǎn)的y坐標(biāo)對(duì)于z軸是對(duì)稱(chēng)的，因此為計(jì)算Jxz，作出圓盤(pán)的中心慣性主軸Oζ以及與之垂直的軸Ox，Oη，并設(shè)在圖示瞬時(shí)η軸與y軸重合。由圖（b）可見(jiàn)：y,ηzζxξmγγγζξηxO(b)xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力38因?yàn)閳A盤(pán)上各點(diǎn)的y坐標(biāo)對(duì)于z軸是對(duì)稱(chēng)的，因此因ζ軸是輪盤(pán)的對(duì)稱(chēng)軸，有。式中rξ和rζ分別是質(zhì)點(diǎn)到軸ξ和ζ軸的垂直距離，如圖(c)所示?；蛴忠蛴赊D(zhuǎn)動(dòng)慣量定義有Oζξηηζξrξrζm(c)xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力39因ζ軸是輪盤(pán)的對(duì)稱(chēng)軸，有即Jξ和Jζ分別是圓盤(pán)對(duì)于ξ軸和ζ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有于是Oζξηηζξrξrζm當(dāng)時(shí)，。于是xyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力40即Jξ和Jζ分別是圓盤(pán)對(duì)于ξ軸和ζ軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。有于是Oζξ此例軸承靜約束力只有98N，可見(jiàn)附加動(dòng)約束力遠(yuǎn)比靜約束力大。求得軸承附加動(dòng)約束力如下：OζξηηζξrξrζmxyzξζγγAOBFByFBxFAyFAxη(a)第二十章慣性力41此例軸承靜約束力只有98N，可見(jiàn)附加動(dòng)約束力遠(yuǎn)比靜約束力根據(jù)達(dá)朗伯原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來(lái)建立動(dòng)力學(xué)方程的方法，稱(chēng)為動(dòng)靜法。應(yīng)用動(dòng)靜法既可求運(yùn)動(dòng)，例如加速度、角加速度；也可以求力，并且多用于已知運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)約束反力。應(yīng)用動(dòng)靜法可以利用靜力學(xué)建立平衡方程的一切形式上的便利。例如，矩心可以任意選取，二矩式，三矩式等等。因此當(dāng)問(wèn)題中有多個(gè)約束反力時(shí)，應(yīng)用動(dòng)靜法求解它們時(shí)就方便得多。達(dá)朗貝爾原理的應(yīng)用第二十章慣性力42根據(jù)達(dá)朗伯原理，以靜力學(xué)平衡方程的形式來(lái)建立動(dòng)

①選取研究對(duì)象。原則與靜力學(xué)相同。

②受力分析。畫(huà)出全部主動(dòng)力和外約束反力。

③運(yùn)動(dòng)分析。主要是剛體質(zhì)心加速度，剛體角加速度，標(biāo)出方向。應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的步驟及要點(diǎn)：④虛加慣性力。在受力圖上畫(huà)上慣性力和慣性力偶，一定要在正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的基礎(chǔ)上。熟記剛體慣性力系的簡(jiǎn)化結(jié)果。第二十章慣性力43①選取研究對(duì)象。原則與靜力學(xué)相同。應(yīng)用動(dòng)靜法求動(dòng)

⑤列動(dòng)靜方程。選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

⑥建立補(bǔ)充方程。運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程（運(yùn)動(dòng)量之間的關(guān)系）。

⑦求解求知量。

[注]的方向及轉(zhuǎn)向如已在受力圖中標(biāo)出，建立方程時(shí)，只需按 代入即可。第二十章慣性力44⑤列動(dòng)靜方程。選取適當(dāng)?shù)木匦暮屯队拜S。

[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對(duì)于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度。取系統(tǒng)為研究對(duì)象解：用達(dá)朗伯原理求解虛加慣性力和慣性力偶：第二十章慣性力45[例1]質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上由動(dòng)靜法：列補(bǔ)充方程： 代入上式得：第二十章慣性力46由動(dòng)靜法：列補(bǔ)充方程： 【思考題】

1、是非題（1）不論剛體作何種運(yùn)動(dòng)，其慣性力系向一點(diǎn)簡(jiǎn)化得主矢都等于剛體的質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積，而方向與其質(zhì)心加速度的方向相反。（）對(duì)

（2）質(zhì)點(diǎn)有運(yùn)動(dòng)就有慣性力。（）錯(cuò)對(duì)（3）質(zhì)點(diǎn)的慣性力不是它本身所受的作用力。（）第二十章慣性力47【思考題】1、是非題（1）不論剛體作何種運(yùn)動(dòng)，其慣性力系向2．選擇題

（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在空中，只受到重力作用，試問(wèn)在下列兩種情況下，質(zhì)點(diǎn)慣性力的大小和方向如何？（a）質(zhì)點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)；（b）質(zhì)點(diǎn)被鉛垂上拋

（）A．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向下

B．（a）與（b）的慣性力大小相等，方向都鉛直向上C．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向上、（b）向下D．（a）與（b）的慣性力大小相等，（a）向下、（b）向上B第二十章慣性力482．選擇題（1）設(shè)質(zhì)點(diǎn)在空中，只受到重力作用，試問(wèn)在下列兩（2）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)圓環(huán)沿水平直線軌道作勻速純滾動(dòng)，試問(wèn)應(yīng)如何虛加慣性力系？()A.虛加慣性力且過(guò)幾何中心O，鉛直向下B.虛加慣性力且過(guò)幾何中心O，鉛直向上C.虛加慣性力偶矩，且為反時(shí)針轉(zhuǎn)向D.慣性力系組成平衡力系DOvR第二十章慣性力49（2）如圖所示，半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)細(xì)圓環(huán)沿水平直線軌道（3）如圖所示，車(chē)頂懸掛一質(zhì)量為m的單擺，當(dāng)車(chē)以加速度a沿直線加速行駛時(shí)，擺向后偏移。用達(dá)朗貝爾原理求得小車(chē)的加速度a為()A.B.C.D.D第二十章慣性力50（3）如圖所示，車(chē)頂懸掛一質(zhì)量為m的單擺，當(dāng)車(chē)以加速度a沿直(a)繩子上加力P(b)繩子上掛一重P的物體OO(4)兩個(gè)相同的定滑輪如下圖示，開(kāi)始時(shí)都處于靜止，同時(shí)運(yùn)動(dòng)，問(wèn)同一瞬時(shí)哪個(gè)角速度大？為什么？第二十章慣性力51(a)繩子上加力P(b)繩子上掛一重P的物體OO(4)3．如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為4kg，B端置于光滑的水平面上。在桿的端作用一水平推力P=60N，使桿AB沿F力方向作直線平移。試用動(dòng)靜法求AB桿的加速度和角θ之值。答案：第二十章慣性力523．如圖所示，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為4kg，B端置于光滑的水平面第二十章結(jié)束第二十章慣性力53第二十章結(jié)束第二十章慣性力53[例2]在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P1和P2，半徑均為R，繩子不可伸長(zhǎng)，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角q，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：(1)鼓輪的角加速度？(2)繩子的拉力？(3)軸承O處的支反力？(4)圓柱體與斜面間的摩擦力（不計(jì)滾動(dòng)摩擦）？54[例2]在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪解：用達(dá)朗貝爾原理求解取輪O為研究對(duì)象，虛加慣性力偶列出動(dòng)靜方程：取輪A為研究對(duì)象，虛加慣性力和慣性力偶MIA如圖示。動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

55解：用達(dá)朗貝爾原理求解列出動(dòng)靜方程：取輪A為研究對(duì)象，虛加慣列出動(dòng)靜方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：，將MI，F(xiàn)I，MIA及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入到(1)和(4)式并聯(lián)立求解得：動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

56列出動(dòng)靜方程：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：代入(2)、(3)、(5)式，得：動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

57代入(2)、(3)、(5)式，得：動(dòng)力學(xué)第十四章達(dá)朗貝[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無(wú)滑動(dòng)地沿傾斜平板由靜止自O(shè)點(diǎn)開(kāi)始滾動(dòng)。平板對(duì)水平線的傾角為q，試求OA=s時(shí)平板在O點(diǎn)的約束反力。板的重力略去不計(jì)。解：(1)用動(dòng)能定理求速度，加速度圓柱體作平面運(yùn)動(dòng)。在初始位置時(shí)，處于靜止?fàn)顟B(tài)，故T1=0；在末位置時(shí)，設(shè)角速度為

，則vC=R,動(dòng)能為：P動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

58[例3]均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，無(wú)滑動(dòng)地沿傾斜平板主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理得對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，則：(2)用達(dá)朗伯原理求約束反力取系統(tǒng)為研究對(duì)象，虛加慣性力和慣性力偶MICP動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

59主動(dòng)力的功：由動(dòng)能定理列出動(dòng)靜方程：動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

60列出動(dòng)靜方程：動(dòng)力學(xué)第十四章達(dá)朗貝爾原理60[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對(duì)質(zhì)心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO，在與水平成q

角的常力F作用下純滾動(dòng)，不計(jì)滾阻，求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動(dòng)的條件。解：用達(dá)朗伯原理求解繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)）由達(dá)朗伯原理，得將FI

、MIO代入上式，可得動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

61[例4]繞線輪重P，半徑為R及r，對(duì)質(zhì)心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為純滾動(dòng)的條件：FS

≤fFN

動(dòng)力學(xué)

第十四章達(dá)朗貝爾原理

62純滾動(dòng)的條件：FS≤fFN動(dòng)力學(xué)第十四章達(dá)朗汽車(chē)連同貨物的總質(zhì)量是m，其質(zhì)心C離前后輪的水平距離分別是b和c，離地面的高度是h。當(dāng)汽車(chē)以加速度a沿水平道路行駛時(shí)，求地面給前、后輪的鉛直反力。輪子的質(zhì)量不計(jì)。ABCcbh[例5]63汽車(chē)連同貨物的總質(zhì)量是m，其質(zhì)心C離前ABCcbhFIaFBmgFNAFNB取汽車(chē)連同貨物為研究對(duì)象。汽車(chē)實(shí)際受到的外力有：重力mg，地面對(duì)前、后輪的鉛直反力FNA，F(xiàn)NB以及水平摩擦力FB(注意：前輪一般是被動(dòng)輪，當(dāng)忽略輪子質(zhì)量時(shí)，其摩擦力可以不計(jì))。解：因汽車(chē)作平動(dòng)，其慣性力系合成為作用在質(zhì)心C上的一個(gè)力F*

=

Ma

。于是可寫(xiě)出汽車(chē)的動(dòng)態(tài)平衡方程64ABCcbhFIaFBmgFNAFNB取汽于是可寫(xiě)出汽車(chē)的動(dòng)態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcbhFIaFBmgFNAFNB65于是可寫(xiě)出汽車(chē)的動(dòng)態(tài)平衡方程由式(1)和(2)解得ABCcb飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。試求調(diào)速器兩臂的張角q。設(shè)重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長(zhǎng)均為l，桿重可以忽略不計(jì)。[例6]

66飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)。6767方向如圖示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法，列出兩投影方程：當(dāng)調(diào)速器穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)，慣性力（即離心力）F*垂直并通過(guò)主軸，其大小為解：如把重錘C簡(jiǎn)化為一質(zhì)點(diǎn)，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此容易求出68方向如圖示。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法，列出兩投影方程：由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角q與主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角速度w有關(guān)。利用這個(gè)結(jié)果可以選擇m1，m2，l等參數(shù)量，使在某一轉(zhuǎn)速w下，角q為某一值，從而可以求得重錘C的相應(yīng)位置，帶動(dòng)調(diào)節(jié)裝置進(jìn)行調(diào)速。以F1值代入前兩式，可解出69由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角q與主軸轉(zhuǎn)動(dòng)角球磨機(jī)是一種破碎機(jī)械，在鼓室中裝進(jìn)物料和鋼球，如圖所示。當(dāng)鼓室繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，鋼球被鼓室攜帶到一定高度，此后脫離殼壁而沿拋物線軌跡落下，最后與物料碰撞以達(dá)到破碎的目的。如已知鼓室的轉(zhuǎn)速為nrpm，直徑為D。設(shè)鋼球與殼壁間無(wú)滑動(dòng)，試求最外層鋼球的脫離角q。ωq[例7]

70球磨機(jī)是一種破碎機(jī)械，在鼓室中裝進(jìn)物料和鋼球應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法設(shè)鋼球的質(zhì)量為m。鋼球脫離殼壁的瞬時(shí)，殼壁對(duì)鋼球的約束力FN=0。鼓室以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，鋼球尚未脫離殼壁時(shí)，其加速度為：因此慣性力的大小為FI解：mgFNFqω71應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)靜法設(shè)鋼球的質(zhì)量為m。鋼球脫離殼壁即脫離角q與鼓室轉(zhuǎn)速n有關(guān)。求得這就是鋼球在任一位置θ時(shí)所受的法向動(dòng)約束力，顯然當(dāng)鋼球脫離殼壁時(shí)，F(xiàn)N=0，由此可求出其脫離角時(shí)q為mgFNFqω72即脫離角q與鼓室轉(zhuǎn)速n有關(guān)。求得這就是

一擺長(zhǎng)隨時(shí)間改變的單擺如圖示，擺長(zhǎng)的變化規(guī)律為l0－vt，v為常值。試用達(dá)朗貝爾原理列寫(xiě)擺的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出繩的張力F。[例8]

Ovjl0－vtM73一擺長(zhǎng)隨時(shí)間改變的單擺如圖示，擺長(zhǎng)的變化規(guī)律為l07474應(yīng)用極坐標(biāo)ρ，j表示質(zhì)點(diǎn)M的位置，其加速度a可根據(jù)式表示為引入達(dá)朗貝爾慣性力解：Ovjl0－vtMPF75應(yīng)用極坐標(biāo)ρ，j表示質(zhì)點(diǎn)M的位置，其加速度a可根據(jù)式表慣性力F*與重力P和繩的張力F構(gòu)成平衡力系P+F+F*=0，向eφ

方向投影，并代入l0－vt，得到運(yùn)動(dòng)微分方程向eρ方向的投影得到繩子的張力Ovjl0－vtMPF76慣性力F*與重力P和繩的張力F構(gòu)成平衡力系P+F+F質(zhì)量為m，長(zhǎng)l的勻質(zhì)細(xì)直桿AB，其A端鉸接在鉛直軸Az上，并以勻角速度w繞該軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求當(dāng)AB與轉(zhuǎn)軸間的夾角q

=常量(圖a

)時(shí)w與θ的關(guān)系，以及鉸鏈A的約束力。ξmgF*FAzFAx(a

)(b

)[例9]

77質(zhì)量為m，長(zhǎng)l的勻質(zhì)細(xì)直桿AB，7878ξmgF*FAzFAx(a

)(b

)取桿AB作為研究對(duì)象。受力如圖(b

)。顯然當(dāng)θ不變時(shí)，桿上各點(diǎn)只有向心加速度an

，方向都為水平并指向轉(zhuǎn)軸；這樣，桿的慣性力是同向平行分布力，如圖(b

)所示。解：因而慣性力的元素是沿桿AB取任一微小段dξ考慮，它的質(zhì)量是mgdξ/gl，加速度是ω2ξsinθ。79ξmgF*FAzFAx(a)(b)全桿慣性力合力的大小可用積分求出設(shè)合力FI的作用線與桿AB的交點(diǎn)是D，并以b代表D到A的距離，則ξmgF*FAzFAx80全桿慣性力合力的大小可用積分求出設(shè)合力FI由對(duì)點(diǎn)A的合力矩定理，有把式(1)代入式(2)，即可求得ξmgFIFAzFAx81由對(duì)點(diǎn)A的合力矩定理，有把式(1)代入式(2)，即可求得寫(xiě)出桿的動(dòng)態(tài)平衡方程，有把表達(dá)式(1)代入平衡方程(3)，有即（3）（4）（5）ξmgFIFAzFAx82寫(xiě)出桿的動(dòng)態(tài)平衡方程，有把表達(dá)式(1)代入平衡方程(3)，有從而求得顯然,第二個(gè)解只在3g/2lω2≤1時(shí)成立。第一個(gè)解能否成立，還需進(jìn)一步分析。利用(4)，(5)，可以求得鉸鏈上的反作用力，有ξmgFIFAzFAx83從而求得顯然,第二個(gè)解只在3g/2lω2≤1時(shí)成立。第均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為mA，半徑為r。細(xì)長(zhǎng)桿長(zhǎng)l=2r，質(zhì)量為m。桿端A點(diǎn)與輪心為光滑鉸接，如圖所示。如在A處加一水平拉力F，使輪沿水平面滾動(dòng)。問(wèn)F力多大能使桿的B端剛剛離開(kāi)地面？又為保證純滾動(dòng)，輪與地面間的靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？mAgmgFABC[例10]

84均質(zhì)圓盤(pán)質(zhì)量為mA，半徑為r。細(xì)長(zhǎng)桿長(zhǎng)l=28585細(xì)桿剛離地面時(shí)仍為平動(dòng)，而地面約束力為零，設(shè)其加速度為a。以桿為研究對(duì)象，桿承受的力并加上慣性力如圖所示，其中F*IC=maC=ma。解出ABCFICmgFAxFAya解：按動(dòng)靜法列出方程mAgmgFABC86細(xì)桿剛離地面時(shí)仍為平動(dòng)，而地面約束力為零，為求摩擦力，應(yīng)以圓輪為研究對(duì)象。由方程，得地面摩擦力解得≤mAgmgFABCFNFIAFICMIFSmAgFAFNFIAMIFs整個(gè)系統(tǒng)承受的力并加上慣性力如圖，其中由方程得87為求摩擦力，應(yīng)以圓輪為研究對(duì)象。由方程再以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，由方程，得由此，地面摩擦系數(shù)≥mAgmgFABCFNFIAFICMIFsmAgFAFNFIAMIFs88再以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，由方程

用長(zhǎng)l的兩根繩子AO和BO把長(zhǎng)l，質(zhì)量是m的勻質(zhì)細(xì)桿懸在點(diǎn)O(圖a

)。當(dāng)桿靜止時(shí)，突然剪斷繩子BO，試求剛剪斷瞬時(shí)另一繩子AO的拉力。OlllBAC（a）[例11]

89用長(zhǎng)l的兩根繩子AO和BO把

繩子BO剪斷后，桿AB將開(kāi)始在鉛直面內(nèi)作平面運(yùn)動(dòng)。由于受到繩OA的約束，點(diǎn)A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)。在繩子BO剛剪斷的瞬時(shí)，桿AB上的實(shí)際力只有繩子AO的拉力F和桿的重力mg。在引入桿的慣性力之前，須對(duì)桿作加速度分析。取坐標(biāo)系A(chǔ)xyz如圖(c)所示。aA=anA+atA=aCx+aCy+atAC+anAC利用剛體作平面運(yùn)動(dòng)的加速度合成定理，以質(zhì)心C作基點(diǎn)，則點(diǎn)A的加速度為OxyαBACθ（c）OllBACmgFθ（b）90繩子BO剪斷后，桿AB將開(kāi)始在鉛直面內(nèi)作平在繩BO剛剪斷的瞬時(shí)，桿的角速度w

=0，角加速度a

≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如圖(c)所示。把a(bǔ)A投影到點(diǎn)A軌跡的法線AO上，就得到anAC

=AC·w2=0atAC=la／2這個(gè)關(guān)系就是該瞬時(shí)桿的運(yùn)動(dòng)要素所滿足的條件。即（1）OxyαBACθ（c）OllBACmgFθ（b）91在繩BO剛剪斷的瞬時(shí)，桿的角速度w=0桿的慣性力合成為一個(gè)作用在質(zhì)心的力FIC和一個(gè)力偶MIC，兩者都在運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，

FIC的兩個(gè)分量大小分別是FICx=maCx,FICy=maCy力偶矩MIC

的大小是MIC=JCz′α旋向與

a相反(如圖b)。Oxyα