數(shù)學(xué)建模排隊(duì)論課件

現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例：進(jìn)餐館就餐到圖書館借書去售票處購票在車站等車等等1排隊(duì)論課件現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例：進(jìn)餐館就餐到圖書館借書去售票處購票在車站等一、排隊(duì)系統(tǒng)的特征及排隊(duì)論：

顧客為了得到某中服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)，若不能獲得服務(wù)而允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開系統(tǒng)。2排隊(duì)論課件一、排隊(duì)系統(tǒng)的特征及排隊(duì)論：顧客為了得到某排隊(duì)的形式：顧客到達(dá)隊(duì)列服務(wù)臺(tái)服務(wù)完成后離去服務(wù)臺(tái)1服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)s顧客到達(dá)隊(duì)列服務(wù)完成后離去顧客到達(dá)隊(duì)列1隊(duì)列2隊(duì)列s服務(wù)臺(tái)1服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)s服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去3排隊(duì)論課件排隊(duì)的形式：顧客到達(dá)隊(duì)列服務(wù)臺(tái)服務(wù)完成后離去服務(wù)隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)：輸入來源隊(duì)列服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開4排隊(duì)論課件隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)：輸入來源隊(duì)列服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開4二、排對(duì)系統(tǒng)的描述系統(tǒng)由三個(gè)部分組成：輸入過程排隊(duì)和排隊(duì)規(guī)則服務(wù)機(jī)制5排隊(duì)論課件二、排對(duì)系統(tǒng)的描述系統(tǒng)由三個(gè)部分組成：輸入過程排隊(duì)和排隊(duì)規(guī)則1、輸入過程（1）顧客總數(shù)量：有限或者無限（2）到達(dá)方式：?jiǎn)蝹€(gè)到達(dá)或成批到達(dá)（3）到達(dá)方式：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的分布，這是刻畫輸入過程的最主要內(nèi)容。令表示第n個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)刻，則有：記假設(shè)：是獨(dú)立同分布的，并記其分布函數(shù)為關(guān)于的分布，排隊(duì)論中經(jīng)常用到以下幾種：6排隊(duì)論課件1、輸入過程（1）顧客總數(shù)量：有限或者無限（2）到達(dá)方式：?jiǎn)微俣ㄩL(zhǎng)分布（D）：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為確定的常數(shù)，如產(chǎn)品通過傳輸帶進(jìn)入包裝箱②最簡(jiǎn)流（或稱poisson分布）（M）：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立，同負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：7排隊(duì)論課件①定長(zhǎng)分布（D）：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為確定的常數(shù)，如產(chǎn)品2、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則（1）排隊(duì)分為有限和無限排隊(duì)①損失制排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)空間為零的系統(tǒng)②混合制排隊(duì)系統(tǒng)：等待制和損失制的結(jié)合，是指允許排隊(duì)，但是不允許隊(duì)列無限長(zhǎng)下去，具體的又分三種情況：（?。╆?duì)長(zhǎng)有限，即等待空間有限（ⅱ）等待時(shí)間有限，即顧客在系統(tǒng)中等待時(shí)間不超過某一給定的長(zhǎng)度T（ⅲ）逗留時(shí)間（等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間之和）（系統(tǒng)只能容納K個(gè)顧客）8排隊(duì)論課件2、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則（1）排隊(duì)分為有限和無限排隊(duì)①損失制排隊(duì)系不難注意到損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情況如記為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，混合制即為損失制當(dāng)時(shí)，即成為等待制。(2)排隊(duì)規(guī)則：先來先服務(wù)（FCFS）9排隊(duì)論課件不難注意到損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情況如記為系統(tǒng)3、服務(wù)機(jī)制主要包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接形式（串聯(lián)或并聯(lián)）；顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)的；服務(wù)時(shí)間的分布。記某服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),則常見的分布有：①定長(zhǎng)分布（D）：每位顧客接受的服務(wù)的時(shí)間是常數(shù)；②負(fù)指數(shù)分布（M）：每位顧客接受服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的負(fù)指數(shù)分布：10排隊(duì)論課件3、服務(wù)機(jī)制主要包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接形式（串聯(lián)或并聯(lián)）其中為一常數(shù)。③k階愛爾朗分布密度函數(shù)為11排隊(duì)論課件其中為一常數(shù)。③k階愛爾朗分布密度函數(shù)為11排隊(duì)論課件三、排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示為了方便對(duì)眾多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一種目前在排隊(duì)論中被廣泛的使用的“Kendall記號(hào)”，一般形式為：X/Y/Z/A/B/C其中X表示顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的分布，Y表示服務(wù)時(shí)間分布，Z表示服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；A表示系統(tǒng)的容納，即可容納最多顧客數(shù)B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則；12排隊(duì)論課件三、排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示為了方便對(duì)眾多的模型的描述，D.G.K表示了一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、單個(gè)服務(wù)臺(tái)、系統(tǒng)容量為無限、顧客量無限、排隊(duì)規(guī)則為先來先服務(wù)的排隊(duì)模型。13排隊(duì)論課件表示了一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為四、排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)和記號(hào)1、隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)2、等待時(shí)間和逗留時(shí)間3、忙期和閑期14排隊(duì)論課件四、排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)和記號(hào)1、隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)2、等待時(shí)間下面給出上述一些主要數(shù)量指標(biāo)的常用記法：時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，即隊(duì)長(zhǎng)時(shí)刻t系統(tǒng)中排隊(duì)的顧客數(shù)，即排隊(duì)長(zhǎng)時(shí)刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間時(shí)刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間上述數(shù)量指標(biāo)與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量，求它們的瞬時(shí)分布非常困難。15排隊(duì)論課件下面給出上述一些主要數(shù)量指標(biāo)的常用記法：時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧討論系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)下的性質(zhì)：記為時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)n概率，即系統(tǒng)的瞬時(shí)分布根據(jù)前面的約定，我們將主要分析系統(tǒng)的平衡分布，即當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)時(shí)所處狀態(tài)n概率，記為又記：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)隊(duì)長(zhǎng)，其均值為L(zhǎng)，稱為平均隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)，其均值為稱為平均排隊(duì)長(zhǎng)；系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)顧客的逗留時(shí)間，均值為稱為逗留時(shí)間；16排隊(duì)論課件討論系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)下的性質(zhì)：記為時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)n概率系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)顧客的等待時(shí)間，其均值記為稱為平均等待時(shí)間；當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，新來顧客的平均到達(dá)率（單位時(shí)間內(nèi)來到系統(tǒng)的平均顧客數(shù)）當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率（單位時(shí)間內(nèi)完成的顧客數(shù)）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，記為當(dāng)每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率為常數(shù)時(shí)，記為當(dāng)時(shí)，有：17排隊(duì)論課件系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)顧客的等待時(shí)間，其均值記為稱為平均等待時(shí)間1/ 期望到達(dá)間隔時(shí)間1/期望服務(wù)時(shí)間服務(wù)強(qiáng)度，或稱使用因子,/(s)五、排隊(duì)論原理18排隊(duì)論課件1/ 期望到達(dá)間隔時(shí)間五、排隊(duì)論原理18排隊(duì)論課件為了使系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)保持平衡，得到下列方程：

對(duì)狀態(tài)對(duì)狀態(tài)對(duì)狀態(tài)記則平穩(wěn)狀態(tài)分布：19排隊(duì)論課件為了使系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)保持平衡，得到下列方程：對(duì)狀態(tài)對(duì)狀態(tài)對(duì)則概率分布的要求：有：于是：20排隊(duì)論課件則概率分布的要求：有：于是：20排隊(duì)論課件六、M/M/S等待制排隊(duì)模型1、單服務(wù)臺(tái)模型①隊(duì)長(zhǎng)的分布記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意到記并設(shè)則：21排隊(duì)論課件六、M/M/S等待制排隊(duì)模型1、單服務(wù)臺(tái)模型①隊(duì)長(zhǎng)的分布記為因此：其中：22排隊(duì)論課件因此：其中：22排隊(duì)論課件②幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均隊(duì)長(zhǎng)：平均排隊(duì)長(zhǎng)：23排隊(duì)論課件②幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均隊(duì)長(zhǎng)：平均排隊(duì)長(zhǎng)：23排隊(duì)論課件的負(fù)指數(shù)分布，關(guān)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間T，說明服從參數(shù)因此，平均逗留時(shí)間W為：顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間為等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間之和：24排隊(duì)論課件的負(fù)指數(shù)分布，關(guān)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間T，說明服從參數(shù)因此其中V為服務(wù)時(shí)間，故由：可得平均等待時(shí)間為：平均隊(duì)長(zhǎng)與平均逗留時(shí)間具有的關(guān)系：平均排隊(duì)長(zhǎng)與平均等待時(shí)間的關(guān)系：稱為little公式25排隊(duì)論課件其中V為服務(wù)時(shí)間，故由：可得平均等待時(shí)間為：平均隊(duì)長(zhǎng)與平均逗2、多服務(wù)臺(tái)模型記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意到對(duì)個(gè)數(shù)s個(gè)服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，有：記并設(shè)則：26排隊(duì)論課件2、多服務(wù)臺(tái)模型記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意其中：27排隊(duì)論課件其中：27排隊(duì)論課件幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均排隊(duì)長(zhǎng)：平均隊(duì)長(zhǎng)：Little公式：28排隊(duì)論課件幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均排隊(duì)長(zhǎng)：平均隊(duì)長(zhǎng)：Little公式：28其他模型M/M/c/K/K顧客來源是有限的服務(wù)系統(tǒng).例如：一個(gè)飯店有X張桌子和Y個(gè)服務(wù)生服務(wù)來源有限的顧客.M/D/1服務(wù)時(shí)間不變的服務(wù)系統(tǒng).D/M/1確定性到達(dá)模式,及指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間.