高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件

2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法2.2直接證明與間接證明2.2.1綜合法和分析法推理合情推理歸納(特殊到一般）類比（特殊到特殊）演繹推理三段論（一般到特殊）復(fù)習

合情推理的結(jié)論不一定正確,有待證明;

演繹推理得到的結(jié)論一定正確.推理合情推理歸納類比演繹推理三段論復(fù)習合情推理的結(jié)論不一回顧基本不等式：(a>0,b>0)的證明過程：證明:因為;所以所以所以成立證明:要證;只需證;只需證;只需證;因為;成立所以成立回顧基本不等式：證明:證明:要證;利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示所要證明的結(jié)論.則綜合法用框圖表示為:…特點:“執(zhí)因索果”綜合法又叫由因?qū)Чɑ蝽樛谱C法.利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，使每一步結(jié)論成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止，這種證明的方法叫做分析法．

特點：執(zhí)果索因.用框圖表示分析法的思考過程、特點.得到一個明顯成立的結(jié)論…分析法又叫執(zhí)果索因法或叫逆推證法一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求推證過程中，例1：已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc因為b2+c2

≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因為c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.證明:例1：已知a>0,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a例2：在△ＡＢＣ中，三個內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證△ＡＢＣ為等邊三角形．證明：由A,B,C成等差數(shù)列，有2B=A+C，---------------------------------------①

因為A,B,C是三角形的內(nèi)角，所以A+B+C=180o，----------------------②

所以B=60o。---------------------------------------------------------------------③

由a,b,c成等比數(shù)列，有b2=ac,-----------------------------------------------④

則b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac,

再有④得a2+c2-ac=ac，即(a-c)2=0

因此a=c。從而有A=C----------------------------------------------------------⑤

則由②③⑤得A=B=C=60o。所以三角形ABC是等邊三角形。例2：在△ＡＢＣ中，三個內(nèi)角Ａ、Ｂ、Ｃ對應(yīng)的邊分別為a、b、高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件例3:求證證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即只需證明21<25，因為21<25成立，所以不等式成立。2。分析法例3:求證證明：因為用分析法證明用分析法證明高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件高中數(shù)學直接證明與間接證明公開課課件2.2.2反證法2.2.2反證法思考？將9個球分別染成紅色或白色.那么無論怎樣染,至少有5個球是同色的,你能證明這個結(jié)論嗎?分析:假設(shè)有某種染法使紅色球和白色球的個數(shù)都不超過4,則球的總數(shù)應(yīng)不超過4+4=8,這與球的總數(shù)是9矛盾.因此,無論怎樣染,至少有5個球是同色的.思考？將9個球分別染成紅色或白色.那么無論怎樣染,至少有5個反證法的證明過程：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，即分三個步驟：反設(shè)—歸謬—存真反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不成立；存真——由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不成立，從而肯定原結(jié)論成立。歸謬——從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過一系列正確的推理，````````得出矛盾；用反證法證明命題的過程用框圖表示為：肯定條件否定結(jié)論導致邏輯矛盾反設(shè)不成立結(jié)論成立反證法的思維方法：正難則反反證法的證明過程：否定結(jié)論——推出矛盾——肯定結(jié)論，反設(shè)——例5:已知直線a,b和平面,如果且a∥b,求證:a∥abP看課本第90頁，例題4。例5:已知直線a,b和平面,如果

把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱為間接證明注：反證法是最常見的間接證法，

一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），

經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法（歸謬法）。理論把這種不是直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法稱歸納總結(jié)：三個步驟：反設(shè)—歸謬—存真歸繆矛盾：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾。

一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），

經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾。因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，

這樣的證明方法叫做反證法。歸納總結(jié)：三個步驟：反設(shè)—歸謬—存真歸繆矛盾：一般地，練習已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證：由于a≠0，因此方程至少有一個根x=b/a，注:結(jié)論中的有且只有(有且僅有)形式出現(xiàn),

是唯一性問題,常用反證法```如果方程不只一個根，不妨設(shè)x1,x2

（x1≠x2)是方程的兩個根.練習已知a≠0，證明x的方程ax=b有且只有一個根。證：（1）直接證明有困難正難則反!歸納總結(jié)：哪些命題適宜用反證法加以證明？牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)