ARIMA模型預(yù)測(cè)與GM(1,1)模型預(yù)測(cè)

...wd......wd......wd...ARIMA模型預(yù)測(cè)與GM(1,1)模型預(yù)測(cè)一、模型選擇預(yù)測(cè)是重要的統(tǒng)計(jì)技術(shù)，對(duì)于領(lǐng)導(dǎo)層進(jìn)展科學(xué)決策具有不可替代的支撐作用。常用的預(yù)測(cè)方法包括定性預(yù)測(cè)法、傳統(tǒng)時(shí)間序列預(yù)測(cè)〔如移動(dòng)平均預(yù)測(cè)、指數(shù)平滑預(yù)測(cè)〕、現(xiàn)代時(shí)間序列預(yù)測(cè)〔如ARIMA模型〕、灰色預(yù)測(cè)〔GM〕、線性回歸預(yù)測(cè)、非線性曲線預(yù)測(cè)、馬爾可夫預(yù)測(cè)等方法。綜合考量方法簡(jiǎn)捷性、科學(xué)性原則，我選擇ARIMA模型預(yù)測(cè)、GM(1,1)模型預(yù)測(cè)兩種方法進(jìn)展預(yù)測(cè)，并將結(jié)果相互比對(duì)，權(quán)衡取舍，從而選擇最正確的預(yù)測(cè)結(jié)果。二ARIMA模型預(yù)測(cè)〔一〕預(yù)測(cè)軟件選擇----R軟件ARIMA模型預(yù)測(cè)，可實(shí)現(xiàn)的軟件較多，如SPSS、SAS、Eviews、R等。使用R軟件建模預(yù)測(cè)的優(yōu)點(diǎn)是：第一，R是世最強(qiáng)大、最有前景的軟件，已經(jīng)成為美國(guó)的主流。第二，R是免費(fèi)軟件。而SPSS、SAS、Eviews正版軟件極為昂貴，盜版存在侵權(quán)問(wèn)題，可以引起法律糾紛。第三、R軟件可以將程序保存為一個(gè)程序文件，略加修改便可用于其它數(shù)據(jù)的建模預(yù)測(cè)，便于方法的推廣?！捕持笜?biāo)和數(shù)據(jù)指標(biāo)是銷售量(x)，樣本區(qū)間是1964-2013年，保存文本文件data.txt中?！踩愁A(yù)測(cè)的具體步驟1、準(zhǔn)備工作〔1〕下載安裝R軟件目前最新版本是R3.1.2，發(fā)布日期是2014-10-31，下載地址是:///。我使用的是R3.1.1?！?〕把數(shù)據(jù)文件data.txt文件復(fù)制“我的文檔〞我的文檔是默認(rèn)的工作目錄，也可以修改自定義工作目錄。。我的文檔是默認(rèn)的工作目錄，也可以修改自定義工作目錄?！?〕把data.txt文件讀入R軟件，并起個(gè)名字。具體操作是：翻開(kāi)R軟件，輸入〔輸入每一行后，回車(chē)〕：data=read.table("data.txt",header=T)data#查看數(shù)據(jù)#后的提示語(yǔ)句是給自己看的，并不影響R運(yùn)行回車(chē)表示執(zhí)行。完成上面操作后，R窗口會(huì)顯示：〔4〕把銷售額〔x〕轉(zhuǎn)化為時(shí)間序列格式x=ts(x,start=1964)x結(jié)果：2、對(duì)x進(jìn)展平穩(wěn)性檢驗(yàn)ARMA模型的一個(gè)前提條件是，要求數(shù)列是平穩(wěn)時(shí)間序列。所以，要先對(duì)數(shù)列x進(jìn)展平穩(wěn)性檢驗(yàn)。先做時(shí)間序列圖：從時(shí)間序列圖可以看出，銷售量x不具有上升的趨勢(shì)，也不具有起降的趨勢(shì)，初步判斷，銷售量x是平穩(wěn)時(shí)間序列。但觀察時(shí)間序列圖是不準(zhǔn)確的，更嚴(yán)格的方法是進(jìn)展單位根檢驗(yàn)。單位根檢驗(yàn)是通行的檢驗(yàn)數(shù)列平穩(wěn)性的工具，常用的有ADF單位根檢驗(yàn)、PP單位根檢驗(yàn)和KPSS單位根檢驗(yàn)三種方法。單位根檢驗(yàn)的準(zhǔn)備工作是，安裝tseries程序包。安裝方法：在聯(lián)網(wǎng)狀態(tài)下，點(diǎn)菜單“Packages—Installpackages〞，在彈出的對(duì)話框中，選擇一個(gè)鏡像，如China(Beijing1)，確定。然后彈出附加包列表，選擇tseries，確定即可。安裝完附加包后，執(zhí)行下面操作：library(tseries)#加載tseries包adf.test(x)#ADF檢驗(yàn)pp.test(x)#PP檢驗(yàn)kpss.test(x)#KPSS檢驗(yàn)結(jié)果：上面分別給出了ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)和KPSS檢驗(yàn)的結(jié)果。其中，ADF檢驗(yàn)顯示x是不平穩(wěn)的〔P值=0.99>0.05〕，而PP檢驗(yàn)PP檢驗(yàn)的原假設(shè)是不平穩(wěn)，P值=0.01，小于0.05，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明序列是平穩(wěn)的。和KPSS檢驗(yàn)PP檢驗(yàn)的原假設(shè)是不平穩(wěn)，P值=0.01，小于0.05，拒絕原假設(shè)，說(shuō)明序列是平穩(wěn)的。KPSS檢驗(yàn)與PP檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)不同，它的原假設(shè)是平穩(wěn)的。P值=0.1，大于0.05，承受原假設(shè)，說(shuō)明序列是平穩(wěn)序列。3、選擇模型做x的自相關(guān)圖〔左圖〕和偏自相關(guān)圖〔右圖〕：acf(x)#做自相關(guān)圖pacf(x)#做偏自相關(guān)圖無(wú)論是自相關(guān)系數(shù)圖〔左〕，還是偏自相關(guān)系數(shù)圖〔右〕，都顯著第4階的系數(shù)突破了虛線，說(shuō)明相關(guān)性顯著。因此，我們建立4階AR模型，寫(xiě)作AR(4)。4、估計(jì)模型參數(shù)fit=arima(xse,order=c(4,0,0))#把估計(jì)結(jié)果取名為fitfit#查看fit上面給出了AR模型的回歸系數(shù)的估計(jì)值，其中，截距為44079.31，1到4階自回歸系數(shù)分別是0.0344，-0.0174，-0.2002和0.4560。5、模型效果的檢驗(yàn)?zāi)Ｐ托Ч臋z驗(yàn)非常重要，因?yàn)橹挥型ㄟ^(guò)檢驗(yàn)，才證明是可靠、有效的模型，才能進(jìn)展后續(xù)的預(yù)測(cè)分析。主要的檢驗(yàn)工具有兩個(gè)，一是對(duì)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)。四個(gè)自回歸系數(shù)中，第4個(gè)回歸系數(shù)的T統(tǒng)計(jì)值=0.4560/0.1241=3.67，大于2，因此，通過(guò)了顯著性檢驗(yàn)，說(shuō)明確實(shí)存在四階自相關(guān)。這與前面看自相關(guān)圖和偏自相關(guān)系數(shù)圖的結(jié)論相吻合。第二個(gè)檢驗(yàn)是殘差的白噪聲檢驗(yàn)〔Ljung-Box檢驗(yàn)〕，這個(gè)最主要、最關(guān)鍵。一般來(lái)說(shuō)，只要通過(guò)了殘差的白噪聲檢驗(yàn)，則說(shuō)明模型是有效的。殘差白噪聲檢驗(yàn)的R代碼：tsdiag(fit)結(jié)果：上邊是殘差的自相關(guān)圖，圖形顯示，除了0階以外，各階自相關(guān)系數(shù)都很小，基本在0左右。說(shuō)明殘差中已經(jīng)沒(méi)有多少有用的信息，殘差是純隨機(jī)序列，即白噪聲。換個(gè)角度說(shuō)，時(shí)間序列的有價(jià)值信息絕大局部都已經(jīng)被模型提取了，建模獲得了成功。下邊是更為準(zhǔn)確的Ljung-Box檢驗(yàn)結(jié)果，所有小圈都在虛線之上〔虛線值為0.05〕，說(shuō)明在0.05的顯著性水平上，各階自相關(guān)系數(shù)和零的差異不顯著，殘差為白噪聲序列，模型效果優(yōu)良。這與上面的殘差的自相關(guān)圖相吻合。6、ARIMA模型預(yù)測(cè)R軟件代碼：predict(fit,n.ahead=3)#預(yù)測(cè)下三年〔2014-2016〕的數(shù)值假設(shè)想預(yù)測(cè)后五年，就把3改成5，依此類推。結(jié)果：pred即predict(預(yù)測(cè))的前四個(gè)字母，下面是時(shí)間2014-2016，說(shuō)明要預(yù)測(cè)2014-2016年三年的。結(jié)果在最后一行，2014年銷售額預(yù)測(cè)值為61768.02，2015年為36563.83，2016年為45464.87?！菜摹衬Ｐ偷脑贆z驗(yàn)—用AIC準(zhǔn)則尋找更優(yōu)上面建模預(yù)測(cè)，通過(guò)的顯著性檢驗(yàn)和殘差的白噪聲檢驗(yàn)，證明模型優(yōu)良，可以進(jìn)展預(yù)測(cè)。一般的預(yù)測(cè)報(bào)告就到此完畢了。但考慮到預(yù)測(cè)對(duì)于企業(yè)家的決策重要，而決策的失誤將會(huì)產(chǎn)生很大的不良后果。因此，更嚴(yán)謹(jǐn)起見(jiàn)，我們建立了24個(gè)可能的ARMA模型，一個(gè)一個(gè)比較，想看一看還有沒(méi)有比前面我們建立的模型擬合效果更好的。挑選標(biāo)準(zhǔn)是國(guó)際通行的AIC準(zhǔn)則。AIC是日本統(tǒng)計(jì)學(xué)家Akaike于1973年提出的。其基本思想是，變量越多，一般來(lái)說(shuō)模型的擬合優(yōu)度會(huì)越高。但是我們又不能單純地以擬合的準(zhǔn)確度的衡量模型的好壞，因?yàn)樽宰兞康脑龆鄷?huì)導(dǎo)致未知參數(shù)的增多，而參數(shù)越多，參數(shù)估計(jì)的難度就越大，估計(jì)的精度也越差。因此，應(yīng)該尋求在擬合優(yōu)度和參數(shù)個(gè)數(shù)之間的一個(gè)平衡，AIC到達(dá)最小時(shí)的模型被認(rèn)為是最優(yōu)的模型。這就是說(shuō)，我們所建立的預(yù)測(cè)模型，經(jīng)過(guò)Ljung-Box檢驗(yàn)，說(shuō)明是優(yōu)良的模型。但是，如果有好多模型通過(guò)檢驗(yàn)，證明優(yōu)良呢這時(shí)，就可以比較AIC的大小，到達(dá)優(yōu)中選優(yōu)的目的。統(tǒng)計(jì)界的經(jīng)歷說(shuō)明，ARMA模型最常見(jiàn)的4階之內(nèi)。這樣會(huì)產(chǎn)生24個(gè)ARMA模型。分別是AR(1)、AR(2)、AR(3)、AR(4)、MA(1)、MA(2)、MA(3)、MA(4)、ARMA(1,1)、ARMA(2,1)、ARMA3,1)、ARMA(4,1)、ARMA(1,2)、ARMA(2,2)、ARMA(3,2)、ARMA(4,2)、ARMA(1,3)、ARMA(2,3)、ARMA(3,3)、ARMA(4,3)、ARMA(1,4)、ARMA(2,4)、ARMA(3,4)、ARMA(4,4)。R代碼：fit=arima(x,c(1,0,0));fit#ar(1)fit=arima(x,c(2,0,0));fit#ar(2)fit=arima(x,c(3,0,0));fit#ar(3)fit=arima(x,c(4,0,0));fit#ar(4)fit=arima(x,c(0,0,1));fit#ma(1)fit=arima(x,c(0,0,2));fit#ma(2)fit=arima(x,c(0,0,3));fit#ma(3)fit=arima(x,c(0,0,4));fit#ma(4)fit=arima(x,c(1,0,1));fit#arma(1,1)fit=arima(x,c(2,0,1));fit#arma(2,1)fit=arima(x,c(3,0,1));fit#arma(3,1)fit=arima(x,c(4,0,1));fit#arma(4,1)fit=arima(x,c(1,0,2));fit#arma(1,2)fit=arima(x,c(2,0,2));fit#arma(2,2)fit=arima(x,c(3,0,2));fit#arma(3,2)fit=arima(x,c(4,0,2));fit#arma(4,2)fit=arima(x,c(1,0,3));fit#arma(1,3)fit=arima(x,c(2,0,3));fit#arma(2,3)fit=arima(x,c(3,0,3));fit#arma(3,3)fit=arima(x,c(4,0,3));fit#arma(4,3)fit=arima(x,c(1,0,4));fit#arma(1,4)fit=arima(x,c(2,0,4));fit#arma(2,4)fit=arima(x,c(3,0,4));fit#arma(3,4)fit=arima(x,c(4,0,4));fit#arma(4,4)結(jié)果計(jì)算出每個(gè)模型的AIC值，如下：AR(4):aic=1151.31AR〔1〕：aic=1159.14AR〔2〕：aic=1161.08AR〔3〕：aic=1160.73MA(1):aic=1159.13MA(2):aic=1161.05MA(3):aic=1160.06MA(4):aic=1151.49ARMA(1,1):aic=1155.99ARMA(2,1):aic=1157.59ARMA(3,1):aic=1154.97ARMA(4,1):aic=1152.97ARMA(1,2):aic=1156.66ARMA(2,2):aic=1156.67ARMA(3,2):aic=1155.4ARMA(4,2):aic=1154.38ARMA(1,3):aic=1155.68ARMA(2,3):aic=1157.67ARMA(3,3):aic=1156.19ARMA(4,3):aic=1153.55ARMA(1,4):aic=1153.09ARMA(2,4):aic=1155.29ARMA(3,4):aic=1152.25ARMA(4,4):aic=1153.63第一行是我們前面建立的四階自回歸模型AR(4)的AIC值，為1151.31。經(jīng)一一比照可以發(fā)現(xiàn)，所有其它模型的AIC值都大于115.31。就是說(shuō)，我們前面建立的模型是所有可能模型中的最優(yōu)模型。三、GM(1,1)預(yù)測(cè)〔一〕方法簡(jiǎn)介灰色系統(tǒng)理論是由華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于1982年提出并加以開(kāi)展的。二十幾年來(lái)，引起了不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長(zhǎng)足的開(kāi)展。目前，在我國(guó)已經(jīng)成為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)在等諸多領(lǐng)域進(jìn)展預(yù)測(cè)、決策、評(píng)估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一。而其精華在于GM(1,1)模型，GM(1,1)被廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)，并且預(yù)測(cè)效果很好，其使用限制條件是：原始數(shù)據(jù)單調(diào)，預(yù)測(cè)背景呈現(xiàn)穩(wěn)定開(kāi)展趨勢(shì)；其優(yōu)勢(shì)是：適用于觀測(cè)數(shù)據(jù)較少的預(yù)測(cè)問(wèn)題，算法簡(jiǎn)單易行，預(yù)測(cè)精度相對(duì)較高。鑒于GM(1,1)預(yù)測(cè)適合于數(shù)據(jù)較少情況，我們選擇2008-2013年的近期數(shù)據(jù)，進(jìn)展預(yù)測(cè)嘗試?！捕砇軟件操作1、把腳本文件GM11.R和data2.txt復(fù)制到“我的文檔〞；2、R窗口輸入命令：source("GM11.R")data2=read.table("data2.txt",header=T)x=data2$xxGM11(x,length(x)+1)#預(yù)測(cè)后1期值預(yù)測(cè)結(jié)果：2014年銷售量分別為28385.3。在R顯示結(jié)果中，是x(0)的模擬值的最后1個(gè)數(shù)。(三)模型檢驗(yàn)利用R軟件進(jìn)展操作處理結(jié)果顯示如下：平均相對(duì)誤差=22.11903%相對(duì)精度=77.88097%可見(jiàn)，GM(1,1)模型預(yù)測(cè)的誤差較大，相對(duì)精度不高。再進(jìn)展后驗(yàn)差比值檢驗(yàn)。原始序列的方差：殘差序列e的方差：后驗(yàn)差比值為：C值=S2/S1=0.7108341按照灰色預(yù)測(cè)理論，C值大于0.65，說(shuō)明GM(1,1)預(yù)測(cè)精度等級(jí)為：不合格〔標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)下表〕。說(shuō)明該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果不太可靠。小誤差概率檢驗(yàn)：R軟件給出了小誤差概率值，p=4/6=0.6666667。屬于(0.7,0.8]，GM(1,1)模型預(yù)測(cè)精度等級(jí)為：勉強(qiáng)合格〔標(biāo)準(zhǔn)見(jiàn)上表〕。綜合來(lái)看，對(duì)于我公司的數(shù)據(jù)，GM(1,1)模型效果并不理想。四簡(jiǎn)要結(jié)論前面用ARIMA模型和GM(1,1)模型，對(duì)我公司的銷售量進(jìn)展了預(yù)測(cè)。檢驗(yàn)說(shuō)明，GM(1,1)模型的精度較低，而ARIMA模型則通過(guò)Ljung-Box檢驗(yàn)，說(shuō)明模型優(yōu)良。而且，我們進(jìn)展了全方位的24個(gè)模型的一一比對(duì)，發(fā)現(xiàn)我們建立的模型在所有可能模型中最優(yōu)。因而，建立重點(diǎn)參照ARIMA模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。作為統(tǒng)計(jì)人員，基于對(duì)統(tǒng)計(jì)工作的經(jīng)歷認(rèn)識(shí)，明白任何預(yù)測(cè)，都是根據(jù)過(guò)往的歷史信息進(jìn)展的。如果歷史條件不變，預(yù)測(cè)結(jié)果可靠。一旦歷史條件改變，則預(yù)測(cè)結(jié)果不一定準(zhǔn)確。而且，只要是預(yù)測(cè)，無(wú)論方法多么科學(xué)，分析多么嚴(yán)謹(jǐn)，都沒(méi)有百分百的準(zhǔn)確，都會(huì)有預(yù)測(cè)誤差。五進(jìn)一步建議單變量時(shí)間預(yù)測(cè)，是依據(jù)單一變量—銷售量的歷史信息進(jìn)展預(yù)測(cè)，并沒(méi)有考慮其它因素。結(jié)果僅具有參考意義。建議領(lǐng)導(dǎo)層根據(jù)自己的經(jīng)歷、銷售部門(mén)根據(jù)其經(jīng)歷，尤其是對(duì)未來(lái)經(jīng)濟(jì)形勢(shì)的變化特點(diǎn)，修正前面的預(yù)測(cè)結(jié)果，使預(yù)測(cè)結(jié)果更加完善。附錄：GM〔1,1〕基本理論G表示Grey(灰)，M表示Model(模型)，前一個(gè)“1”表示一階，后一個(gè)“1”表示一個(gè)變量，GM(1,1)則是一階，一個(gè)變量的微分方程模型。給定等時(shí)間間隔的數(shù)據(jù)列，且設(shè)數(shù)據(jù)列單調(diào)：k表示時(shí)刻，表示t＝k時(shí)刻某量的觀測(cè)值，不妨設(shè)，，將數(shù)據(jù)列記成：表示原始數(shù)據(jù)序列。比方：。對(duì)原始數(shù)據(jù)作一次累加生成：即令得一次累加生成數(shù)序列為：在此，={2.874,6.152,9.489,12.879,16.558}給定的原始數(shù)據(jù)序列已經(jīng)是單增序列，經(jīng)一次累加后生成的累加數(shù)序列