【解析】2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

一、選擇題

1．（2023·長沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A．B．C．D．

2．（2023·邵陽）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

3．（2023·株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，則下列說法正確的是（）

A．b恒大于0B．a(chǎn)，b同號

C．a(chǎn)，b異號D．以上說法都不對

4．（2023·衡陽）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．

C．D．

二、填空題

5．（2023·郴州）在一次函數(shù)中，隨的增大而增大，則的值可以是（任寫一個符合條件的數(shù)即可）．

6．（2023·郴州）拋物線與軸只有一個交點，則．

三、綜合題

7．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標(biāo)原點，．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標(biāo)．

8．（2023·株洲）某花店每天購進支某種花，然后出售．如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進行作廢處理、該花店記錄了天該種花的日需求量n（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計如下表：

日需求量n

天數(shù)112411

（1）求該花店在這天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；

（2）當(dāng)時，日利潤y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達式為：；當(dāng)時，日利潤為元．

①當(dāng)時，間該花店這天的利潤為多少元？

②求該花店這天中日利潤為元的日需求量的頻率．

9．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1，求周長的最小值；

（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．

10．（2023·郴州）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；

（3）如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

11．（2023·邵陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標(biāo)系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．

12．（2023·株洲）已知二次函數(shù)．

（1）若，且該二次函數(shù)的圖象過點，求的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．

②當(dāng)點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．

13．（2023·岳陽）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

（1）請求出拋物線的表達式．

（2）如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

14．（2023·衡陽）如圖，已知拋物線與x軸交于點和點B，與y軸交于點C，連接，過B、C兩點作直線．

（1）求a的值．

（2）將直線向下平移個單位長度，交拋物線于、兩點．在直線上方的拋物線上是否存在定點D，無論m取何值時，都是點D到直線的距離最大，若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）拋物線上是否存在點P，使，若存在，請求出直線的解析式；若不存在，請說明理由．

15．（2023·懷化）如圖一所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的函數(shù)表達式及頂點坐標(biāo)；

（2）點為第三象限內(nèi)拋物線上一點，作直線，連接、，求面積的最大值及此時點的坐標(biāo)；

（3）設(shè)直線交拋物線于點、，求證：無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．

答案解析部分

1．【答案】D

【知識點】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得y隨x的增大而減小的函數(shù)是，

故答案為：D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一分析即可求解。

2．【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

①拋物線的對稱軸是直線，①正確；

②當(dāng)x=0時，y=3，

∴點在拋物線上，②正確；

③當(dāng)a＜0時，y1＜y2，

當(dāng)a＞0時，y1＞y2，③錯誤；

④由題意得，

∴，④錯誤；

故答案為：B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可判斷①；將x=0代入求出y即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與開口關(guān)系結(jié)合題意即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性即可判斷④。

3．【答案】C

【知識點】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，

∴，

∴，

∴a，b異號，

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合圖像即可得到，進而即可求解。

4．【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)直線y=m與拋物線交于A、B兩點，直線y=n與拋物線交于C、D兩點，

∵，關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為，

∴，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再結(jié)合題意，比較大小即可。

5．【答案】3（答案不唯一）

【知識點】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得k-2＞0，

∴k＞2，

故答案為：3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的取值范圍，進而即可求解。

6．【答案】9

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題

【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個交點，

∴，

∴c=9，

故答案為：9

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點問題結(jié)合題意即可求解。

7．【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達式為；

（2）解：

∴頂點的坐標(biāo)為

過作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當(dāng)時，

連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個交點為

即所求的坐標(biāo)為

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點即可設(shè)二次函數(shù)的表達式為，進而根據(jù)題意即可求出點C的坐標(biāo)，進而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點式，進而得到頂點坐標(biāo)，過作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時，連接，過作交于，過作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長，進而運用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進而得到點E的坐標(biāo)，進而得到過的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個函數(shù)的解析即可得到交點坐標(biāo)，進而即可求解。

8．【答案】（1）解：當(dāng)時，該種花需要進行作廢處理，

則該種花作廢處理情形的天數(shù)共有：（天）；

（2）解：①當(dāng)時，日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式為，

當(dāng)時，（元）；

②當(dāng)時，日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式為；

當(dāng)時，日利潤為元，，

當(dāng)時，

解得：，

由表可知的天數(shù)為2天，

則該花店這天中日利潤為元的日需求量的頻率為2．

【知識點】一次函數(shù)的實際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)結(jié)合題意即可求解；

（2）①當(dāng)時，根據(jù)題意即可得到日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式，進而將代入即可求解；

②根據(jù)題意得到當(dāng)時，日利潤為元，即將代入求出n，再查詢表格即可求解。

9．【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達式為；

（2）解：作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點D，由對稱性，

此時有最小值為的長，

∵的周長為，

，的最小值為10，

∴的周長的最小值為；

（3）解：由已知點，，，

設(shè)直線的表達式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達式為，

同理可得：直線的表達式為，

∵，

∴設(shè)直線表達式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達式

得：，

∴直線的表達式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時，此時P點為.

．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為，進而代入即可求解；

（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，進而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點E的坐標(biāo)，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，進而跟進勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式，同理可得：直線的表達式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設(shè)直線表達式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達式即可得到，進而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解。

10．【答案】（1）解：∵拋物線與軸相交于點，，

∴，解得：，

∴；

（2）解：∵，當(dāng)時，，

∴，拋物線的對稱軸為直線

∵的周長等于，為定長，

∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，

∵關(guān)于對稱軸對稱，

∴，當(dāng)三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，

設(shè)直線的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

當(dāng)時，，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（3）解：存在，

∵為的中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

①當(dāng)點在點上方時：

過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標(biāo)為2，

設(shè)點橫坐標(biāo)為，

則：，

解得：，

∴或；

②當(dāng)點在點下方時：設(shè)與軸交于點，

則：，

設(shè)，

則：，，

∴，解得：，

∴，

設(shè)的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

聯(lián)立，解得：或，

∴或；

綜上：或或或．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到拋物線的對稱軸和點C，進而根據(jù)題意得到當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，再根據(jù)對稱即可得到，當(dāng)三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，設(shè)直線的解析式為：，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，進而得到點P的坐標(biāo)，再運用兩點間的距離公式結(jié)合題意求出PA和PC即可；

（3）存在，先根結(jié)合已知條件得到，然后分類討論：①當(dāng)點在點上方時：過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標(biāo)為2，設(shè)點橫坐標(biāo)為，進而根據(jù)題意即可求出Q的坐標(biāo)；②當(dāng)點在點下方時：設(shè)與軸交于點，則：，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求出p，進而得到點E的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求直線DE的解析式，進而聯(lián)立直線和拋物線即可求出點Q的坐標(biāo)，最后總結(jié)即可。

11．【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）解：∵拋物線與直線交于兩點，（點在點的右側(cè)）

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

∴，

∵點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

則，，

∴，當(dāng)時，取得最大值為，

∵，

∴當(dāng)取得最大值時，最大，

∴，

∴面積的最大值；

（3）解：∵拋物線與軸交于點，

∴，當(dāng)時，，即，

∵，

∴，

，，

①當(dāng)為對角線時，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中點重合，

∴，

解得：，

∴，

②當(dāng)為邊時，

當(dāng)四邊形為菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中點重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

當(dāng)時；

如圖所示，即四邊形是菱形，

點的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時，的坐標(biāo)，

∴點為或，

綜上所述，點為或或或或．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點的距離公式

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）聯(lián)立拋物線和直線即可得到，進而得到，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，，然后即可表示MN的長，進而根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可求解。

（3）先根據(jù)題意求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式即可得到BC和BM2的長，然后進行分類討論結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解。

12．【答案】（1）解：∵，

∴二次函數(shù)解析式為，

∵該二次函數(shù)的圖象過點，

∴

解得：；

（2）解：①∵，，

∴

∴

∴

∵

∴；

②∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，且，

∴，，

∵．

∴，

∵的半徑長為線段的長度的倍

∴，

∵，

∴，

∴，

即①，

∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，

∴是方程的兩個根，

∴，

∵，，

∴，

即②，

①代入②，即，

即，

整理得，

∴，

解得：（正值舍去）

∴，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∴，

∴．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進而結(jié)合題意即可求解；

②先根據(jù)二次函數(shù)與x的交點即可得到，，進而得到，再根據(jù)題意結(jié)合（1）即可得到①，再根據(jù)一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合題意即可得到，進而得到②，①代入②整理化簡即可得到，進而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合題意即可求解。

13．【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，

∴把代入，得，

解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）解：假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，

∴

∵四邊形是正方形，

∴

∴

∴

又

∴

∴

∵

∴

∴

∴；

同理可證明：

∴

∴

∴；

（3）解：∵

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，

令則，

解得，

∴

∴將拋物線的圖象右平移2個單位后，則有：，對稱軸為直線，即

∴點B在平移后的拋物線的對稱軸上，

∴

∴

設(shè)直線的解析式為，

把代入得，

解得，

∴直線的解析式為，

當(dāng)時，

∴此時

∴

∴

又

∴，

∴

∴

所以，當(dāng)點P與點B重合時，即點P的坐標(biāo)為，則有．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)-動態(tài)幾何問題

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；

（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可；

（3）先求出拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，再求出點B的坐標(biāo)，最后利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)計算求解即可。

14．【答案】（1）解：拋物線與x軸交于點，

得，

解得：；

（2）解：存在，理由如下：

設(shè)與軸交于點，由（1）中結(jié)論，得拋物線的解析式為，

當(dāng)時，，即，

，，即是等腰直角三角形，

，

，

，

設(shè)，過點作軸交于點，作于點，

，即是等腰直角三角形，

設(shè)直線的解析式為，代入，

得，解得，

故直線的解析式為，

將直線向下平移個單位長度，得直線的解析式為，

，

，

當(dāng)時，有最大值，

此時也有最大值，；

（3）解：存在或，理由如下：

當(dāng)點在直線下方時，

在軸上取點，作直線交拋物線于（異于點）點，

由（2）中結(jié)論，得，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得（舍），

故；

當(dāng)點在直線上方時，如圖，在軸上取點，連接，過點作拋物線于點，

，

，

，

，

，

設(shè)直線的解析式為，代入點，

得，解得，

故設(shè)直線的解析式為，

，且過點，

故設(shè)直線的解析式為，

聯(lián)立，解得，（舍），

故，

綜上所述：或

【知識點】三角形全等及其性質(zhì)；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題；二次函數(shù)的其他應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)題意先求出，再求解即可；

（2）先求出是等腰直角三角形，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，最后計算求解即可；

（3）分類討論，結(jié)合函數(shù)圖象，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和待定系數(shù)法求解即可。

15．【答案】（1）解：將代入，得

，

解得：，

∴拋物線解析式為：，

∴對稱軸為

∴當(dāng)時，

∴頂點坐標(biāo)為（-1，-9）；

（2）解：如圖所示，過點作軸于點，交于點，

由，令，

解得：，

∴，

設(shè)直線的解析式為，將點代入得，，

解得：，

∴直線的解析式為，

設(shè)，則，

∴

，

當(dāng)時，的最大值為

∵

∴當(dāng)取得最大值時，面積取得最大值

∴面積的最大值為，

此時，

∴

（3）解：設(shè)、，的中點坐標(biāo)為，

聯(lián)立，消去，整理得：，

∴，

∴，

∴，

∴，

設(shè)點到的距離為，則，

∵、，

∴，

∴

∴，

∴

∴，

∴點總在上，為直徑，且與相切，

∴為直角．

∴無論為何值，平行于軸的直線上總存在一點，使得為直角．

【知識點】二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)的實際應(yīng)用-幾何問題

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，再求點的坐標(biāo)即可；

（2）先求出，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析式為，最后利用三角形的面積公式計算求解即可；

（3）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出，再求出，最后作答即可。

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：一次函數(shù)、二次函數(shù)

一、選擇題

1．（2023·長沙）下列一次函數(shù)中，y隨x的增大而減小的函數(shù)是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知識點】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得y隨x的增大而減小的函數(shù)是，

故答案為：D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)對選項逐一分析即可求解。

2．（2023·邵陽）已知是拋物線（a是常數(shù)，上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）

A．1個B．2個C．3個D．4個

【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

①拋物線的對稱軸是直線，①正確；

②當(dāng)x=0時，y=3，

∴點在拋物線上，②正確；

③當(dāng)a＜0時，y1＜y2，

當(dāng)a＞0時，y1＞y2，③錯誤；

④由題意得，

∴，④錯誤；

故答案為：B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸公式即可判斷①；將x=0代入求出y即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)系數(shù)與開口關(guān)系結(jié)合題意即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性即可判斷④。

3．（2023·株洲）如圖所示，直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，則下列說法正確的是（）

A．b恒大于0B．a(chǎn)，b同號

C．a(chǎn)，b異號D．以上說法都不對

【答案】C

【知識點】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【解答】解：∵直線l為二次函數(shù)的圖像的對稱軸，

∴，

∴，

∴a，b異號，

故答案為：C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合圖像即可得到，進而即可求解。

4．（2023·衡陽）已知，若關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為．則下列結(jié)論正確的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知識點】二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【解答】解：如圖所示：設(shè)直線y=m與拋物線交于A、B兩點，直線y=n與拋物線交于C、D兩點，

∵，關(guān)于x的方程的解為．關(guān)于x的方程的解為，

∴，

故答案為：B.

【分析】先作圖，再結(jié)合題意，比較大小即可。

二、填空題

5．（2023·郴州）在一次函數(shù)中，隨的增大而增大，則的值可以是（任寫一個符合條件的數(shù)即可）．

【答案】3（答案不唯一）

【知識點】一次函數(shù)圖象、性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系

【解析】【解答】解：由題意得k-2＞0，

∴k＞2，

故答案為：3（答案不唯一）

【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出k的取值范圍，進而即可求解。

6．（2023·郴州）拋物線與軸只有一個交點，則．

【答案】9

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題

【解析】【解答】解：∵拋物線與軸只有一個交點，

∴，

∴c=9，

故答案為：9

【分析】根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點問題結(jié)合題意即可求解。

三、綜合題

7．（2023·常德）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標(biāo)原點，．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）求四邊形的面積；

（3）P是拋物線上的一點，且在第一象限內(nèi)，若，求P點的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點．

∴設(shè)二次函數(shù)的表達式為

∵，

∴，即的坐標(biāo)為

則，得

∴二次函數(shù)的表達式為；

（2）解：

∴頂點的坐標(biāo)為

過作于，作于，

四邊形的面積

；

（3）解：如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當(dāng)時，

連接，過作交于，過作于，

∵，則為等腰直角三角形，．

由勾股定理得：，

∵，

∴，

即，

∴

由，得，

∴．

∴是等腰直角三角形

∴

∴的坐標(biāo)為

所以過的直線的解析式為

令

解得，或

所以直線與拋物線的兩個交點為

即所求的坐標(biāo)為

【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題；勾股定理；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c與二次函數(shù)y=a（x-h）^2+k的轉(zhuǎn)化

【解析】【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點即可設(shè)二次函數(shù)的表達式為，進而根據(jù)題意即可求出點C的坐標(biāo)，進而代入即可求解；

（2）先將二次函數(shù)的解析式化為頂點式，進而得到頂點坐標(biāo)，過作于，作于，根據(jù)四邊形的面積即可求解；

（3）當(dāng)時，連接，過作交于，過作于，先根據(jù)勾股定理即可求出CB的長，進而運用銳角三角形函數(shù)的定義即可求出CE的長，再根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)即可得到，進而得到點E的坐標(biāo)，進而得到過的直線的解析式為，再聯(lián)立兩個函數(shù)的解析即可得到交點坐標(biāo)，進而即可求解。

8．（2023·株洲）某花店每天購進支某種花，然后出售．如果當(dāng)天售不完，那么剩下的這種花進行作廢處理、該花店記錄了天該種花的日需求量n（n為正整數(shù)，單位：支），統(tǒng)計如下表：

日需求量n

天數(shù)112411

（1）求該花店在這天中出現(xiàn)該種花作廢處理情形的天數(shù)；

（2）當(dāng)時，日利潤y（單位：元）關(guān)于n的函數(shù)表達式為：；當(dāng)時，日利潤為元．

①當(dāng)時，間該花店這天的利潤為多少元？

②求該花店這天中日利潤為元的日需求量的頻率．

【答案】（1）解：當(dāng)時，該種花需要進行作廢處理，

則該種花作廢處理情形的天數(shù)共有：（天）；

（2）解：①當(dāng)時，日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式為，

當(dāng)時，（元）；

②當(dāng)時，日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式為；

當(dāng)時，日利潤為元，，

當(dāng)時，

解得：，

由表可知的天數(shù)為2天，

則該花店這天中日利潤為元的日需求量的頻率為2．

【知識點】一次函數(shù)的實際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）根據(jù)表格的數(shù)據(jù)結(jié)合題意即可求解；

（2）①當(dāng)時，根據(jù)題意即可得到日利潤y關(guān)于n的函數(shù)表達式，進而將代入即可求解；

②根據(jù)題意得到當(dāng)時，日利潤為元，即將代入求出n，再查詢表格即可求解。

9．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點和點兩點，與y軸交于點．點D為線段上的一動點．

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）如圖1，求周長的最小值；

（3）如圖2，過動點D作交拋物線第一象限部分于點P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點P的坐標(biāo)，并求出此時S的最大值．

【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達式為；

（2）解：作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點D，由對稱性，

此時有最小值為的長，

∵的周長為，

，的最小值為10，

∴的周長的最小值為；

（3）解：由已知點，，，

設(shè)直線的表達式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達式為，

同理可得：直線的表達式為，

∵，

∴設(shè)直線表達式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達式

得：，

∴直線的表達式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時，此時P點為.

．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達式為，進而代入即可求解；

（2）作點O關(guān)于直線的對稱點E，連接，進而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點E的坐標(biāo)，連接，交于點D，由對稱性，此時有最小值為的長，進而跟進勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達式，同理可得：直線的表達式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設(shè)直線表達式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達式即可得到，進而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解。

10．（2023·郴州）已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的值；

（3）如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）解：∵拋物線與軸相交于點，，

∴，解得：，

∴；

（2）解：∵，當(dāng)時，，

∴，拋物線的對稱軸為直線

∵的周長等于，為定長，

∴當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，

∵關(guān)于對稱軸對稱，

∴，當(dāng)三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，

設(shè)直線的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

當(dāng)時，，

∴，

∵，

∴，，

∴；

（3）解：存在，

∵為的中點，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，，

∵，

∴，

①當(dāng)點在點上方時：

過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標(biāo)為2，

設(shè)點橫坐標(biāo)為，

則：，

解得：，

∴或；

②當(dāng)點在點下方時：設(shè)與軸交于點，

則：，

設(shè)，

則：，，

∴，解得：，

∴，

設(shè)的解析式為：，

則：，解得：，

∴，

聯(lián)立，解得：或，

∴或；

綜上：或或或．

【知識點】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可求解；

（2）先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到拋物線的對稱軸和點C，進而根據(jù)題意得到當(dāng)?shù)闹底钚r，的周長最小，再根據(jù)對稱即可得到，當(dāng)三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，設(shè)直線的解析式為：，運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，進而得到點P的坐標(biāo)，再運用兩點間的距離公式結(jié)合題意求出PA和PC即可；

（3）存在，先根結(jié)合已知條件得到，然后分類討論：①當(dāng)點在點上方時：過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標(biāo)為2，設(shè)點橫坐標(biāo)為，進而根據(jù)題意即可求出Q的坐標(biāo)；②當(dāng)點在點下方時：設(shè)與軸交于點，則：，設(shè)，根據(jù)勾股定理即可求出p，進而得到點E的坐標(biāo)，再運用待定系數(shù)法求直線DE的解析式，進而聯(lián)立直線和拋物線即可求出點Q的坐標(biāo)，最后總結(jié)即可。

11．（2023·邵陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過點和點，且與直線交于兩點（點在點的右側(cè)），點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

（1）求拋物線的解析式．

（2）過點作軸的垂線，與拋物線交于點．若，求面積的最大值．

（3）拋物線與軸交于點，點為平面直角坐標(biāo)系上一點，若以為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．

【答案】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點和點，

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為：；

（2）解：∵拋物線與直線交于兩點，（點在點的右側(cè)）

聯(lián)立，

解得：或，

∴，

∴，

∵點為直線上的一動點，設(shè)點的橫坐標(biāo)為．

則，，

∴，當(dāng)時，取得最大值為，

∵，

∴當(dāng)取得最大值時，最大，

∴，

∴面積的最大值；

（3）解：∵拋物線與軸交于點，

∴，當(dāng)時，，即，

∵，

∴，

，，

①當(dāng)為對角線時，，

∴，

解得：，

∴，

∵的中點重合，

∴，

解得：，

∴，

②當(dāng)為邊時，

當(dāng)四邊形為菱形，

∴，

解得：或，

∴或，

∴或，

由的中點重合，

∴或，

解得：或，

∴或，

當(dāng)時；

如圖所示，即四邊形是菱形，

點的坐標(biāo)即為四邊形為菱形時，的坐標(biāo)，

∴點為或，

綜上所述，點為或或或或．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點的距離公式

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）聯(lián)立拋物線和直線即可得到，進而得到，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，則，，然后即可表示MN的長，進而根據(jù)三角形的面積結(jié)合題意即可求解。

（3）先根據(jù)題意求出點C的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點間的距離公式即可得到BC和BM2的長，然后進行分類討論結(jié)合菱形的性質(zhì)即可求解。

12．（2023·株洲）已知二次函數(shù)．

（1）若，且該二次函數(shù)的圖象過點，求的值；

（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，且，點D在上且在第二象限內(nèi)，點在軸正半軸上，連接，且線段交軸正半軸于點，．

①求證：．

②當(dāng)點在線段上，且．的半徑長為線段的長度的倍，若，求的值．

【答案】（1）解：∵，

∴二次函數(shù)解析式為，

∵該二次函數(shù)的圖象過點，

∴

解得：；

（2）解：①∵，，

∴

∴

∴

∵

∴；

②∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，且，

∴，，

∵．

∴，

∵的半徑長為線段的長度的倍

∴，

∵，

∴，

∴，

即①，

∵該二次函數(shù)的圖象與軸交于點，

∴是方程的兩個根，

∴，

∵，，

∴，

即②，

①代入②，即，

即，

整理得，

∴，

解得：（正值舍去）

∴，

∴拋物線的對稱軸為直線，

∴，

∴．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題；相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與一元二次方程的綜合應(yīng)用

【解析】【分析】（1）運用待定系數(shù)法求二次函數(shù)即可得到解析式；

（2）①先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)證明，進而結(jié)合題意即可求解；

②先根據(jù)二次函數(shù)與x的交點即可得到，，進而得到，再根據(jù)題意結(jié)合（1）即可得到①，再根據(jù)一元二次方程根的關(guān)系結(jié)合題意即可得到，進而得到②，①代入②整理化簡即可得到，進而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸結(jié)合題意即可求解。

13．（2023·岳陽）已知拋物線與軸交于兩點，交軸于點．

（1）請求出拋物線的表達式．

（2）如圖1，在軸上有一點，點在拋物線上，點為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在點使得四邊形為正方形？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線，拋物線的頂點為，與軸正半軸交于點，拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）解：∵拋物線與軸交于兩點，交軸于點，

∴把代入，得，

解得，

∴拋物線的解析式為：；

（2）解：假設(shè)存在這樣的正方形，如圖，過點E作于點R，過點F作軸于點I，

∴

∵四邊形是正方形，

∴

∴

∴

又

∴

∴

∵

∴

∴

∴；

同理可證明：

∴

∴

∴；

（3）解：∵

∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，

令則，

解得，

∴

∴將拋物線的圖象右平移2個單位后，則有：，對稱軸為直線，即

∴點B在平移后的拋物線的對稱軸上，

∴

∴

設(shè)直線的解析式為，

把代入得，

解得，

∴直線的解析式為，

當(dāng)時，

∴此時

∴

∴

又

∴，

∴

∴

所以，當(dāng)點P與點B重合時，即點P的坐標(biāo)為，則有．

【知識點】待定系數(shù)法求二次函