高中物理奧賽《光學(xué)》資料匯編

高中物理競賽《光學(xué)》部分

1.1幾何光學(xué)基礎(chǔ)

1.3光的折射

1.4.光在球面上的反射與折射

1.5.透鏡成像

2.1光的波動(dòng)性

2.2.光的量子性

高中物理競賽《光學(xué)》

第一講幾何光學(xué)

§1.1幾何光學(xué)基礎(chǔ)

1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。

2、光的獨(dú)立傳播：幾束光在交錯(cuò)時(shí)互不妨礙，仍按原來各自的方向傳播。

3、光的反射定律：

①反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；

②反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；

③反射角等于入射角。

4、光的折射定律：

①折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；

②折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；

③入射角％與折射角,2滿足/sinix=n2sini2.

④當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角C時(shí)，將發(fā)生全

面反射現(xiàn)象（折射率為勺的光密介質(zhì)對折射率為〃2的光疏介質(zhì)的臨界角

.C〃2

sine=—

)0

§1.2光的反射

1.2.1、組合平面鏡成像:

1.組合平面鏡由兩個(gè)以上的平面鏡組成

的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡

的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因

而會(huì)出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡單的

圖l-2-l

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現(xiàn)象，兩面互相垂直的平面鏡（交于〃點(diǎn)）鏡間放一點(diǎn)光源S（圖1-2-1）,S

發(fā)出的光線經(jīng)過兩個(gè)平面鏡反射后形成了5、§2、S3三個(gè)虛像。用幾何的方

法不難證明：這三個(gè)虛像都位于以。為圓心、〃S為半徑的圓上，而且S和號、

S和S2、S|和S3、$2和S3之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著

對稱關(guān)系。用這個(gè)方法我們可以容易地確

定較復(fù)雜的情況中復(fù)像的個(gè)數(shù)和位置。一一'

兩面平面鏡A0和B0成60。角放置（圖

1-2-2）,用上述規(guī)律，很容易確定像的位置:

①以。為圓心、為半徑作圓；②過S做/0

和陽的垂線與圓交于耳和$2；③過，和冬作S3

圖1-2-2

8〃和加的垂線與圓交于和S,；④過S3和

$4作加和8〃的垂線與圓交于$5,S|~Ss便是S在兩平面鏡中的5個(gè)像。

雙鏡面反射。如圖1-2-3,兩鏡面間夾角。=15

,04=10cm,A點(diǎn)發(fā)出的垂直于心的光線射向。后

圖1-2-3

在兩鏡間反復(fù)反射，直到光線平行于某一鏡面射

出，則從1點(diǎn)開始到最后一次反射點(diǎn)，光線所走的路程是多少?

如圖1-2-4所示，光線經(jīng)4第一次反射的反射

線為BC,根據(jù)平面反射的對稱性，BC'=BC,且/

C1.

BOC'=a。上述4，民均在同一直線上，因此

光線在4、人之間的反復(fù)反射就跟光線沿A6C'直ACL2

線傳播等效。設(shè)N'是光線第〃次反射的入射點(diǎn)，且

圖1-2-4

該次反射線不再射到另一個(gè)鏡面上，則〃值應(yīng)滿足

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90°/

的關(guān)系是〃"90°4（〃+1）。，ao取n=5,NN'O4=75°,總路程

AN'=OAtg5cx=37.3cm

2、全反射

全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2,當(dāng)入

射角大于臨界角a=sin-'/時(shí)，光線發(fā)生全反射。

全反射現(xiàn)象有重要的實(shí)用意義,如現(xiàn)代通訊的

重要組成部分——光導(dǎo)纖維，就是利用光的全反射圖1-2-5

現(xiàn)象。圖-2-5是光導(dǎo)纖維的示意圖。AB為其端面，纖維內(nèi)芯材料的折射率

々=L3,外層材料的折射率〃2=12,試問入射角在什么范圍內(nèi)才能確保光在光

導(dǎo)纖維內(nèi)傳播?

圖上2-5中的r表示光第一次折射的折射角，B表示光第二次的入射角，只

要6大于臨界角，光在內(nèi)外兩種材料的界面上發(fā)生全反射，光即可一直保持在纖

維內(nèi)芯里傳播。

{3=sin-1幾2i

=sin'；=sin'百=67.4"==]_夕=90°-67.4"=226'

sinz/sinr=1.3/1

只要sini<0,50,i<30"即可。---------------立_

例1、如圖1-2-6所示，48表示一平直的平MabN

面鏡，片鳥是水平放置的米尺（有刻度的一面朝A、、、_______________

著平面鏡），/網(wǎng)是屏，三者相互平行，屏助V上的圖1-2-6

a力表示一條豎直的縫（即a6之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔S（其

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位置如圖所示)，可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板

作圖求出可看到的部位，并在打「2上把這部分涂以標(biāo)志。

分析：本題考查平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺

刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線進(jìn)入人

的眼睛，人才會(huì)看到米尺刻度的像。可以通過兩種方法來解這個(gè)問題。

解法一：相對于平面鏡AB作出人眼S的像5'。連接Sa并延長交平面鏡于

點(diǎn)C,連接S'與點(diǎn)C并延長交米尺片舄于點(diǎn)E,點(diǎn)E就是人眼看到的米尺刻度的

最左端；連接并延長交米尺4P2于點(diǎn)F,且與平面鏡交于D,連接S與

點(diǎn)D,則點(diǎn)F就是人眼看到的米尺刻度的最右端。E與F之間的米尺刻度就是人

眼可看到部分，如圖12-7所示。

解法二：根據(jù)平面鏡成像的對

稱性，作米尺4P2及屏助V的像，

，/

分別是片p2及MN,a、6的像分

別為晨/，如圖1-2-8所示。連接

/，

Sa交48于點(diǎn)C,延長并交片02于

點(diǎn)、E',過點(diǎn)￡作6P2(力㈤的垂線,

交于點(diǎn)反此點(diǎn)就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接助'交14于點(diǎn)〃延長

并交與鳥于點(diǎn)尸，過點(diǎn)F'作尸班(AB)的垂線尸上交于點(diǎn)E點(diǎn)夕就是人眼看

到的米尺刻度的最右端。跖部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。

點(diǎn)評：平面鏡成像的特點(diǎn)是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的問題中,

利用這一特點(diǎn)常能使問題得以簡潔明晰的解決。

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例2、兩個(gè)平面

鏡之間的夾角為45

°、60°、120°o而物

體總是放在平面鏡

的角等分線上。試分

別求出像的個(gè)數(shù)。

分析：由第一面

鏡生成的像，構(gòu)成第

二面鏡的物，這個(gè)物

(d)

由第二面鏡所成的圖1-2-9

像，又成為第一面鏡

的物，如此反復(fù)下去以至無窮。在特定條件下經(jīng)過有限次循環(huán)，兩鏡所成像重合,

像的數(shù)目不再增多，就有確定的像的個(gè)數(shù)。

解:設(shè)兩平面鏡/和8的夾角為2，，物產(chǎn)處在他們的角等分線上，如圖『2-9

(a)所示。以兩鏡交線經(jīng)過的。點(diǎn)為圓心，8為半徑作一輔助圓，所有像點(diǎn)都

在此圓周上。由平面鏡/成的像用幾八…表示，由平面鏡8成的像用鳥，鳥…表

示。由圖不難得出：

幾03…在圓弧上的角位置為

(2%+1)仇尸2，巴…在圓弧上的角位置為

2——(2k-1)?！?/p>

其中4的取值為k=l,2,…

若經(jīng)過4次反射，力成的像與8成的像重合,

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則(24+1)6=2"一(2左一1)。

即k~20

71

26=45°

當(dāng)4時(shí),k=4,有7個(gè)像，如圖1-2-9

(a)所示；

20=60"=—

當(dāng)3時(shí)，k=3,有5個(gè)像，如圖

1-2-9(b)所示；

w-izu=—

當(dāng)3時(shí)，k=1.5,不是整數(shù)，從

圖1-2-10(d)可直接看出，物產(chǎn)經(jīng)鏡A成的像

在鏡8面上，經(jīng)鏡8成的像則在鏡/面上，所以

有兩個(gè)像。

圖1-2-11

例3、要在一張照片上同時(shí)拍攝物體正面和

幾個(gè)不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個(gè)直立的大平面鏡和使物體

和它對兩個(gè)平面鏡所成的像都攝入照像機(jī)，如圖1-2T1所示。圖中帶箭頭的圓

圈。代表一個(gè)人的頭部(其尺寸遠(yuǎn)小于冗的長度)，白色半圓代表人的臉部，此

人正面對著照相機(jī)的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽

子，圖1-2T1為俯視圖，若兩平面鏡的夾角NA0B=72。，設(shè)人頭的中心恰好位于

角平分線"1上，且照相機(jī)到人的距離遠(yuǎn)大于到平面鏡的距離。

1、試在圖1-2-11中標(biāo)出P的所有像的方位示意圖。

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上得到的所有的像（分別用空白和斜線表示臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽

子）。

本題只要求畫出示意圖，但須力求準(zhǔn)確。

解：本題的答案如圖1-2-13所示。

例4、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖1-2T4所示。棱鏡用玻

璃制成，BC、切兩平面高度拋光，AB、，'兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：經(jīng)

灰面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經(jīng)歷兩

次反射（在13與龍面上），與之相應(yīng)的由切面出射

的光線，必與入射光線垂直。：卜巴金

解：如圖1-2-15所示，以，表示入射角，i表

圖1-2-14

示反射角，r表示折射角，次序則以下標(biāo)注明。光線

自透明表面的a點(diǎn)入射，在棱鏡內(nèi)反射兩次，由⑦面的（9點(diǎn)出射?？梢钥吹贸?

在鹿面的6點(diǎn)；

入射角為，2=八+22.5。

反射角為2z2=fj+22.5

在四邊形姐）。中,

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p

a=90"-i2=90--22.50=67.5"-八

0=360°-2x112.5°-a=135°—（67.5"-rj

=67.5"+八

i3=90。一萬=22.5"-八

在.l\cdb中

Ncdb=180°—（1+z：）-&+'，）

一2（0+22.5°）-2（22.5°一外）=90

圖1-2-15

這就證明了：進(jìn)入棱鏡內(nèi)的第一條光線

ab總是與第三條光線ce互相垂直。

由于棱鏡的。角是直角，A=360°-270°-Ndec=90°-Ndec=k設(shè)棱鏡的折射

率為〃，根據(jù)折射定律有

sin/j=nsinrxsinr4=nsini.

.?F=，4,?.?G=%總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角i的大小無關(guān)。只

要光路符合上面的要求，由灰面的法線與切面的法線垂直，又有匕=。，」?出射

光線總是與入射光線垂直，或者說，光線經(jīng)過這種棱鏡，有恒點(diǎn)的偏轉(zhuǎn)角——90

例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2T6所示的形狀，//^\\

一束平行光垂直地射入平表面A上。試確定通過表面力進(jìn)入的光d

<->

全部從表面6射出的叱的最小值。已知玻璃的折射為1.5。皿\B

分析：如圖1-2-17所示，從力外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界圖廠2.16

面上的入射角較從A內(nèi)側(cè)入射的光線入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在外側(cè)圓界面

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上的入射角a最小。如果最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好發(fā)生全反射，并且反射光線又剛

好與內(nèi)側(cè)圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，而且在后續(xù)過程中

都能夠發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進(jìn)行分析，使

其滿足相應(yīng)條件即可。

解：當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角a大于或等于反射臨界角時(shí)，入

射光線可全部從8表面射出而沒有光線從其他地方透出。

sin?>—

即要求n

圖1-2-17

,R

sina=-------

而R+d

_A_>1

所以R+dn

A>_L

即dn-\

-1-1-2

故【d人in〃一11.5-1

點(diǎn)評對全反射問題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是基礎(chǔ)，而具體分析臨界條件

即''邊界光線”的表現(xiàn)是解決此類問題的關(guān)鍵。

例7.普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯A

和包層6組成，6的折射率小于4的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由

一端面射入的光在很長的光纖中傳播時(shí)，在纖芯4和包層6的分界面上發(fā)生多次

全反射?，F(xiàn)在利用普通光纖測量流體廠的折射率。實(shí)驗(yàn)方法如下：讓光纖的一端

（出射端）浸在流體尸中。令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會(huì)聚

在光纖入射端面的中心以經(jīng)端面折射

圖1-2-18

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進(jìn)入光纖，在光纖中傳播。由于〃點(diǎn)出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸

的夾角為“。，如圖1-2T8所示。最后光從另一端面出射進(jìn)入流體用在距出射

端面々處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏〃在〃上出現(xiàn)一圓形光斑，測出其直

徑為4,然后移動(dòng)光屏。至距光纖出射端面外處，再測出圓形光斑的直徑乙，

如圖1-2-19所示。

(1)若已知力和8的折射率分別為心與〃八求被測流體廠的折射率g的

表達(dá)式。

(2)若〃A、心和。。均為未知量，如何通過進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn)以測出〃F的值？

分析光線在光纖中傳播時(shí)，只有在纖芯/與包層8的分界面上發(fā)生全反射

夾角為a的光線，射至/、8分界面的入射角

為i,反射角也為i,該光線在光纖中多次反射時(shí)的入射角均為i,射至出射端

面時(shí)的入射角為a。若該光線折射后的折射角為風(fēng)則由幾何關(guān)系和折射定可得

i+a=90°①

nAsintz=nFsin^②

當(dāng)z.大于全反射臨界角％時(shí)將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以

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不變的光強(qiáng)射向出射端面。而，＜ic的光線則因在發(fā)生反射時(shí)有部分光線通過折

射進(jìn)入8,反射光強(qiáng)隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達(dá)出射端面之

前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的］.的數(shù)值一定大于或等于"

仆的值由下式?jīng)Q定：

nAsin以=〃Br(N

③一3巴三子廣…三三4.

與‘C對應(yīng)的a值為

圖1-2-20

ac=90。-ic

④

%sin。。＞6；一溫時(shí),由。發(fā)出的光束中，只有“4冊的光線才滿足的條

件下，才能射向端面，此時(shí)出射端面處a的最大值為

a

?max=c=90°-ic⑤

若“o＜4,即〃入sina?！床《罆r(shí)，則由0發(fā)出的光線都能滿足’＞電的

條件，因而都能射向端面，此時(shí)出射端面處a的最大值為

々max=aQ⑥

端面處入射角a最大時(shí)，折射角J也達(dá)最大值，設(shè)為夕由②式可知

〃FSinSmax=〃廝%⑦

由⑥、⑦式可得，當(dāng)他＜與時(shí)，

_nsina

〃F—A0

Sin%⑧

由③至⑦式可得，當(dāng)？外時(shí),

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n.cosi加一"；

n,.=--c-----=----------

sin%*sin6111ax

⑨

4g的數(shù)值可由圖1-2-21上的兒何

關(guān)系求得為

d2—d\

Sin/ax=k=,2

加@-4)/2]2+他-砧2

⑩

于是〃F的表達(dá)式應(yīng)為

=nAsinaJ出；4)+(為-h,)2/@”).@<%)

(11)

J(號3+(…y

〃/=J〃：一〃:-----(([—d)--------------(M2)

2(12)

(2)可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測量,

可測得%、4、%,這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同。已知空

氣的折射率等于1，故有

當(dāng)《<occ時(shí),

4)/21+出_的2

1=nAsin/

(4-4')/2(13)

當(dāng)%2%時(shí)

"4-4)/21+出一的2

1=7^4-??

(匕-4')/2(14)

將(11)(12)兩式分別與(13)(14)相除，均得

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\2

+(—4)

2)

〃F

d「d4（乙-4）/21+（其一的2

(15)

此結(jié)果適用于％為任何值的情況。

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§1.3光的折射

1.3.1、多層介質(zhì)折射

如圖：多層介質(zhì)折射率分別為〃"%，%…則由折射

定律得：

"Isinil=n2sinz2=…=&sinik

1.3.2、平面折射的視深

圖1-3-1

在水中深度為力處有一發(fā)光點(diǎn)0，作制垂直于水面,

求射出水面折射線的延長線與。。交點(diǎn)2'的深度/?'與入射角i的關(guān)系。

4

n=—,

設(shè)水相對于空氣的折射率為3,由折射定律得nsini=smi

令0M=x,則

x=dtgi=d'?tgi'

,,,tgidj]_("sini)2

a=d---；=-------------

于是tgincosi

上式表明，由0發(fā)出的不同光線，折射后的延長

線不再交于同一點(diǎn)，但對于那些接近法線方向的光

線，i=0,則sin?”。，cosi=l于是

,,d

a=—

n

圖1-3-2

這時(shí)d'與入射角/無關(guān)，即折射線的延長線近

似地交于同一點(diǎn)Q’,其深度是原光點(diǎn)深度的7一々。

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如圖1-3-3所示，助V反射率較低的一個(gè)表面，溝是背面鍍層反射率很高的

另一個(gè)表面,通常照鏡子靠

鍍銀層反射成像，在一定條

件下能夠看到四個(gè)反射像,

其中一個(gè)亮度很底。若人離

鏡距離/,玻璃折射率n,

玻璃厚度d，求兩個(gè)像間的距離。

圖中S為物點(diǎn)，S'是經(jīng)助V反射的像,若51況,S3依次表示脈面折射,pQ

面反射和，版面再折射成像，由視深公式得

0,5,=nO,S,02s2=。2§|=。田+d,。凡

_。。+02s2_d+nl+d2d

。自=-----------=---------=1+一

nnn

o.s.-o,sr=—

故兩像間距離為?

1.3.3、棱鏡的折射與色散

入射光線經(jīng)棱鏡折射后改變了方向，出

射光線與入射光線之間的夾角稱為偏向

角，由圖1-3-4的幾何關(guān)系知

d=(iA-z2)+(?f-Z2)

圖1-34

=Z|+匕—oc

其中sin/]=/isinz2sini；="sini；

①當(dāng)%,a很小時(shí)，/也，叫=h即

6=(77-7)a

圖135

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厚度不計(jì)頂角a很小的三棱鏡稱之為光楔，對近軸光線而言，6與入射角大小無

關(guān)，各成像光線經(jīng)光楔后都偏折同樣的角度6,所以作光楔折射成像光路圖時(shí)可

畫成一使光線產(chǎn)生偏折角的薄平板，圖13-5。設(shè)物點(diǎn)S離光楔L則像點(diǎn)S'在S

的正上方。

h=lo=(n-l)al諄6=什1)a]o

②當(dāng)棱鏡中折射光線相對于頂角a對稱成等腰三角形時(shí)，L=i',‘2=4。

..ct

sinz,=sini.=nsin—

112

3=2arcsin(〃sin^)—a

圖1-3-7

此式可用來測棱鏡的折射率。

由于同一種介質(zhì)對不同色光有不同的折射率，各種色光的偏折角不同，所以

白光經(jīng)過棱鏡折射后產(chǎn)生色散現(xiàn)象。虹和霓是太陽被大氣中的小水滴折射和反射

形成的色散現(xiàn)象。陽光在水滴上經(jīng)兩次折射和一次反射如圖13-6。形成內(nèi)紫外

紅的虹；陽光經(jīng)小滴兩次折射和兩次反射如圖1-3-7,形成內(nèi)紅外紫的霓。由于

霓經(jīng)過一次反射，因此光線較弱，不容易看到。

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1.3.4、費(fèi)馬原理

費(fèi)馬原理指出，光在指定的兩點(diǎn)之間傳播，實(shí)際的光程總是為最大或保持恒

定，這里的光程是指光在某種均勻介質(zhì)中通過的路程和該種媒質(zhì)的折射率的乘

積。

費(fèi)馬原理是幾何光學(xué)中的一個(gè)十分重要的基本原理，從費(fèi)馬原理可以推導(dǎo)出

幾何光學(xué)中的很多重要規(guī)律。例如光的直線傳播、反射定律，折射定律，都可以

從光程極小推出。如果反射面是一個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球面，而點(diǎn)光源置于其一個(gè)焦點(diǎn)上，

所有反射光線都經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，所有反射光線都經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn)，便是光程恒

定的一個(gè)例子。止匕外，透鏡對光線的折射作用，也是很典型的。

一平凸透鏡的折射率為〃，放置在空氣中，透鏡面孔的半徑為凡在透鏡外

主光軸上取一點(diǎn)尸'，°F'=『（圖1-3-8）。當(dāng)平行光沿主光軸入射時(shí)，為使所

有光線均會(huì)聚于尸'點(diǎn)。試問：（1）透鏡凸面應(yīng)取什么形狀？（2）透鏡頂點(diǎn)/與

（1）取。一盯坐標(biāo)系如圖，由光線8尸和NMF，的

等光程性，得

nx+^f/-xY+y2=ylf，2+R2

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整理后，得到任一點(diǎn)y)的坐標(biāo)x,y應(yīng)滿足的方程為

z/----，--------------\2

2(nJf2+R2-f'}

(/—I)X-7J~y2

n--1n2-1

7

_n4f，2+R2-f〃/'-/'、爐

XA-~a--------------------

令/_I,“2_],則上式成為

2221

(n-l)(x-x0)-y-a

這是雙曲線的方程，由旋轉(zhuǎn)對稱性，透鏡的凸面應(yīng)是旋轉(zhuǎn)雙曲面。

(2)透鏡頂點(diǎn)力的位置應(yīng)滿足

2

(“2-1)(^4-x0)=a~

尸+廢

aJ

X=x

Ao__I7-

或者Vn2-1n-\

可見,對于一定的〃和/，司由斤決定。

(3)因點(diǎn)尸在透鏡外，即4"廣，這是對R的限制條件，有

、尸+/一/，

n-\

即要求

討論在極限情形，即R&后F時(shí),有如下結(jié)果:

XA-：-J

n-\

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即點(diǎn)A與點(diǎn)尸重合。又因

a=0

故透鏡凸面的雙曲線方程變?yōu)?/p>

(n2-l)(x-D2-/=0

圖1-3-9

即y=±J"2

雙曲線退化成過點(diǎn)尸的兩條直線，即這時(shí)透鏡的凸面變成以V為頂點(diǎn)的圓錐面,

如圖1-3-9所示。考慮任意一條入射光線4V,由折射定律有〃sin?=sin。,，由兒

何關(guān)系

sin6=cose=1

47^

.幻nf'[

sin0t=—.==1q兀

故

即所有入射的平行光線折射后均沿圓錐面到達(dá)點(diǎn)尸，此時(shí)的角&就是全反射的臨

與WV平面成45"的平行光束射到玻璃磚的半圓柱面上,

圖1-3-10

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經(jīng)玻璃折射后，有部分光能從㈱平面上射出。求能從"V平面射出的光束的寬度

為多少？

分析：如圖1-3-11所示。進(jìn)入玻璃中的光線①垂直半球面，沿半徑方向直

達(dá)球心，且入射角等于臨界角，恰好在。點(diǎn)發(fā)生全反射，光線①左側(cè)的光線經(jīng)球

面折射后，射在WV上的入射角都大于臨界角，在助V上發(fā)生全反射，不能從物V

射出，光線①右側(cè)一直到與球面正好相切的光線③范圍上的光線經(jīng)光球面折射

后，在物V面上的入射角均小于臨界角，都能從助V面上射出，它們在,加上的出

射寬度即是所要求的。

解：圖1-3-11中,8〃為沿半徑方向入射的光線，\

在。點(diǎn)正好發(fā)生全反射，入射光線③在。點(diǎn)與球面相

切，此時(shí)入射角，=90。，折射角為r,則有

sinz=nsinr

圖1-3-11

sinr=---

n2

〃=45°

這表示在。點(diǎn)折射的光線將垂直助V射出，與MV相交

于￡點(diǎn)。助V面上您'即是出射光的寬度。

OE=Rsinr=--R

2圖1-3-12

討論如果平行光束是以45°角從空氣射到半圓柱

的平面表面上，如圖1-3T2所示，此時(shí)從半圓柱面上出射的光束范圍是多大?

/-sinY——

參見圖1-3-13所示，由折身定律sin45。=j2sinr,得2,r=30°,即所

有折射光線與垂直線的夾角均為30°?？紤]在￡點(diǎn)發(fā)生折射的折射光線物，如

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果此光線剛好在/點(diǎn)發(fā)生全反射，則有

nsinZ.EAO=sin90",而〃=痣，即有NEAO=45",因

用與陽平行，所以NEAO=408=45。，所以

圖1-3-13

9=180。-45。-60。=75。，即射向A點(diǎn)左邊MA區(qū)域的折射

光（9<45。）因在半圓柱面上的入射角均大于45°的臨界角而發(fā)生全反射不能

從半圓柱面上射出，而/點(diǎn)右邊的光線（。>45。）則由小于臨界角而能射出，隨

著小角的增大，當(dāng)NR?O=45。時(shí)，將在。點(diǎn)再一次達(dá)到臨界角而發(fā)生全反射，

此時(shí)NFOC=15°故知能夠從半圓柱球面上出射的光束范圍限制在AC區(qū)域上，

對應(yīng)的角度為75°<9<165。。

點(diǎn)評正確作出光路圖并抓住對邊界光線的分析是解答問題的兩個(gè)重要方

向，要予以足夠重視。

例2、給定一厚度為d的平行平板，其折射率按下式變化

〃(%)=

一束光在。點(diǎn)由空氣垂直入射平板，并在A點(diǎn)以角a出|0.

射（圖1-3-14）0求A點(diǎn)的折射率n”并確定A點(diǎn)的位置及圖13-14

平板厚度。（設(shè)〃o=L2/=13c"z,a=3（r）。

解：首先考慮光的路線（圖1-3-15）0對于經(jīng)過一系列不同折射率的平行平

板的透射光，可以應(yīng)用斯涅耳定律

sin/?2nsin/?3n2

更簡單的形式是

幾］sin=n2sin瓦=n3sin/?3=???

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這個(gè)公式對任意薄層都是成立的。在我們的情形里，折射率只沿X軸變化,

在平板內(nèi)任一點(diǎn)有圖1-3-16

qsin四=〃。

〃，與x的關(guān)系已知，因此沿平板中的光束為

r-x

sinA=—=1--

nxr

圖(1-3-16)表明光束的路徑是-一個(gè)半徑為力”的圓，從而有

現(xiàn)在我們已知道光的路徑，就有可能找到問題的解答。按折射定律，當(dāng)光在

/點(diǎn)射出時(shí)，有

sinasina

Yl----------------------------=--------------

*sin(90°—/A)cos0A

因?yàn)閚故有

Asin^=nOj

于是

sina

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在本題情形=1.3

得出/點(diǎn)的x坐標(biāo)為x=lcm0

光線的軌跡方程為

y2+(1+x)2=

代入x=lcm,得到平板厚度為y=d=5cm

A)--1

例3、圖1-3-17表示一?個(gè)盛有折射率為〃的液體的槽，:蘭-蘭-三二/三；-二-三

槽的中部扣著一個(gè)對稱屋脊形的薄壁透明罩D,8,頂角至三^

為28,罩內(nèi)為空氣，整個(gè)罩子浸沒在液體中，槽底46的

中點(diǎn)處有一個(gè)亮點(diǎn)G請求出：位于液面上方圖標(biāo)平面內(nèi)的

圖1-3-17

眼睛從側(cè)面觀察可看到亮點(diǎn)的條件。

解：本題可用圖示平面內(nèi)的光線進(jìn)行分析，并只討論從右側(cè)觀察的情形。

如圖1-3T8所示，由亮點(diǎn)發(fā)出的任一光線"將經(jīng)過兩次折射而從液面射出。由

折射定律，按圖上標(biāo)記的各相關(guān)角度有5--Mm

sina="sin，

sin卜=—sin6

n

圖1-3-18

S<7t12

勿〈萬/2(/?+e)

如果液內(nèi)光線入射到液面上時(shí)發(fā)生全反射，就沒有從液面射出的折射光線。

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全反射臨界角Y。應(yīng)滿足條件

sinr=1/〃

可見光線。經(jīng)折射后能從液面射出從而可被觀察到的條件為

/</（4）

或siny=l/〃（5）

現(xiàn)在計(jì)算sin7,利用（3）式可得

sin7=cos（夕+,）=cos0cos夕一sinsin（p

由（1）式可得

由此

〃sin/=coseJn2-sin2a-nsinasin(p

又由(1)式

zzsin/=cos8Jn2-sin2a-nsinasincp(g)

由圖及(1)、(2)式，或由(6)式均可看出，a越大則y越小。因此，如

果與a值最大的光線相應(yīng)的r設(shè)為乙>九，則任何光線都不能射出液面。反之,

只要九<九，這部分光線就能射出液面，從液面上方可以觀察到亮點(diǎn)。由此極

端情況即可求出本題要求的條件。

自。點(diǎn)發(fā)出的a值最大的光線是極靠近切的光線，它被龍面折射后進(jìn)入液

體，由(6)式可知與之相應(yīng)的％"；

a=n!2.-(p

22

“sinym=cos(jpyJn-cos(p-cos/sin(p<1

能觀察到亮點(diǎn)的條件為

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nsinym<1

即cos夕J/-cos2cp-cos^sin^<1

上式可寫成

cos(pyjn2-cos2(p<1+cosQsine

取平方

cos2(p(n2-cos2(p)<1+2cos^?sin(p4-cos2夕(1-cos2cp)

化簡后得

(n2-cos2(p)<l+2cos^sin^=cos2夕+sin29+2cos8sin夕

故(/J-l)cos2(p<(cos夕+sin夕T

平方并化簡可得

tanQAJ"?-1-1

這就是在液面上方從側(cè)面適當(dāng)?shù)姆较蚰芸吹搅咙c(diǎn)時(shí)〃與。之間應(yīng)滿足條件。

例4、如圖1-3T9所示，兩個(gè)頂角分別為四=60'和%=30°的棱鏡膠合在

一起（AC=90。）。折射率由下式給出:

仇b

%=%+才.2

%=。2+9

其中

圖1-3-19

%=1.1;/7)=105w??2

=42

cx2=1.3;%5xl0n/n

1、確定使得從任何方向入射的光線在經(jīng)過4。面時(shí)不發(fā)生折射的波長4。確

定此情形的折射率〃?和〃2。

2、畫出入射角相同的、波長為4纖、”。和兒:的三種不同光線的路徑。

3、確定組合棱鏡的最小偏向角。

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4、計(jì)算平行于加入射且在離開組合棱鏡時(shí)仍平行于加的光線的波長。

解：1、如果％=〃2,則從不同方向到達(dá)/C面的

波長為4的光線就不折射，即

b.b2

圖1-3-20

因而

在此情形下為=〃2=L5。

2、對波長比%長的紅光，〃?和〃2均小于1.5o反之，對波長比4短的藍(lán)光,

兩個(gè)折射率均比L5要大。現(xiàn)在研究折射率在/C面上如何變化。我們已知道,

對波長為4的光，％1=1。

如果考慮波長為力紅而不是乙的光，則由于仇>%,所以〃2/%>1。同理，

對藍(lán)光有〃2/%<1?，F(xiàn)在我們就能畫出光線穿過組合棱鏡的路徑了（圖1-3-20）o

3、對波長為友的光，組合棱鏡可看作頂角為30。、折射率為〃=j.5的單一

棱鏡。

我們知道，最小偏向在對稱折射時(shí)發(fā)生，即在圖1_3~21中15°

的a角相等時(shí)發(fā)生。

根據(jù)折射定律，/|

sina=]§圖1-3-21

sin15因而a=22°50'

偏向角為

b=2a—30°=15°40/

4、利用圖「3-22中的數(shù)據(jù)，可以寫出

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sin30°_sin（60"-a）=n2

1

sina_；sin30°n]

消去a后得

=〃；+〃2+1

經(jīng)變換后得圖1-3-22

4

（3〃：-n2-l）A+（6a向一2a2b2）矛+3。：一醫(yī)=。這是矛的二次方程。求

解得出

4=1.18/7m

例5、玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出

綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折

射率為多,液體對綠光的折射率為〃2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r：R為多少

解：（1）當(dāng)叫＜%時(shí)，因?yàn)槭且驛的最小值，所以當(dāng)叫＜〃2時(shí)，應(yīng)

考慮的是圖1-3-23中這樣一種臨界情況，其中玄光線與容器內(nèi)壁相切，

切光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有

sini2_1

sin9007

設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為「。，在直角三角形8（力中，sini2=r0/R。當(dāng)時(shí)，C

處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)廠＞廠。時(shí)，熒光液體中很多

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點(diǎn)發(fā)出的光都能在。處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足

(3)當(dāng)〃1>%時(shí)

因?yàn)橹瘛怠?,所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為90°

的臨界折射，因此當(dāng)廠二廠。時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了。當(dāng)「>"時(shí)，應(yīng)考慮

的是圖1-3-24中切這樣一種臨界情況，其中48光線的入射角為90°,BC%

線的折射角為。，此時(shí)應(yīng)該有

sin90°_n}

sin/n2

在直角三角形初中有

sinr,=OE/OB

因?yàn)閳D1-3-23和圖1-3-24中的‘2角是相同的，所以°E=r°,即

sin90°_.

將"小代入，可得當(dāng)

r/R>\/n2

時(shí)，可看到容器壁厚度為零。

上面的討論，圖卜3-23和圖1-3-24中6點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意的，故所

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得條件對眼的所有位置均能成立（本段說明不可少）。

例6、有一放在空氣中的玻璃棒，折射率〃5,中心軸線長￡=45口力，一端

是半徑為R\-10cm的凸球面。

（1）要使玻璃棒的作用相當(dāng)于一架理想的天文望遠(yuǎn)鏡（使主光軸上無限遠(yuǎn)

處物成像于主光軸上無限遠(yuǎn)處的望遠(yuǎn)系統(tǒng)），取中心軸為主光軸，玻璃棒另一端

應(yīng)磨成什么樣的球面？

玻璃棒的望遠(yuǎn)系統(tǒng)的視角放大率）。

分析：首先我們知道對于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處物點(diǎn)發(fā)

出的入射光線為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平

行，即像點(diǎn)也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，然后我們再運(yùn)用正弦定理、折射定律及的小

角度近似計(jì)算，即可得出最后結(jié)果。

解：（1）對于一個(gè)望遠(yuǎn)系統(tǒng)來說，從主光軸上無限遠(yuǎn)處的物點(diǎn)發(fā)出的入射

光為平行于主光軸的光線，它經(jīng)過系統(tǒng)后的出射光線也應(yīng)與主光軸平行，即像點(diǎn)

也在主光軸上無限遠(yuǎn)處，如圖13-25所示，圖中G為左端球面的球心。

由正弦定理、折射定律和小角度近似得

AF}一《_sinr}_11

Risin（/；-八）-r,?/八）n-1①

ZK_i_L

即與=〃一1②

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光線尸鳥射至另一端面時(shí)，其折射光線為平行于主光軸的光線，由此可知該

端面的球心G一定在端面頂點(diǎn)8的左方，G3等于球面的半徑如圖1-3-25

所示。

仿照上面對左端球面上折射的關(guān)系可得

R??-1③

又有BF]=L-AFi④

由②③④式并代入數(shù)值可得

R2=5?！雹?/p>

即右端應(yīng)為半徑等于5面的向外凸面球面。

（2）設(shè)從無限遠(yuǎn)處物點(diǎn)射入的平行光線用a、b表示，令a過G,6過兒

如圖卜3-26所示，則這兩條光線經(jīng)左端球面折射后的相交點(diǎn)團(tuán)即為左端球面對

此無限遠(yuǎn)物點(diǎn)成的像點(diǎn)?，F(xiàn)在求"點(diǎn)的位置。在MGM中

AM_A"_R]

sin（乃-6）sin（p、sin（e-<p：）⑥

6（P\（1」）

n

圖1-3-26

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⑧

與②式比較可知，即"位于過垂直于主光軸的平面上。上面

已知，玻璃棒為天文望遠(yuǎn)系統(tǒng)，則凡是過"點(diǎn)的傍軸光線從棒的右端面射出時(shí)都

將是相互平行的光線。容易看出，從"射向G的光線將沿原方向射出，這也就

是過"點(diǎn)的任意光線（包括光些a、b）從玻璃棒射出的平行光線的方向。此方向

與主光軸的夾角即為外。

%_GR_—&

81。2耳BF「R?⑨

由②③式可得

麗-a_&

~BF\-R2_&

82_旦_2

則R2⑩

例7、在直立的平面鏡前放置一個(gè)半徑為A的球形玻璃魚缸，缸壁很薄，其

中心離鏡面為34,缸中充滿水。遠(yuǎn)處一觀察者通過球心與鏡面垂直的方向注視魚

缸，一條小魚在離鏡面最近處以速度/沿缸壁游動(dòng)。求觀察者看到魚的兩個(gè)像的

相對速度。水的折射率爐4/3。見圖1-3-27和圖1-3-28。

解：魚在1秒鐘內(nèi)游過的距離為Ko我們把這個(gè)距離當(dāng)作物，而必須求出

?

兩個(gè)不同的像。在計(jì)算中，我們只考慮近軸光線和2J''''、二二^'二一

小角度，并將角度的正弦角度本身去近似。-----

在4點(diǎn)游動(dòng)的