水平考試復(fù)習(xí)

必修一水平考試復(fù)習(xí)課件一、集合的有關(guān)概念1.元素與集合①

.②.③.（2）集合中元素與集合的關(guān)系文字描述為

和

.符號(hào)表示為

和

.（1）集合中元素的三個(gè)特性確定性互異性無序性屬于不屬于∈§1.1集合的概念及其基本運(yùn)算要點(diǎn)梳理

.

.

.2.集合間的基本關(guān)系(1)集合間基本關(guān)系①相等關(guān)系:AB且BA

;②子集:A是B的子集,符號(hào)表示為

或BA;③真子集:A是B的真子集,符號(hào)表示為

或

.(2)不含任何元素的集合叫做

,記為

，并規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的

.(3)集合的表示法列舉法描述法圖示法A=BABABBA空集真子集二、集合的運(yùn)算1.并集一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作A∪B，即A∪B=

.2.交集一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱為A與B的交集，記作A∩B，即A∩B=

.3.補(bǔ)集對(duì)于一個(gè)集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對(duì)于全集U的補(bǔ)集，記作CUA=.{x|x∈A,或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且xA}4.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1)交集①A∩B=

;②A∩A=

;③A∩=

;④A∩B

A,A∩B

B;⑤A∩B=A

.(2)并集①A∪B=

;②A∪A=

;③A∪=

;④A∪B

A,A∪B

B;⑤A∪B=B

.(3)交集、并集、補(bǔ)集的關(guān)系①A∩(CUA)=

;A∪(CUA)=

.②CU(A∩B)=

;CU(A∪B)=

.B∩AAABB∪AAAU1.在進(jìn)行集合的運(yùn)算時(shí)要注意：①勿忘對(duì)空集的討論；②勿忘集合中元素的互異性；③對(duì)于集合A的補(bǔ)集運(yùn)算，勿忘A必須是全集的補(bǔ)集；④對(duì)于含參數(shù)（或待定系數(shù)）的集合問題，勿忘對(duì)所求數(shù)值進(jìn)行合理取舍.2.在集合運(yùn)算過程中應(yīng)力求做到“三化”：

(1)意義化：即首先分清集合的類型，是表示數(shù)集、點(diǎn)集還是圖形，是表示函數(shù)的定義域、值域還是方程或不等式的解集.(2)直觀化：借助數(shù)軸、直角坐標(biāo)平面、Venn圖等將有關(guān)集合直觀地表示出來.(3)具體化：具體求出相關(guān)集合中函數(shù)的定義域、值域或方程、不等式的解集等；不能具體求出的，也應(yīng)力求將相關(guān)集合轉(zhuǎn)化為最簡單形式.基礎(chǔ)自測(cè)1.（2008·四川理）設(shè)集合U={1，2，3，4，5},

A={1，2，3}，B={2，3，4},則U(A∩B)等于（）

A.{2，3}B.{1，4，5}C.{4，5}D.{1，5}

解析∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，∴A∩B={2，3}.

又U={1，2，3，4，5}，∴U(A∩B)={1，4，5}.B2.已知三個(gè)集合U,A，B及元素間的關(guān)系如圖所示，則(UA)∩B等于（）

A.{5，6}B.{3，5，6}C.{3}D.{0，4，5，6，7，8}

解析由Venn圖知(UA)∩B={5,6}.A3.(2009·浙江，1)設(shè)U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},

則A∩（UB）等于（）

A.{x|0≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|x<0}D.{x|x>1}

解析

∵B={x|x>1},∴UB={x|x≤1}.

又A={x|x>0},∴A∩（UB）={x|0<x≤1}.B4.設(shè)集合A={x|1≤x≤2}，B={x|x≥a}.若A

B，則a的取值范圍是()A.a<1B.a≤1C.a<2D.a≤2

解析由圖象得a≤1,故選B.B

題型一集合的基本概念【例1】(2009·山東,1)集合A={0,2,a},B={1,a2},

若A∪B={0，1，2，4，16}，則a的值為（）

A.0B.1C.2D.4

思維啟迪

根據(jù)集合元素特性，列出關(guān)于a的方程組，求出a并檢驗(yàn).題型分類深度剖析解析∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B={0,1,2,4,16},∴

∴a=4.答案

D

掌握集合元素的特征是解決本題的關(guān)鍵.解題中體現(xiàn)了方程的思想和分類討論的思想.探究提高題型二集合與集合的基本關(guān)系【例2】(12分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B=（1）若A

B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若B

A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，試說明理由.

在確定集合A時(shí)，需對(duì)x的系數(shù)a進(jìn)行討論.利用數(shù)軸分析，使問題得到解決.思維啟迪解

A中不等式的解集應(yīng)分三種情況討論：①若a=0，則A=R；②若a<0，則③若a>0,則2分(1)當(dāng)a=0時(shí)，若A

B，此種情況不存在.當(dāng)a<0時(shí)，若A

B，如圖,當(dāng)a>0時(shí)，若A

B，如圖,綜上知，當(dāng)AB時(shí)，a<-8或a≥2.6分（2）當(dāng)a=0時(shí)，顯然B

A；當(dāng)a<0時(shí)，若B

A，如圖,當(dāng)a>0時(shí)，若B

A，如圖,綜上知，當(dāng)B

A時(shí)，10分（3）當(dāng)且僅當(dāng)A、B兩個(gè)集合互相包含時(shí)，A=B.由（1）、（2）知，a=2.12分§1.2函數(shù)及其表示要點(diǎn)梳理1.函數(shù)的基本概念（1）函數(shù)定義設(shè)A，B是非空的

，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的

一個(gè)數(shù)x,在集合B中數(shù)集任意基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)都有

的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x∈A.(2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),x∈A中，x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的

；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的

.顯然，值域是集合B的子集.(3)函數(shù)的三要素：

、

和

.(4)相等函數(shù)：如果兩個(gè)函數(shù)的

和

完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù).

唯一確定定義域值域定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系定義域?qū)?yīng)關(guān)系2.函數(shù)的表示法 表示函數(shù)的常用方法有：

、

、

.3.映射的概念 設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中

確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)映射.4.由映射的定義可以看出，映射是

概念的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射，要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合A,

B必須是

.

解析法圖象法列表法都有唯一函數(shù)非空數(shù)集基礎(chǔ)自測(cè)1.設(shè)集合M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤2}，那么下面的4個(gè)圖形中，能表示集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的有() A.①②③④B.①②③

C.②③

D.②

解析由映射的定義，要求函數(shù)在定義域上都有圖 象，并且一個(gè)x對(duì)應(yīng)著一個(gè)y，據(jù)此排除①④，選C.C2.給出四個(gè)命題： ①函數(shù)是其定義域到值域的映射；②f（x）=

是函數(shù)；③函數(shù)y=2x（x∈N）的圖象 是一條直線；④f（x）=

與g(x)=x是同一個(gè)函數(shù).

其中正確的有 （ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析由函數(shù)的定義知①正確.

∵滿足f（x）=

的x不存在，∴②不正確.

又∵y=2x（x∈N)的圖象是一條直線上的一群孤立的點(diǎn)，∴③不正確.

又∵f（x）與g（x）的定義域不同，∴④也不正確.

A3.下列各組函數(shù)是同一函數(shù)的是()【分析】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù),關(guān)鍵是判斷它們的對(duì)應(yīng)法則、定義域和值域是否分別相同.如果有一個(gè)不同,它們便不是同一函數(shù).解析

排除A；

排除B；當(dāng)即x≥1時(shí),y=|x|+|x-1|=2x-1,排除C.故選D.答案

D

4.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.

解析若使該函數(shù)有意義，則有 ∴x≥-1且x≠2,∴其定義域?yàn)閧x|x≥-1且x≠2}.

{x|x≥-1且x≠2}探究提高

（1）求函數(shù)的定義域，其實(shí)質(zhì)就是以函數(shù)解析式所含運(yùn)算有意義為準(zhǔn)則,列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集，其準(zhǔn)則一般是：①分式中，分母不為零；②偶次方根中，被開方數(shù)非負(fù)；③對(duì)于y=x0，要求x≠0；④對(duì)數(shù)式中，真數(shù)大于0，底數(shù)大于0且不等于1；⑤由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域要受實(shí)際問題的約束.（2）抽象函數(shù)的定義域要看清內(nèi)、外層函數(shù)之間的關(guān)系.

求函數(shù)解析式根據(jù)下列條件分別求出函數(shù)f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2=3x;(4)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).【分析】(1)可用配湊法.(2)可將x-2看作一個(gè)整體,根據(jù)函數(shù)的定義,尋找x2+3x+1與x-2的對(duì)應(yīng)關(guān)系.(3)因考慮到x與的倒數(shù)關(guān)系,可通過解方程組來求解析式.(4)可用待定系數(shù)法求解析式,但此題也可采用多種方法.【解析】(1)因又≤-2或≥2,

則f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).(2)令x-2=t,則x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.(3)由已知f(x)+2f=3x.①以代替①中的x,得f+2f(x)=.②由①②解得f(x)=-x(x≠0).(4)解法一：換元法.令3x+1=t,則x=.∴f(t)=9·-6+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.∴f(x)=x2-4x+8.

解法二:配湊法.∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,∴f(x)=x2-4x+8.

解法三:待定系數(shù)法.

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),則

f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.∵f(3x+1)=9x2-6x+5,∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9a=16a+3b=-6b=-4a+b+c=5c=8,∴f(x)=x2-4x+8.

比較兩端系數(shù),得【評(píng)析】（1）求解析式的目標(biāo)就是求定義域與值域中對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系式.(2)換元法求解析式時(shí)，要注意換元變量范圍應(yīng)保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此處應(yīng)有|x|≤1.(3)求解析式的幾種常見方法:①代入法即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需將g(x)替換f(x)中的x即得;②換元法已知f(g(x)),g(x),求f(x)用換元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x))中即得f(t),從而求得f(x).當(dāng)f(g(x))的表達(dá)式較簡單時(shí),可用“配湊法”(其實(shí)質(zhì)是換元素);

③待定系數(shù)法當(dāng)函數(shù)f(x)類型確定時(shí),可用待定系數(shù)法.如:已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).

解析:因?yàn)橐阎猣(x)是一次函數(shù),故可設(shè)f(x)=ax+b,從而根據(jù)題意列出恒等式,確定a,b的值.

解:設(shè)f(x)=ax+b,

則3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,

所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;

④方程組法方程組法求解析式的實(shí)質(zhì)是用了對(duì)稱的思想.一般來說，當(dāng)自變量互為相反數(shù)、互為倒數(shù)或是函數(shù)具有奇偶性時(shí)，均可用此法.

在解關(guān)于f(x)的方程時(shí),可作恰當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,列出f(x)的方程組,求得f(x).

如:已知f(x)滿足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.

解:∵f(x)+2f(-x)=x,①

用-x替換x得f(-x)+2f(x)=-x.②

聯(lián)立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.分段函數(shù)x2,x>01,x=0-,x<0.(1)畫出函數(shù)的圖象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.【分析】考慮特殊函數(shù)的圖象在某區(qū)間內(nèi)的形狀,特別要注意區(qū)間的端點(diǎn)處.

已知函數(shù)f(x)=【評(píng)析】分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是借助于幾個(gè)不同的表達(dá)式來表示的,處理分段函數(shù)的問題時(shí),首先要確定自變量的數(shù)值屬于哪一個(gè)區(qū)間段,從而選相應(yīng)的關(guān)系式.對(duì)于分段函數(shù),注意處理好各段的端點(diǎn).【解析】(1)分別作出f(x)在x>0,x=0,x<0段上的圖象,如圖所示,作法略.(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1,f［f(-1)］=f(1)=1.知能遷移3

設(shè)則f[g(3)]=____,

=_____.

解析∵g(3)=2,∴f[g(3)]=f(2)=3×2+1=7，7§1.3函數(shù)的單調(diào)性與最大(小)值要點(diǎn)梳理1.函數(shù)的單調(diào)性（1）單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮.如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量x1，x2

基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)定義當(dāng)x1<x2時(shí),都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)

當(dāng)x1<x2時(shí)，都有，那么就說函數(shù)f（x）在區(qū)間D上是減函數(shù)

圖象描述自左向右看圖象是___________自左向右看圖象是__________f（x1）<f(x2)f(x1)>f(x2)上升的下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是________或________，則稱函數(shù)f（x）在這一區(qū)間上具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，

________叫做f（x）的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)區(qū)間D2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件①對(duì)于任意x∈I，都有___________；②存在x0∈I,使得_____________.①對(duì)于任意x∈I，都有____________；②存在x0∈I,使得_______________.結(jié)論M為最大值M為最小值f（x）≤Mf（x0）=Mf（x）≥Mf（x0）=M基礎(chǔ)自測(cè)1.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是

()A.y=-x+1B.y=

C.y=x2-4x+5D.

解析∵y=-x+1,y=x2-4x+5,分別為一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，從它們的圖象上可以看出在（0，2）上都是減函數(shù).B2.已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的增函數(shù),則f(x)=0的根（）

A.有且只有一個(gè)B.有2個(gè)

C.至多有一個(gè)D.以上均不對(duì)

解析∵f（x）在R上是增函數(shù)，∴對(duì)任意x1,x2∈R,若x1<x2,則f(x1)<f(x2),

反之亦成立.故若存在f(x0)=0,則x0只有一個(gè).

若對(duì)任意x∈R都無f(x)=0,則f(x)=0無根.C3.已知f(x)為R上的減函數(shù)，則滿足的實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）

A.(-1,1)B.(0,1)C.(-1,0)∪(0,1)D.（-∞,-1)∪(1,+∞)

解析由已知條件：不等式等價(jià)于解得-1<x<1,且x≠0.C4.函數(shù)y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，則

()A.B.C.D.

解析使y=(2k+1)x+b在（-∞，+∞）上是減函數(shù),

則2k+1<0，即

D5.設(shè)x1,x2為y=f(x)的定義域內(nèi)的任意兩個(gè)變量，有以下幾個(gè)命題：①(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；②(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0；③④其中能推出函數(shù)y=f(x)為增函數(shù)的命題為________.

解析依據(jù)增函數(shù)的定義可知，對(duì)于①③，當(dāng)自變量增大時(shí)，相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值也增大，所以①③可推出函數(shù)y=f（x）為增函數(shù).①③題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷【例1】已知函數(shù)

證明：函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).

（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義.

（2）用導(dǎo)數(shù)法.

證明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),

不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,思維啟迪題型分類深度剖析又∵x1+1>0,x2+1>0,于是f(x2)-f(x1)=故函數(shù)f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).方法二

求導(dǎo)數(shù)得∵a>1,∴當(dāng)x>-1時(shí)，axlna>0,f′(x)>0在（-1，+∞）上恒成立，則f(x)在（-1,+∞）上為增函數(shù).

對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)，判斷或證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性問題，可以結(jié)合定義（基本步驟為取點(diǎn)、作差或作商、變形、判斷）求解.可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)解之.探究提高要點(diǎn)梳理1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_______________，那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù).

一般地,如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有_______________，那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù).

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.§1.4函數(shù)的奇偶性f（-x）=f（x）f（-x）=-f（x）基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)2.判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性,一般都按照定義嚴(yán)格進(jìn)行,一般步驟是:（1）考查定義域是否關(guān)于______對(duì)稱；（2）考查表達(dá)式f（-x）是否等于f（x）或-f（x）：若f（-x）=_______，則f（x）為奇函數(shù)；若f（-x）=________，則f（x）為偶函數(shù)；若f（-x）=_______且f（-x）=________,則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；若f（-x）≠-f（x）且f（-x）≠f（x），則f（x）既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，即非奇非偶函數(shù).原點(diǎn)-f（x）f（x）-f（x）f（x）3.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性______,

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性______(填“相同”、“相反”）.(2)在公共定義域內(nèi)①兩個(gè)奇函數(shù)的和是________,兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；②兩個(gè)偶函數(shù)的和、積是_________；③一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是_________.奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)相同相反基礎(chǔ)自測(cè)1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,下列函數(shù)為奇函數(shù)的是（）

A.y=2x-3B.y=-3x2C.y=ln5xD.y=-|x|cosx

解析

A為非奇非偶函數(shù),B、D為偶函數(shù),C為奇函數(shù).

設(shè)y=f(x)=ln5x=xln5,∴f（-x）=-xln5=-f（x）.C2.（2008·全國Ⅱ理）函數(shù)的圖象關(guān)于（）

A.y軸對(duì)稱B.直線y=-x對(duì)稱

C.坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D.直線y=x對(duì)稱

解析∵∴f（x）是奇函數(shù).∴f（x）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.C3.下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A.f(x)=sinxB.f(x)=-|x-1|C.

D.

解析∵函數(shù)是奇函數(shù),排除B、C（B中函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，C中是偶函數(shù)），

∵［-1，1］

∴f（x）=sinx在[-1,1]上是增函數(shù),排除A,故選D.D4.已知f(x）=ax2+bx是定義在[a-1，2a]上的偶函數(shù),

那么a+b的值是（）

A.B.C.D.

解析依題意得B函數(shù)奇偶性的判斷【例1】

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)

(2)

判斷函數(shù)的奇偶性,應(yīng)先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后再比較f(x)與f(-x)之間是否相等或相反.思維啟迪題型分類深度剖析解

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故原函數(shù)是奇函數(shù).(2)≥0且1-x≠0-1≤x<1,定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,故原函數(shù)是非奇非偶函數(shù).

判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個(gè)必備條件:

一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件,所以首先考慮定義域?qū)鉀Q問題是有利的;

二是判斷f(x)與f(-x)是否具有等量關(guān)系.在判斷奇偶性的運(yùn)算中,可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系式(f(x)+f(-x)=0(奇函數(shù))或f(x)-f(-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.探究提高知能遷移1

判斷函數(shù)f(x)=的奇偶性.

解

∵∴-2≤x≤2且x≠0,∴函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∴f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).4-x2≥0|x+3|≠3,要點(diǎn)梳理1.根式（1）根式的概念如果一個(gè)數(shù)的n次方等于a（n＞1且n∈N*），那么這個(gè)數(shù)叫做a的n次方根.也就是，若xn=a，則x叫做

___________,其中n＞1且n∈N*.式子叫做_____,

這里n叫做_________，a叫做___________.§2.1指數(shù)與指數(shù)函數(shù)a的n次方根根式根指數(shù)被開方數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)（2）根式的性質(zhì)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的

n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)，a的n次方根用符號(hào)____

表示.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù),這時(shí)，正數(shù)的正的n次方根用符號(hào)____表示,

負(fù)的n次方根用符號(hào)________表示.正負(fù)兩個(gè)n次方根可以合寫為________（a＞0）.③=______.a④當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=____;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=_______________.⑤負(fù)數(shù)沒有偶次方根.2.有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念①正整數(shù)指數(shù)冪：

（n∈N*）；②零指數(shù)冪：a0=____（a≠0）；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a-p=_____（a≠0，p∈N*）；a1④正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：=_______（a>0，m、n∈N*，且n>1）；⑤負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：==(a>0,m、n

∈N*,且n>1).⑥0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于______，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

_____________.（2）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras=

______(a>0,r、s∈Q);②(ar)s=

______(a>0,r、s∈Q);③(ab)r=

_______(a>0,b>0,r∈Q).ar+sarsarbr0沒有意義3.指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y=axa>10<a<1圖象定義域___值域___________性質(zhì)(1)過定點(diǎn)_________(2)當(dāng)x>0時(shí),_____;x<0時(shí),_______(2)當(dāng)x>0時(shí),_______;x<0時(shí),_____(3)在(-∞，+∞)上是_______(3)在(-∞，+∞)上是________R(0,+∞)(0,1)y>1y>10<y<10<y<1減函數(shù)增函數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1.已知a<則化簡的結(jié)果是（）

A.B.C.D.

解析C2.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）

A.y=x3B.y=-x2+1C.y=|x|+1D.y=2-|x|

解析因?yàn)閥=x3是奇函數(shù)，從而可排除A，因?yàn)楹瘮?shù)

y=-x2+1及y=2-|x|在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以排除B、D.C3.右圖是指數(shù)函數(shù)（1）y=ax，（2）y=bx,（3）y=cx,（4）y=dx

的圖象,則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c

解析

方法一當(dāng)指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時(shí)，圖象上升，且當(dāng)?shù)讛?shù)越大時(shí)，在第一象限內(nèi)，圖象越靠近y軸；當(dāng)?shù)讛?shù)大于0且小于1時(shí),圖象下降,且在第一象限內(nèi),底數(shù)越小，圖象越靠近x軸.故可知b<a<1<d<c,選B.方法二令x=1,由圖象知c1>d1>a1>b1,∴b<a<1<d<c，故選B.答案

B

4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,則f(2a)等于（）

A.5B.7C.9D.11

解析∵f（x）=2x+2-x，f（a）=3，∴2a+2-a=3，

f（2a）=22a+2-2a=4a+4-a=（2a+2-a）2-2=9-2=7.

B5.若函數(shù)y=(a2-3a+3)·ax為指數(shù)函數(shù)，則有（）

A.a=1或2B.a=1C.a=2D.a>0且a≠1

解析∴a=2.C指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)【例2】(12分)設(shè)函數(shù)f(x)=為奇函數(shù).

求：（1）實(shí)數(shù)a的值；（2）用定義法判斷f（x）在其定義域上的單調(diào)性.

由f（-x）=-f（x）恒成立可解得a的值;

第(2)問按定義法判斷單調(diào)性的步驟進(jìn)行求解即可.思維啟迪解(1)方法一依題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），2分∴2(a-1)(2x+1)=0，∴a=1.6分方法二∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(0)=0，即∴a=1.6分（2）由(1)知，設(shè)x1<x2且x1,x2∈R，8分10分∴f(x2)>f(x1),∴f(x)在R上是增函數(shù).12分

(1)若f(x)在x=0處有定義,且f(x)是奇函數(shù),則有f(0)=0,即可求得a=1.（2）由x1<x2推得實(shí)質(zhì)上應(yīng)用了函數(shù)

f（x）=2x在R上是單調(diào)遞增這一性質(zhì).探究提高指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】已知函數(shù)

(1)作出圖象；

(2)由圖象指出其單調(diào)區(qū)間；

(3)由圖象指出當(dāng)x取什么值時(shí)函數(shù)有最值.

思維啟迪

化去絕對(duì)值符號(hào)將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式作圖象寫出單調(diào)區(qū)間寫出x的取值解（1）由已知可得其圖象由兩部分組成：一部分是：另一部分是：y=3x(x<0)y=3x+1(x<-1).向左平移1個(gè)單位向左平移1個(gè)單位圖象如圖：(2)由圖象知函數(shù)在（-∞，-1］上是增函數(shù)，在（-1，+∞）上是減函數(shù).(3)由圖象知當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)有最大值1,無最小值.

在作函數(shù)圖象時(shí),首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關(guān)系.然后通過平移或伸縮來完成.探究提高要點(diǎn)梳理1.對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)的定義如果ax=N(a>0且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù),記作_________,其中____叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),____

叫做真數(shù).aN§2.2對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)x=logaN基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)（2）幾種常見對(duì)數(shù)2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)①=_____;②logaaN=_____(a>0且a≠1).

對(duì)數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對(duì)數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)_______常用對(duì)數(shù)底數(shù)為__________自然對(duì)數(shù)底數(shù)為__________elnNlgNlogaN10NN（2）對(duì)數(shù)的重要公式①換底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推廣logab·logbc·logcd=______.(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;logadlogaM+logaNlogaM-logaN③logaMn=

___________(n∈R);④3.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)nlogaM

a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域:__________(2)值域:_____(3)過點(diǎn)_______,即x=___時(shí),y=___(4)當(dāng)x>1時(shí),_____當(dāng)0<x<1時(shí),_______(4)當(dāng)x>1時(shí),_______當(dāng)0<x<1時(shí),_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________R(0,+∞)(1,0)y>0y>0y<0y<010增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)_________互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線_________對(duì)稱.y=logaxy=x基礎(chǔ)自測(cè)1.（2009·湖南理）若log2a<0,則（）

A.a>1,b>0B.a>1,b<0C.0<a<1,b>0D.0<a<1,b<0

解析∵log2a<0=log21,∴0<a<1.∵∴b<0.D2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）

A.B.C.D.

解析由條件知log3(log2x)=1,∴l(xiāng)og2x=3,∴x=8,∴C3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析

a=0.32∈(0,1),b=log20.3<0,

c=20.3∈(1,+∞),∴b<a<c.D4.設(shè)a>1，函數(shù)f(x)=logax在區(qū)間[a,2a]上的最大值與最小值之差為則a等于（）

A.B.2C.D.4

解析根據(jù)已知條件loga(2a)-logaa=

整理得：loga2=則即a=4.D5.函數(shù)的定義域是_______.

解析要使有意義需使∴0<3x-2≤1,即<x≤1,∴的定義域?yàn)閷?duì)數(shù)的化簡與求值【例1】(1)化簡:(2)化簡:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.

(1)、（2）為化簡題目，可由原式聯(lián)想指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、公式的結(jié)構(gòu)形式來尋找解題思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式來求

a2m+n的值.思維啟迪題型分類深度剖析解

(1)原式=(2)(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.∵loga3=n,∴an=3.故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.方法二∵loga2=m,loga3=n,

（1）在對(duì)數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后再運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡合并，在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對(duì)數(shù)互化.(2)熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.探究提高(2)已知3a=5b=A,且則A的值是（）

A.15B.C.D.225

解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,∴=logA3+logA5=logA15=2,∴A2=15,∴A=或A=（舍）.B比較大小【例2】(2009·全國Ⅱ理,7)設(shè)a=log2π,

則（）

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

(1)引入中間量如“1”或“

”比較.(2)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及單調(diào)性.

解析∵a=log2π>1,∴a>b,a>c.∴b>c,∴a>b>c.思維啟迪A探究提高比較對(duì)數(shù)式的大小，或證明等式問題是對(duì)數(shù)中常見題型，解決此類問題的方法很多,①當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí)可直接利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較;②若底數(shù)不同，真數(shù)相同,可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合解得；③若不同底，不同真數(shù)，則可利用中間量進(jìn)行比較.要點(diǎn)梳理1.一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)

(1)一次函數(shù)y=kx+b，當(dāng)k>0時(shí)，在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù),當(dāng)k<0時(shí)在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù).b叫縱截距,當(dāng)b=0

時(shí)圖象過原點(diǎn)，且此時(shí)函數(shù)是奇函數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)函數(shù)為非奇非偶函數(shù).§2.3一次函數(shù)、二次函數(shù)與冪函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)(2)二次函數(shù)的解析式①二次函數(shù)的一般式為____________________.②二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為__________________,其中頂點(diǎn)為_______.③二次函數(shù)的兩根式為____________________,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根.(也就是函數(shù)的零點(diǎn))根據(jù)已知條件,選擇恰當(dāng)?shù)男问?利用待定系數(shù)法可求解析式.y=ax2+bx+c

（a≠0）y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)(h,k)(3)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)①二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

;對(duì)稱軸方程為.熟練通過配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)及對(duì)稱軸,并會(huì)畫示意圖.②在對(duì)稱軸的兩側(cè)單調(diào)性相反.③當(dāng)b=0時(shí)為偶函數(shù),當(dāng)b≠0時(shí)為非奇非偶函數(shù).2.二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式三者之間的關(guān)系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0y=ax2+bx+c的圖象(a>0)方程ax2+bx+c=0的解__________________________無解ax2+bx+c>0的解集________________________________________________ax2+bx+c<0的解集__________________x1,x2(x1<x2)x0{x|x>x2或x<x1}{x|x∈R且x≠x0}R{x|x1<x<x2}3.冪函數(shù)

(1)冪函數(shù)的定義形如________(∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是

_______,為______.(2)冪函數(shù)的圖象自變量常數(shù)(3)冪函數(shù)的性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域_______________________________值域__________________________________奇偶性________________________函數(shù)特征性質(zhì)RRR[0,+∞){x|x∈R且x≠0}R[0,+∞)R[0,+∞){y|y∈R且y≠0}奇奇奇偶非奇非偶單調(diào)性_________________________________________________________________________________定點(diǎn)________,________________(1，1)(0，0)x∈[0,+∞)時(shí),增x∈(-∞,0]時(shí),減增增增x∈(0,+∞)時(shí),減x∈(-∞,0)時(shí),減(1，1)基礎(chǔ)自測(cè)1.直線的圖象可能是（）

解析

∵a≠0，∴C不可能.

當(dāng)a>0時(shí)，排除A.

當(dāng)a<0時(shí)，，排除D，故選B.B2.一次函數(shù)y=ax+b與二次函數(shù)y=ax2+bx+c在同一坐標(biāo)系中的圖象大致是（）

解析選項(xiàng)A中，一次函數(shù)的斜率a>0，而二次函數(shù)開口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,

y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為當(dāng)a>0,b>0時(shí)，∴排除B.

當(dāng)a<0,b<0時(shí)，故選C.C3.設(shè)則使函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

R且為奇函數(shù)的所有值為（）

A.1,3B.-1,1C.-1,3D.1,3，

解析當(dāng)=1，3時(shí)，的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，當(dāng)=-1時(shí)，的定義域?yàn)閧x|x≠0,x∈R},

淘汰B、C,當(dāng)時(shí),的定義域?yàn)閇0,+∞),

排除D.故選A.A4.已知二次函數(shù)y=x2-2ax+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.a≤2或a≥3B.2≤a≤3C.a≤-3或a≥-2D.-3≤a≤-2

解析本題考查二次函數(shù)圖象及其性質(zhì)，由于二次函數(shù)的開口向上,對(duì)稱軸為x=a,若使其在區(qū)間(2,3)

內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，則需所給區(qū)間在對(duì)稱軸的同一側(cè)，即a≤2或a≥3.A二次函數(shù)的解析式的求法【例1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)=-1,f(-1)=-1,且

f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù).

確定二次函數(shù)采用待定系數(shù)法，有三種形式，可根據(jù)條件靈活運(yùn)用.思維啟迪題型分類深度剖析解方法一設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),依題意有∴所求二次函數(shù)為y=-4x2+4x+7.方法二設(shè)f(x)=a(x-m)2+n.∵f(2)=f(-1),∴拋物線對(duì)稱軸為∴m=又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n=8，∴y=f（x）=∵f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三依題意知：f(x)+1=0的兩根為x1=2,x2=-1,故可設(shè)f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函數(shù)有最大值ymax=8,即解之，得a=-4或a=0(舍去）.∴函數(shù)解析式為f(x)=-4x2+4x+7.

二次函數(shù)的解析式有三種形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)(2)頂點(diǎn)式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)(3)兩點(diǎn)式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)具體用哪種形式，可根據(jù)具體情況而定.探究提高

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)【例2】

已知函數(shù)在區(qū)間[0,1]

上的最大值是2，求實(shí)數(shù)a的值.

研究二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，要討論對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系.

解

對(duì)稱軸為思維啟迪(1)當(dāng)0≤≤1，即0≤a≤2時(shí)，得a=3或a=-2,與0≤a≤2矛盾.不合要求；(2)當(dāng)<0，即a<0時(shí)，y在[0，1]上單調(diào)遞減，有ymax=f(0)，f(0)=2(3)當(dāng)>1，即a>2時(shí)，y在[0，1]上單調(diào)遞增，有ymax=f(1),f(1)=2綜上，得a=-6或a=探究提高

(1)要注意拋物線的對(duì)稱軸所在的位置對(duì)函數(shù)最值的影響.(2)解二次函數(shù)求最值問題，首先采用配方法，將二次函數(shù)化為y=a(x-m)2+n的形式，得頂點(diǎn)（m，n）或?qū)ΨQ軸方程x=m，分三個(gè)類型：①頂點(diǎn)固定，區(qū)間固定；②頂點(diǎn)含參數(shù)，區(qū)間固定；③頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動(dòng).要點(diǎn)梳理1.函數(shù)的零點(diǎn)（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x)(x∈D),把使_______成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)的零點(diǎn).§3.1函數(shù)與方程f(x)=0基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)（2）幾個(gè)等價(jià)關(guān)系方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根函數(shù)y=f(x)的圖象與_____有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有_______.(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定（零點(diǎn)存在性定理）如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a，b］上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_________________,那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn),即存在c∈(a,b),

使得_________，這個(gè)____也就是f(x)=0的根.f（a）·f（b）<0(a，b)f(c)=0cx軸零點(diǎn)2.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ=0Δ<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)__________________________無交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)______________(x1,0),(x2,0)(x1,0)無一個(gè)兩個(gè)3.二分法（1）二分法的定義對(duì)于在區(qū)間［a，b］上連續(xù)不斷且_____________的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間__________,使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近_____,進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.（2）用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步，確定區(qū)間［a，b］，驗(yàn)證______________,

給定精確度；第二步，求區(qū)間（a，b）的中點(diǎn)x1；f(a)·f(b)<0一分為二零點(diǎn)f(a)·f(b)<0第三步，計(jì)算_______：①若_______，則x1就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若_____________，則令b=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a,x1));③若______________，則令a=x1(此時(shí)零點(diǎn)x0∈(x1,b));第四步，判斷是否達(dá)到精確度：即若|a-b|<,則得到零點(diǎn)近似值a（或b）;否則重復(fù)第二、三、四步.f(x1)f(a)·f(x1)<0f(x1)·f(b)<0f(x1)=0基礎(chǔ)自測(cè)1.若函數(shù)f(x)=ax+b有一個(gè)零點(diǎn)為2,則g(x)=bx2-ax的零點(diǎn)是（）

A.0，2B.0，

C.0，D.2,

解析由f(2)=2a+b=0,得b=-2a,∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1).

令g(x)=0，得x=0,x=∴g（x）的零點(diǎn)為0，C2.函數(shù)f(x)=3ax-2a+1在［-1，1］上存在一個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

A.B.a≤1C.D.

解析

f(x)=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一個(gè)零點(diǎn)，則f(-1)·f(1)≤0,即D3.函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，但不能用二分法求公共點(diǎn)橫坐標(biāo)的是（）

解析圖B不存在包含公共點(diǎn)的閉區(qū)間［a，b］使函數(shù)f（a）·f（b）<0.B