就要求出系統(tǒng)特征方程的根課件

第三章

時域分析法第三章

時域分析法本章主要內(nèi)容3.1典型輸入信號3.2一階系統(tǒng)的時域分析3.3二階系統(tǒng)的時域分析3.4高階系統(tǒng)的時域分析3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性3.6控制系統(tǒng)的誤差分析本章主要內(nèi)容3.1典型輸入信號階躍函數(shù)速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）加速度函數(shù)（拋物線函數(shù)）脈沖函數(shù)正弦函數(shù)3.1典型輸入信號階躍函數(shù)階躍函數(shù)R=1時稱為單位階躍信號R=常數(shù)r(t)=1(t)或r(t)=u(t)單位階躍函數(shù)的拉氏變換階躍函數(shù)R=1時稱為單位階躍信號R=常數(shù)r(t)=1(t)或速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）R=1時稱為單位斜坡信號r(t)=t單位斜坡函數(shù)的拉氏變換表征勻速信號速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）R=1時稱為單位斜坡信號r(t)=t單位加速度函數(shù)單位拋物線函數(shù)的拉氏變換表征勻加速信號R=1時稱為單位拋物線函數(shù)加速度函數(shù)單位拋物線函數(shù)的拉氏變換表征勻加速信號R=1時稱為脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換單位脈沖信號當

A=1,脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的拉氏變換單位脈沖信號當A=1,正弦函數(shù)正弦函數(shù)的拉氏變換正弦函數(shù)正弦函數(shù)的拉氏變換時間響應(yīng)

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出量從初始狀態(tài)到進入穩(wěn)定狀態(tài)前的響應(yīng)過程。時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。時間響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：瞬態(tài)響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號作用3.2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的形式閉環(huán)極點(特征根)：-1/T3.2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的形式閉環(huán)極點(特征根)：一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量最終穩(wěn)態(tài)輸出值與輸入值（信號）趨于一致，誤差為零。性質(zhì)：1）T暫態(tài)分量瞬態(tài)響應(yīng)時間極點距離虛軸

2）T暫態(tài)分量瞬態(tài)響應(yīng)時間極點距離虛軸最終穩(wěn)態(tài)輸出值與輸入值（信號）趨于一致，誤差為零。性質(zhì)：一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)(t0)性質(zhì)：1）經(jīng)過足夠長的時間，輸出增長速率近似與輸入相同；2）輸出相對于輸入滯后時間T；3）穩(wěn)態(tài)誤差=T。暫態(tài)分量一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)(t0)性質(zhì)：暫態(tài)分量一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)只包含瞬態(tài)分量一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)只包含瞬態(tài)分量輸入信號拉氏變換輸出信號階躍信號斜坡信號脈沖信號輸入信號拉氏變換輸出信號階躍斜坡脈沖

此對應(yīng)關(guān)系說明，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。或者，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的積分。而積分常數(shù)由零輸出初始條件確定。這是線性定常系統(tǒng)的一個重要特性，不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于任何階線性定常系統(tǒng)，但不適用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。此對應(yīng)關(guān)系說明，系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)，就等3.3二階系統(tǒng)的時域分析一、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式系統(tǒng)的特征方程閉環(huán)特征方程根（閉環(huán)極點）阻尼比無阻尼自然頻率3.3二階系統(tǒng)的時域分析一、二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的標準形式系統(tǒng)過阻尼：欠阻尼：臨界阻尼無阻尼：過阻尼：欠阻尼：臨界阻尼無阻尼：欠阻尼：0<<1(t0)阻尼自然頻率二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

過渡過程為衰減的振蕩欠阻尼：0<<1(t0)阻尼自然頻率二階系統(tǒng)的單位階躍(t0)無穩(wěn)態(tài)誤差；含有衰減的正弦振蕩項:其振幅衰減的快慢由x和wn決定，衰減系數(shù)：xwn衰減振蕩的頻率為wd，振蕩幅值隨x減小而加大。(t0)無穩(wěn)態(tài)誤差；無阻尼：=0(t0)響應(yīng)為無阻尼的等幅振蕩具有穩(wěn)定邊界

無阻尼自然頻率無阻尼：=0(t0)響應(yīng)為無阻尼的等幅振蕩具有穩(wěn)定邊界臨界阻尼：=1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，無振蕩、無超調(diào)、無穩(wěn)態(tài)誤差。臨界阻尼：=1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，過阻尼：>1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，無振蕩，過渡過程時間長，無穩(wěn)態(tài)誤差。過阻尼：>1(t0)系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量單調(diào)上升，無負阻尼（

<0）-1<ξ<0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。ξ<-1振蕩發(fā)散單調(diào)發(fā)散負阻尼（<0）-1<ξ<0極點實部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系幾點結(jié)論：（1）二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性：ξ<0時，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；ξ=0時，出現(xiàn)等幅振蕩;

0<ξ<1時，有振蕩，ξ愈小，振蕩愈嚴重，但響應(yīng)愈快;ξ≥1時，無振蕩、無超調(diào)，過渡過程長；幾點結(jié)論：（1）二階系統(tǒng)的阻尼比ξ決定了其振蕩特性：ξ<（2）ξ一定時，ωn越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速。

系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)的快速性越好。（2）ξ一定時，ωn越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越迅速。（3）工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過大的振蕩。（3）工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系過阻尼：>1(t0)欠阻尼：0<<1無阻尼：=0臨界阻尼：=1二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

過阻尼：>1(t0)欠阻尼：0<<1無阻尼：=0臨過阻尼：>1(t0)欠阻尼：0<<1臨界阻尼：=1無阻尼：=0二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)

過阻尼：>1(t0)欠阻尼：0<<1臨界阻尼：=1二階系統(tǒng)在跟蹤單位速度函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差為

0.4-0.8穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng)時間超調(diào)量穩(wěn)態(tài)誤差響應(yīng)時間超調(diào)量二階系統(tǒng)在跟蹤單位速度函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差為在控制系統(tǒng)設(shè)計時，對開環(huán)放大倍數(shù)K取不同的值，可以得到不同的x和wn，從而改變穩(wěn)態(tài)誤差的大小。在控制系統(tǒng)設(shè)計時，對開環(huán)放大倍數(shù)K取不同的值，可以得到不二、二階系統(tǒng)的性能指標在許多實際情況中，評價控制系統(tǒng)動態(tài)性能的好壞，是通過系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)的特征量來表示的。通常，希望二階系統(tǒng)工作在的欠阻尼狀態(tài)下。會造成系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的嚴重超調(diào)，將使系統(tǒng)的響應(yīng)變得緩慢。

二、二階系統(tǒng)的性能指標在許多實際情況中，評價控上升時間峰值時間調(diào)整時間最大超調(diào)量穩(wěn)態(tài)值的２％或５％瞬態(tài)指標定義：上升時間峰值時間調(diào)整時間最大超調(diào)量穩(wěn)態(tài)值的２％或５％瞬態(tài)指標上升時間峰值時間調(diào)整時間二階欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)指標上升時間峰值時間調(diào)整時間二階欠阻尼系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)指標最大超調(diào)量振蕩次數(shù)（Mp）最大超調(diào)量振蕩次數(shù)（Mp）（1）二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和

決定。（2）增加

降低振蕩，減小超調(diào)量Mp

和振蕩次數(shù)N；

系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加。（3）

一定，ωn越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、tp、ts越小。（4）Mp、N僅與

有關(guān)，而tr、tp、ts與

、ωn有關(guān)，通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來確定

。

一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整ωn以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時間。瞬態(tài)指標性質(zhì)：（1）二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和決定。（2）增加降低例：例：3.4高階系統(tǒng)的時域分析

若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。在控制工程中，大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應(yīng)，然后按上述二階系統(tǒng)的分析方法來確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標。但是，高階系統(tǒng)的分布計算比較困難，同時，在工程設(shè)計的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。因此，工程上通常把高階系統(tǒng)適當?shù)睾喕傻碗A系統(tǒng)進行分析。下面簡單地介紹高階系統(tǒng)時域響應(yīng)的確定方法及研究高階系統(tǒng)性能的思路和途徑。3.4高階系統(tǒng)的時域分析若描述系統(tǒng)的微分設(shè)三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)

令輸入信號:設(shè)三階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令輸入信號:高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成。二階系統(tǒng)在單位階躍信號作用下的輸出信號為當高階系統(tǒng)的時域響應(yīng)是由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響三階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)輸出比較：（1）兩者的穩(wěn)態(tài)分量是一樣的，都等于1，這是因為兩個系統(tǒng)的輸入信號相同。（2）兩者都有正弦（余弦）衰減項。這是因為三階系統(tǒng)與二階系統(tǒng)都有一對共軛復(fù)數(shù)閉環(huán)極點；（3）三階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)比二階系統(tǒng)的輸出響應(yīng)多一項指數(shù)衰減項。因為，對三階系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的影響是：使減小，使增加。三階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)輸出比較：（1）兩者的穩(wěn)態(tài)分量是一樣的，都三階系統(tǒng)有三個閉環(huán)極點：

是一對共軛復(fù)數(shù)極點,與二階系統(tǒng)相同一個負實數(shù)極點實部實部實部表達了閉環(huán)極點距離虛軸的距離。反映了它們距[s]平面上虛軸的遠近程度的比值.三階系統(tǒng)有三個閉環(huán)極點：是一對共軛復(fù)數(shù)極點,一個負實數(shù)極點衰減得慢，所以負實數(shù)極點對c(t)影響大．相對來說衰減得太快

在動態(tài)響應(yīng)中起主導(dǎo)作用，使c(t)的形狀發(fā)生質(zhì)變—不振蕩或以指數(shù)規(guī)律為基準進行振蕩，即c(t)曲線無超調(diào)量。

衰減得慢，所以負實數(shù)極點對c(t)影響大．相對來說衰減得太快衰減得快，所以對c(t)影響小．相對來說衰減得太慢

正弦衰減項在動態(tài)響應(yīng)中起主導(dǎo)作用．衰減得快，所以對c(t)影響小．相對來說衰減得太慢正弦相對來講衰減非?？烊A系統(tǒng)已變成二階系統(tǒng)

三階系統(tǒng)就可近似地看作是二階系統(tǒng)因為時，指數(shù)衰減項在只由（即二階系統(tǒng)）引起的階躍響應(yīng)的上升時間之內(nèi)就衰減完了。

相對來講衰減非?？烊A系統(tǒng)已變成二階系統(tǒng)三階系統(tǒng)就可近似地

控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)分量是由閉環(huán)極點造成的.一個穩(wěn)定的高階系統(tǒng)，如有個n閉環(huán)極點，則c(t)動態(tài)響應(yīng)中就有n項暫態(tài)分量。這n項暫態(tài)分量對c(t)動態(tài)響應(yīng)的影響如何，主要看造成該項暫態(tài)分量的閉環(huán)極點距離虛軸的遠近程度。若距虛軸較遠的閉環(huán)極點的實部與距虛軸最近的閉環(huán)極點的實部的比值大于或等于5，且在距離虛軸最近的閉環(huán)極點附近不存在閉環(huán)零點,這時離虛軸最近的閉環(huán)極點將對系統(tǒng)的動態(tài)特性起主導(dǎo)作用，稱之為閉環(huán)主導(dǎo)極點，它常以一對共軛復(fù)數(shù)極點的形式出現(xiàn)。控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)中的暫態(tài)分量是由閉環(huán)極點造成（２）閉環(huán)零點的作用還表現(xiàn)在使過渡過程的峰值時間縮短，提高系統(tǒng)對控制信號的快速性，且零點越靠近虛軸，上述作用便越大。但若零點離虛軸太近，將導(dǎo)致超調(diào)量s%增大，使系統(tǒng)的阻尼性能變壞。因此在配置閉環(huán)零點時，要很好地解決tp與s%之間的矛盾。（３）閉環(huán)零點和極點，當它們彼此靠得很近時，它們對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)的影響將互相抵消。閉環(huán)零點只影響響應(yīng)中暫態(tài)分量的系數(shù)，即影響暫態(tài)分量衰減的初始值，不影響暫態(tài)分量中結(jié)論：（１）控制系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的類型取決于閉環(huán)極點，而過渡過程的具體形狀由閉環(huán)極點、閉環(huán)零點共同決定。

（２）閉環(huán)零點的作用還表現(xiàn)在使過渡過程的峰值時間縮短，提高系3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定的概念和定義

所謂自動控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就是系統(tǒng)能夠抵抗使它偏離穩(wěn)定狀態(tài)的擾動作用，重新返回原來穩(wěn)態(tài)的性能，即在去掉作用于系統(tǒng)上的擾動之后，系統(tǒng)能夠以足夠精確的程度恢復(fù)初始平衡狀態(tài)。

穩(wěn)定性是系統(tǒng)在擾動消失后，自身具有的一種恢復(fù)能力，它是系統(tǒng)的一種固有特性，這種特性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與外作用無關(guān)。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、穩(wěn)定的概念和定義所謂穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖1擺運動示意圖Af圖2不穩(wěn)定系統(tǒng)圖3小范圍穩(wěn)定系統(tǒng)dfcA圖3，小球超出了C、D范圍后系統(tǒng)就不再是線性的，故可以認為該系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)是穩(wěn)定的。圖1為穩(wěn)定的系統(tǒng)。圖2為不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定與不穩(wěn)定系統(tǒng)的示例圖1擺運動閉環(huán)極點分布與動態(tài)響應(yīng)關(guān)系閉環(huán)極點分布與動態(tài)響應(yīng)關(guān)系二.穩(wěn)定的充要條件線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的所有根均具有負實部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于為S平面的左半部分（不包括虛軸）。

判斷穩(wěn)定性一般方法：解出全部特征根，判斷特征根在[s]平面內(nèi)位置．代數(shù)判據(jù)，頻率判據(jù)

二.穩(wěn)定的充要條件判斷穩(wěn)定性一般方法：解出全部特征根，判斷特三、勞斯－霍維茲穩(wěn)定判據(jù)

為了判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就要求出系統(tǒng)特征方程的根，并檢驗它們是否都具有負實部。但是，這種求解系統(tǒng)特征方程的方法，對低階系統(tǒng)尚可以進行，而對高階系統(tǒng)，將會遇到較大的困難。因此，人們希望尋求一種不需要求解的特征方程而能判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的間接方法－－勞斯－霍維茲判據(jù)勞斯－霍維茲判據(jù)利用特征方程的各項系數(shù)進行代數(shù)運算，得出全部特征根具有負實部的條件，以此作為判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)，因此，這種判據(jù)又稱為代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)。三、勞斯－霍維茲穩(wěn)定判據(jù)1、穩(wěn)定的必要條件

設(shè)系統(tǒng)的特征方程為若該方程的特征根為pi（1,2,….n）,該n個根可以是實數(shù)也可以是復(fù)數(shù)，則

……將上式展開1、穩(wěn)定的必要條件……將上式展開如果特征方程的根都具有負實部，則所有系數(shù)大于零。

根據(jù)必要條件，在判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，可事先檢查系統(tǒng)特征方程的系數(shù)是否都大于零，若有任何系數(shù)是負數(shù)或等于零，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。但是，當特征方程滿足穩(wěn)定的必要條件時，并不意味著系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，為了進一步確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以使用勞斯－霍維茲判據(jù)。系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是其特征方程的各項系數(shù)均為正。如果特征方程的根2、霍維茲判據(jù)假定線性系統(tǒng)特征方程為（1）系統(tǒng)的特征方程式的各項系數(shù)全部為正值，且不等于零；（2）霍維茲行列式中，各對角線行列式都大于零?；艟S茲判據(jù)為2、霍維茲判據(jù)假定線性系統(tǒng)特征方程為（1）系統(tǒng)的特征方霍維茲判據(jù)中的各階行列式霍維茲判據(jù)中的各階行列式[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為

解：因本例特征方程式為即

其各項系數(shù)為正，又有所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。試用霍維茲判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為解：因本例特征方程式為3、勞斯判據(jù) 設(shè)系統(tǒng)的特征方程為利用方程各項系數(shù)構(gòu)造勞斯表：…………………………………………3、勞斯判據(jù)利用方程各項系數(shù)構(gòu)造勞斯表：………………應(yīng)用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般可以按如下順序進行：1、確定系統(tǒng)是否滿足穩(wěn)定的必要條件。當特征方程的系數(shù)不滿足ai>0(i=0,1,2,……n)時，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。2、當特征方程的系數(shù)滿足ai>0(i=0,1,2,……n)時，計算勞斯表。當勞斯表的第一列系數(shù)都大于零時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果第一列出現(xiàn)小于零的系數(shù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性步驟：應(yīng)用勞斯表判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時，一般可以按如下順序進行[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解因本例特征方程式為即 其各項系數(shù)為正。[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為試用勞斯判據(jù)判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性排出勞斯表：

由勞斯表的第一列看出，第一列中系數(shù)符號不全為正值，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。另外，改變符號兩次（從+1到-6再到+5），說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個正實部的根，即在[s]右半面內(nèi)有兩個閉環(huán)極點。排出勞斯表：由勞斯表的第一列看出，第一列中系數(shù)符[例]

已知控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示，其中試確定欲使系統(tǒng)穩(wěn)定時值K的取值范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)的特征方程為欲滿足穩(wěn)定的必要條件，必須使K＞0。

[例]已知控制系統(tǒng)的方框圖如圖所示，其中及

因此，滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，其K值的取值范圍為要滿足穩(wěn)定的充分條件，必須使

要滿足穩(wěn)定的充分條件，必須使在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)時，勞斯表有時會遇到下列兩種特殊情況：（1）某行第一列的元素等于零，而另外有元素不等于零；（2）某行所有元素均為零。這種情況表明在[s]平面內(nèi)存在一些大小相等符號相反的根（實根、共軛虛報或?qū)嵅糠栂喈愄摬繑?shù)值相同的共軛復(fù)根）。勞斯穩(wěn)定判據(jù)特殊情況處理：在運用勞斯穩(wěn)定判據(jù)時，勞斯表有時會遇到下列兩種特殊情況：勞[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為負值變化兩次，含有兩個具有正實部的根，系統(tǒng)不穩(wěn)定。[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為負值變化兩次，含有兩個具有正實[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為

（各項乘以1/2）行為系數(shù)構(gòu)成輔助方程

有共軛虛根[例] 設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為（各項乘以1/2）行為系數(shù)構(gòu)成由于系統(tǒng)有兩對虛根，系統(tǒng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。輔助方程求導(dǎo)得到下一行系數(shù)。由于系統(tǒng)有兩對虛根，系統(tǒng)的暫態(tài)分量為等幅振蕩，所以系統(tǒng)不

在系統(tǒng)的分析中，勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時還能給出系統(tǒng)的某些參數(shù)的取值范圍。但是，它的應(yīng)用也具有一定的局限性，通常它只能提供系統(tǒng)絕對穩(wěn)定性的結(jié)論，而不能指出系統(tǒng)是否具有滿意的動態(tài)過程。此外，當系統(tǒng)不穩(wěn)定時，它不能提供改善系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法和途徑。在系統(tǒng)的分析中，勞斯判據(jù)可以根據(jù)系統(tǒng)特征方程的系數(shù)3.6控制系統(tǒng)的誤差分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控制信號的準確度或抑制擾動信號的能力，用穩(wěn)態(tài)誤差來描述。在系統(tǒng)的分析、設(shè)計中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項重要的性能指標，它與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及外作用的形成有關(guān)，也與元件的不靈敏、零點漂移、老化及各種傳動機械的間隙、摩擦等因素有關(guān)。

3.6控制系統(tǒng)的誤差分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量反映系統(tǒng)跟蹤控一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義

系統(tǒng)的誤差e(t)一般定義為輸出量的希望值與實際值之差。

式中,cr(t)為系統(tǒng)輸出量的希望值，c(t)為輸出量的實際值。誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，被定義為穩(wěn)態(tài)誤差，記為ess(t)

理想環(huán)節(jié)一、穩(wěn)態(tài)誤差的定義誤差信號的穩(wěn)態(tài)分量，被定義為穩(wěn)態(tài)誤差，記控制系統(tǒng)的偏差信號是

通常

系統(tǒng)的誤差信號與偏差信號之間的關(guān)系為

控制系統(tǒng)的偏差信號是通常系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）

擾動穩(wěn)態(tài)誤差（由擾動輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）對于隨動系統(tǒng)，給定輸入變化，要求系統(tǒng)輸出量以一定的精度跟隨輸入量的變化，因而用給定穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。對恒值系統(tǒng)，給定輸入通常是不變的，需要分析輸出量在擾動作用下所受到的影響，因而用擾動穩(wěn)態(tài)誤差來衡量系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算給定穩(wěn)態(tài)誤差（由給定輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差）二、穩(wěn)態(tài)誤差的計算1、給定穩(wěn)態(tài)誤差

不計擾動輸入的影響，求系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差。令可直接用偏差信號來表示系統(tǒng)的誤差信號。所以，系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為應(yīng)用終值定理有

1、給定穩(wěn)態(tài)誤差令可直接用偏差信號來表示系統(tǒng)的誤差信號稱Kp為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位階躍輸入，R(s)=1/s,求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為令在單位階躍輸入下，給定穩(wěn)態(tài)誤差決定于系統(tǒng)的位置穩(wěn)態(tài)誤差。稱Kp為穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)。穩(wěn)態(tài)誤差可表示為單位階躍輸入時的

對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)）

對于0型系統(tǒng)對于1型系統(tǒng)（或高于1型的系統(tǒng)）對于0型系統(tǒng)可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，誤差的大小與系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)K成反比，K越大,越小，只要K不是無窮大，系統(tǒng)總有誤差存在。對實際系統(tǒng)來說，通常是允許存在穩(wěn)態(tài)誤差的，但不允許超過規(guī)定的指標。為了降低穩(wěn)態(tài)誤差，可在穩(wěn)定條件允許的前提下，增大系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)，若要求系統(tǒng)對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，則必須選用1型或高于1型的系統(tǒng)。可見，由于0型系統(tǒng)中沒有積分環(huán)節(jié)，它對階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于單位斜坡輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)對于0型系統(tǒng)，對于Ⅰ型系統(tǒng)，

對于0型系統(tǒng)，

對于2型系統(tǒng)（或高于2型的系統(tǒng)），

在單位斜坡輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，而1型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。為了使穩(wěn)態(tài)誤差不超過規(guī)定值，可以增大系統(tǒng)的K值。2型或高于2型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總為零。因此，對于單位斜坡輸入，要使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值或為零，必需，也即系統(tǒng)必須有足夠積分環(huán)節(jié)。

單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差

對于單位拋物線輸入，此時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

稱Ka為穩(wěn)態(tài)加速度誤差系數(shù)。

單位拋物線輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差對于Ⅰ型系統(tǒng)對于０型系統(tǒng)對于Ⅰ型系統(tǒng)對于０型系統(tǒng)對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)）

對于Ⅱ型系統(tǒng)對于3型系統(tǒng)（或高于3型的系統(tǒng)）對于Ⅱ型系統(tǒng)以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和Ⅰ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為，Ⅱ型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為一定值，且誤差與開環(huán)放大系數(shù)成反比。對Ⅲ型或高于Ⅲ型的系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差為零。但是，此時要使系統(tǒng)穩(wěn)定則比較困難。以上計算表明，在單位拋物線輸入作用下，0型和Ⅰ型

在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差如表所示。III系統(tǒng)類別靜態(tài)誤差系數(shù)階躍輸入斜坡輸入r(t)=Rt加速度輸入III在各種典型輸入信號作用下，不同類型系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)

若給定輸入信號是上述典型信號的線性組合，則系統(tǒng)相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差就由疊加原理求出。例如，若輸入信號為則系統(tǒng)的總穩(wěn)態(tài)誤差為綜上所述，穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)Kp、Kv和Ka描述了系統(tǒng)對減小和消除穩(wěn)態(tài)誤差的能力，因此，它們是系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)特性的一種表示方法。提高開環(huán)放大系數(shù)K或增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)數(shù)，都可以達到減小或消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的目的。但是，這兩種方法都受到系統(tǒng)穩(wěn)定性的限制。因此，對于系統(tǒng)的準確性和穩(wěn)定性必須統(tǒng)籌兼顧、全面衡量。

例:設(shè)圖所示系統(tǒng)的輸入信號r(t)=10+5t，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并求出其穩(wěn)態(tài)誤差。解:由圖求得系統(tǒng)的特征方程為

R(s)-C(s)R(s)-C(s)由特征方程列勞斯表21+0.5K3K要使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須K>0,3(1+0.5K)－2K>0解得K>0，K<6所以，當0<K<6時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)分別為K由特征方程列勞斯表K

所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為上述結(jié)果表明，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與K成反比，K值越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小，但K值的增大受到穩(wěn)定性的限制，當K>6時，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。

就要求出系統(tǒng)特征方程的根課件2、擾動穩(wěn)態(tài)誤差

系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差的大小，反映了系統(tǒng)的抗干擾能力。擾動輸入可以作用在系統(tǒng)的不同位置，因此，即使系統(tǒng)對于某種形式的給定輸入的穩(wěn)態(tài)誤差為零，但對同一形式的擾動輸入其穩(wěn)態(tài)誤差則不一定為零。擾動不可避免擾動穩(wěn)態(tài)誤差負載力矩的變化、放大器的零點漂移、電網(wǎng)電壓波動和環(huán)境溫度的變化等，這些都會引起穩(wěn)態(tài)誤差。2、擾動穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)在擾動輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動輸入引起的誤差為而此時系統(tǒng)的輸出為

R(s)-B(s)+N(s)C(s)擾動輸入作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)擾動輸入引起的誤差為R(s)-B(s)+N(s)C(s)擾動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

給定輸入，擾動輸入（Rr和Rn均為常數(shù)），試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。例設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其中系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為給定輸入解

當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給定穩(wěn)態(tài)誤差和擾動穩(wěn)態(tài)誤差的疊加。令n(t)=0，求得給定輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為所以給定穩(wěn)態(tài)誤差為R(s)-+N(s)C(s)解當系統(tǒng)同時受到給定輸入和擾動輸入的作用時，其穩(wěn)定誤差為給

令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為

所以擾動穩(wěn)態(tài)誤差為

r(t)和n(t)同是階躍信號，由于在系統(tǒng)中的作用點不同，故它們產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。由擾動穩(wěn)態(tài)誤差的表達式可見，提高系統(tǒng)前向通道中擾動信號作用點之前的環(huán)節(jié)的放大系數(shù)（即K1），可以減小系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差。

令r(t)=0時，求得擾動輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為為了分析系統(tǒng)中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)對穩(wěn)態(tài)誤差的影響，我們假設(shè)圖中給定輸入和擾動輸入保持不變。這時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可按上述相同的方法求出，即該系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為

系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為若要消除系統(tǒng)的給定穩(wěn)態(tài)誤差，則系統(tǒng)前向通道中串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)都起作用。若要消除系統(tǒng)的擾動穩(wěn)態(tài)誤差，則在系統(tǒng)前向通道中只有擾動輸入作用點之前的積分環(huán)節(jié)才起作用。

因此，若要消除由給定輸入和擾動輸入同時作用于系統(tǒng)所產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差，則串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)應(yīng)集中在前向通道中擾動輸入作用點之前。系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)誤差為三、減小或消除穩(wěn)態(tài)誤差的方法

為了減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，可以增加開環(huán)傳遞函數(shù)中的串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目或提高系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。但是，串聯(lián)的積分環(huán)節(jié)一般不超過2，而開環(huán)放大系數(shù)也不能任意增大，否則系統(tǒng)將可能不穩(wěn)定。為了進一步減小系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差，可以采用加前饋控制的復(fù)合控制方法，即從給定輸入或擾動輸入處引出一個前饋