奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)課件

1/28§5頻率響應(yīng)法

§5.1頻率特性的基本概念

§5.2對(duì)數(shù)頻率特性（Bode圖）

§5.3幅相頻率特性（Nyquist圖）

§5.4用頻率法辨識(shí)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

§5.5頻域穩(wěn)定判據(jù)（奈奎斯特）

§5.6相對(duì)穩(wěn)定性分析

§5.7頻率性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系1/28§5頻率響應(yīng)法§5.1頻率特性的基12/28§5.5頻域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件—

全部閉環(huán)極點(diǎn)均具有負(fù)的實(shí)部由閉環(huán)特征多項(xiàng)式系數(shù)（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性不能研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)—

Routh判據(jù)

由開環(huán)頻率特性直接判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性

可研究如何調(diào)整系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)改善系統(tǒng)穩(wěn)定性及性能問題頻域穩(wěn)定判據(jù)—

Nyquist

判據(jù)

對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

2/28§5.5頻域穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件—全部閉21.輻角原理

S1代入F(S)得F(S1)，S2代入F(S)得F(S2)；S沿Γs連續(xù)變化一周(不穿過F(S)的極點(diǎn))，則F(S)沿封閉曲線ΓF連續(xù)變化一周。ΓFΓsF(s2)s1F(s1)S2SσjwσjωFImRe

F(s1)1.輻角原理S1代入F(S)得F(S1)，S2代3不包圍F(s)零點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(S1+Zi)不積累角度；

Γs包圍一個(gè)F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(S1+Zi)的相角積累2π,或者說，ΓF順時(shí)針繞F平面零點(diǎn)一周；

Γs包圍Z個(gè)F(s)的零點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(S1+Zi)的相角積累Z*(2π)，或者說，ΓF順時(shí)針繞F平面零點(diǎn)Z圈。ImReFF(S1)σjwSS1ziS1+ziziP183不包圍F(s)零點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，(4P182例子曲線Γs包圍一個(gè)F(s)的極點(diǎn)，當(dāng)S1沿Γs順時(shí)針連續(xù)變化一周，因?yàn)镻i映射到F(s)上是在無窮遠(yuǎn)，因此ΓF逆時(shí)針繞F平面零點(diǎn)一周，(S+Pi)的相角積累是-2π角度。

幅角原理：設(shè)F(s)除平面上的有限個(gè)奇點(diǎn)外，為單值解析函數(shù)，若S平面上任選一條封閉曲線Cs以順時(shí)針方向包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，且使它不通過F(s)的奇點(diǎn)，則其在F(s)平面上的映射曲線CF將圍繞著坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)N周，其中N=Z-P。當(dāng)N>0，表示曲線CF以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)N<0，表示曲線CF以逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)。P182例子曲線Γs包圍一個(gè)F(s)的極點(diǎn)，當(dāng)56/28§5.5.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

p184可見F(s)的零點(diǎn)就是閉環(huán)極點(diǎn)，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)就是開環(huán)極點(diǎn)。6/28§5.5.2奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)p184可見F(s)6奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)思路:根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征根的位置可以判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性：如果根平面的右半面有閉環(huán)根，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定(Z>0)；如果根平面的右半面沒有閉環(huán)根，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定(Z=0)。F(s)位于右半平面極點(diǎn)數(shù)(開環(huán)不穩(wěn)極點(diǎn))F(s)的零點(diǎn)數(shù)(閉環(huán)極點(diǎn))由輻角原理確定奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)思路:根據(jù)系統(tǒng)閉環(huán)特征根的位置可以判定系7包圍整個(gè)右半平面的曲線映射在F(s)平面上形狀如何？

順時(shí)針包圍整個(gè)右半平面曲線：S從0jj∞（正虛軸），然后順時(shí)針轉(zhuǎn)過到-j∞（負(fù)虛軸）-j0。

S從0jj∞變化，F(xiàn)(s)|s=j=F(j)=1+G(j)將奈氏曲線偏移一個(gè)單位；

S從-j∞-j0變化，F(xiàn)(s)|s=-j=F(-j)=1+G(-j)，它與F(j)共軛。

S從j∞-j∞變化時(shí)，G(j)=G(-j)=0，在F(j)=1點(diǎn)上;

p184包圍整個(gè)右半平面的曲線映射在F(s)平面上形狀如何？8例1：畫出奈氏曲線如右圖由于F(s)=1+G(s),所以映射對(duì)其原點(diǎn)的圍繞等價(jià)于G(s)對(duì)G平面上的（-1，j0）點(diǎn)的圍繞，如圖F(jω)j∞G(jω)-j∞G(-jω)jωkG(jω)0-1jωS-jωj∞0-j∞所以，該封閉曲線就是包圍S右半平面的封閉曲線在F(s)平面上的映射，另外，該封閉曲線“包圍F(s)的原點(diǎn)”=“包圍G(j

)平面的（-1，j0）點(diǎn)”。幅角原理修改為：奈氏曲線當(dāng)從-∞0∞變化，按順時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)的圈數(shù)等于F(s)的零點(diǎn)數(shù)目Z與極點(diǎn)數(shù)目P之差，即N=Z-P。在G(j

)圖中，曲線沒有包圍（-1，j0）點(diǎn)，N=0，可知F(s)的零、極點(diǎn)在右半面上的個(gè)數(shù)相等。類似P186例1：畫出奈氏曲線如右圖由于F(s)=1+G(s),9奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：當(dāng)從-∞到+∞變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性通過其開環(huán)頻率響應(yīng)G(j)H(j)曲線包圍（-1，j0）點(diǎn)來判斷。若P=0（即系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定）時(shí)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是G(j)H(j)曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)。

若P≠0（即系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定），則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定充要條件是G(j)H(j)曲線按逆時(shí)針方向包圍（-1，j0）點(diǎn)旋轉(zhuǎn)P圈。j∞G(jω)-j∞G(-jω)jωkG(jω)0-1奈奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)：當(dāng)從-∞到+∞變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)10分析例1系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)類似P186分析例1系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)類似P1811例2：已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：依題有(不穩(wěn)定)(穩(wěn)定)P185例2：已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：依題12例3：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下P185試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：依題有(穩(wěn)定)這表示對(duì)于K、T1和T2的任意正值，該閉環(huán)系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。

例3：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下P185試用奈氏判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)13虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，S平面上做封閉曲線時(shí)通過了極點(diǎn)，因此應(yīng)作修正：ωReImωω=∞ω=0∞ω=0+ReImjω=0jω=j0-XSajω=j0+虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，S平面上做一個(gè)小半圓C2繞過原點(diǎn)。虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)的奈氏判據(jù)這個(gè)小半圓映射為無窮大的半圓。wj￥=w??=+-變化，它的模從|)G(j|000,1SaQ虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)時(shí)，S平面上做封閉曲線時(shí)通過了極點(diǎn)，因此應(yīng)作14C2部分在GH平面上的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的半圓。C2部分在GH平面上的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的圓。p187C2部分在GH平面上的映射曲線是一個(gè)半徑為無窮大的半圓。C215圖5-47例4奈氏圖例4：一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為p188解：依題有(穩(wěn)定)圖5-47例4奈氏圖例4：一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函16例5：已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：依題有(不穩(wěn)定)p188例5：已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：依題有(不穩(wěn)定)p18817例6：已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：依題有p189例6：已知一系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為解：依題有p18918

說明閉環(huán)系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在S平面的右方，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。說明19例7：已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)例7：已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：依題2021/28§5.5奈氏判據(jù)的應(yīng)用擴(kuò)展例8：已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù),分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：依題有(穩(wěn)定)(不穩(wěn)定)21/28§5.5奈氏判據(jù)的應(yīng)用擴(kuò)展例8：已知單位反饋系2122/28§5.5.3奈氏判據(jù)與對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)

1)GH平面上單位圓的圓周與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上0dB線相對(duì)應(yīng)，單位圓的外部對(duì)應(yīng)于dB，單位圓的內(nèi)部對(duì)應(yīng)于dB；由于開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性的繪制較其奈氏圖的繪制更為簡(jiǎn)單、方便，開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性是否也適用奈氏穩(wěn)定判據(jù)?開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖與相應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖之間有下列對(duì)應(yīng)關(guān)系：

2)平面上的負(fù)實(shí)軸與對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的線相對(duì)應(yīng)。22/28§5.5.3奈氏判據(jù)與對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)1)GH平22如果曲線以逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)一周，則此曲線必然由上向下穿越負(fù)實(shí)軸的線段一次。由于這種穿越使相角增大，故稱為正穿越。反之，若曲線按順時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)一周，則此曲線將由下向上穿越負(fù)實(shí)軸的線段一次。由于這種穿越使相角減小，故稱為負(fù)穿越。

圖5-52所示為正負(fù)穿越數(shù)各一次的圖形。顯然對(duì)應(yīng)于圖5-52上的正負(fù)穿越在伯德圖上表現(xiàn)為在的頻域內(nèi)，當(dāng)增加時(shí)，相頻曲線由下而上(負(fù)穿越)和由上而下(正穿越)穿過線各一次。如果曲線以逆時(shí)針方向包圍(-1,j0)點(diǎn)23應(yīng)用上式可以根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線判別相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。不難看出當(dāng)由變化時(shí)，奈氏曲線對(duì)于(-1,j0)點(diǎn)圍繞的周數(shù)N與其相頻特性曲線在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的負(fù)、正穿越數(shù)之差相等，即有式中，為在dB頻率范圍內(nèi)的負(fù)穿越數(shù)；為在dB頻率范圍內(nèi)的正穿越數(shù)。這樣上式便可改寫為應(yīng)用上式可以根據(jù)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線判別相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性24)L(wwBode圖L(

)=0))H(jG(jwwBode圖實(shí)軸增益為零，對(duì)應(yīng)奈氏曲線是單位圓ReIm-1wwF)L(wwwwF

c增益為零時(shí)的頻率稱穿越（剪切）頻率20lgK

g-1800相角=-180°時(shí)的頻率稱相角穿越頻率

g

cK對(duì)應(yīng)點(diǎn)ReIm-1)L(wwBode圖L()=0))H(jG(jwwBode25例9：采用對(duì)數(shù)頻率特性判別例3所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為據(jù)此作出的開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性如右圖所示。p190由于開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的,即P=0，因而閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在的頻域內(nèi)，相頻特性不穿越線，或正、負(fù)穿越數(shù)之差為零。由圖可見，在的頻域內(nèi)，

總大于,故閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例9：采用對(duì)數(shù)頻率特性判別例3所示系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解