數(shù)學(xué)人教A版高中必修一（2019新編）5-1-2弧度制（分層作業(yè)）

5.1.2弧度制（分層作業(yè)）（夯實基礎(chǔ)+能力提升）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）半徑為，圓心角是(弧度)的扇形面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由扇形的面積公式和弧長公式即可得答案.【詳解】解：因為扇形的半徑為，圓心角是(弧度)，所以扇形的弧長，又因為，所以.故選：A.2．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）角的弧度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用公式可求角的弧度數(shù).【詳解】角對應(yīng)的弧度數(shù)為，故選：B.3．（2022·江西上饒·高一階段練習(xí)）如圖所示的時鐘顯示的時刻為：，此時時針與分針的夾角為則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由圖可知為周角的，計算可得結(jié)果．【詳解】解：由圖可知，．故選：B．4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）的角化為弧度制的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)角度和弧度的換算公式即可得到答案.【詳解】．故選：C.5．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)高一期末）如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個圓心角所對的弧長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定圓的半徑，再利用弧長公式，即可得到結(jié)論.【詳解】解：設(shè)半徑為，所以．所以，所以弧長．故選：A．6．（2022·江西省萬載中學(xué)高一階段練習(xí)）若扇形的面積為1cm2，周長為4cm，則扇形圓心角的弧度數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】設(shè)圓心角為，半徑為，根據(jù)扇形面積公式及弧長公式得到方程組，解得即可.【詳解】解：設(shè)圓心角為，半徑為，依題意可得，解得；故選：B7．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）在半徑為1的單位圓中，一條弦的長度為，則弦所對的圓心角是（

）A． B． C． D．=【答案】D【分析】連接圓心與弦的中點，解三角形求的大小.【詳解】連接圓心與弦的中點，由圓的性質(zhì)可得，在中，，，,所以，又，所以，所以,所以，故選：D.8．（2022·安徽省舒城中學(xué)高一開學(xué)考試）給出下列四個命題:①-75°是第四象限角；②小于的角是銳角；③第二象限角比第一象限角大；④一條弦的長等于半徑，這條弦所對的圓心角等于1弧度.其中正確的命題有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】利用反例可判斷②③的正誤，根據(jù)1弧度的定義可判斷④的正誤，根據(jù)范圍可判斷①的正誤.【詳解】對于①，因為，故為第四象限角，對于②③，，故為第二象限角，但且為第一象限角，故②③錯誤，對于④，因為1弧度的圓心角所對的弧長為半徑，此時對應(yīng)的弦長小于半徑，故④錯誤，故選：A.9．（2022·全國·高一課時練習(xí)）玉雕壁畫是采用傳統(tǒng)的手工雕刻工藝，加工生產(chǎn)成的玉雕工藝畫．某扇形玉雕壁畫尺寸（單位：cm）如圖所示，則該玉雕壁畫的扇面面積約為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)弧長公式由條件求出扇形的圓心角和半徑，再由面積公式求出扇面面積.【詳解】如圖，設(shè)，，由題圖及弧長公式可得解得設(shè)扇形COD、扇形AOB的面積分別為，，則該玉雕壁畫的扇面面積．故選：D.10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知角的終邊與的終邊重合，則的終邊不可能在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】首先表示角的取值，即可得到的取值，再對分類討論，即可得解.【詳解】解：因為角的終邊與的終邊重合，所以，，所以，，令，則，此時的終邊位于第二象限；令，則，此時的終邊位于第三象限；令，則，此時的終邊位于第四象限．所以的終邊不可能在第一象限，故選：A．二、多選題11．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知扇形的周長是6，面積是2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AD【分析】設(shè)出扇形所在圓的半徑及其弧長，再由條件列出方程求解即可作答.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則解得或，又圓心角，所以或，故選：AD.12．（2022·全國·高一單元測試）中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．B．若，扇形的半徑，則C．若扇面為“美觀扇面”，則D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為【答案】AC【分析】首先確定所在扇形的圓心角，結(jié)合扇形面積公式可確定A正確；由可求得，代入扇形面積公式可知B錯誤；由即可求得，知C正確；由扇形面積公式可直接判斷出D錯誤.【詳解】對于A，與所在扇形的圓心角分別為，，，A正確；對于B，，，，B錯誤；對于C，，，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.13．（2022·全國·高一學(xué)業(yè)考試）已知扇形的周長是12，面積是8，則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（

）A．1 B．4 C．2 D．3【答案】AB【分析】利用扇形的弧長與面積公式建立方程組求解，再利用圓心角公式.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，面積為S，圓心角為，則，，解得，或，，則或1．故C，D錯誤.故選：AB．14．（2022·安徽·高一期中）（

）A．是正數(shù) B．是負數(shù) C．大于 D．大于【答案】ACD【分析】根據(jù)弧度的含義，判斷2弧度的角是第二象限角，由此可判斷答案.【詳解】由于，故2弧度的角是第二象限角，則，故A正確，B錯誤；，，故,故C，D正確；故選：ACD三、填空題15．（2022·全國·高一課時練習(xí)）的角化為角度制的結(jié)果為_______．【答案】【分析】利用角度與弧度的互化即可求得對應(yīng)角度制的結(jié)果【詳解】故答案為：16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，其側(cè)面展開扇形的圓心角大小為，則這個圓錐的母線長為______．【答案】12【分析】設(shè)母線長為，由弧長公式計算可得；【詳解】解：設(shè)母線長為，則側(cè)面展開的扇形的弧長為，由題意，即，因為，故．故答案為：17．（2022·黑龍江·哈師大附中高一開學(xué)考試）一個扇形的弧長為6π，面積為27π，則此扇形的圓心角為____________度．【答案】【分析】設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，根據(jù)弧長與扇形面積公式得到方程組，解得即可.【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為，圓心角為，依題意可得，解得；故答案為：18．（2022·全國·高一課時練習(xí)）若兩個角的差為1弧度，和為1°，則這兩個角的弧度數(shù)分別為______．【答案】；【分析】設(shè)這兩個角的弧度數(shù)分別為，，先將化為弧度，然后由條件可得方程，解出方程可得到答案.【詳解】設(shè)這兩個角的弧度數(shù)分別為，，，因為，所以，則，即這兩個角的弧度數(shù)分別為，．故答案為：，19．（2022·四川巴中·高一期末（理））半徑為2cm，中心角為的扇形的弧長為______cm．【答案】【分析】先將圓心角角度化成弧度制，然后直接利用弧長公式進行求解即可．【詳解】解：圓弧所對的中心角為即為弧度，半徑為弧長為．故答案為：．20．（2022·河南安陽·高一期末）如圖，扇環(huán)ABCD中，弧，弧，，則扇環(huán)ABCD的面積__________．【答案】3【分析】根據(jù)弧長公式求出，，再由根據(jù)扇形的面積公式求解即可.【詳解】設(shè),因為弧，弧，，所以，，所以，，又扇形的面積為，扇形的面積為，所以扇環(huán)ABCD的面積．故答案為：3四、雙空題21．（2022·全國·高一課時練習(xí)）把弧度化成角度：（1）______；（2）2rad=______．【答案】

54°

【分析】根據(jù)結(jié)論將弧度轉(zhuǎn)化為度即可.【詳解】（1），（2），故答案為：54°，.五、解答題22．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，點是圓上的點.(1)若，，求劣弧的長；(2)已知扇形的周長為，求這個扇形的面積取得最大值時圓心角的大小.【答案】(1)(2)【分析】（1）由圓心角為可知為等邊三角形，由扇形弧長公式可求得結(jié)果；（2）設(shè)圓的半徑為，扇形的弧長為，圓心角為，可知；方法一：由，利用基本不等式可知當(dāng)時，取得最大值，由可求得結(jié)果；方法二：由，將表示成關(guān)于的二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可確定最大值點，由此可得，由可求得結(jié)果.【詳解】（1），，又，為等邊三角形，，則劣弧的長為.（2）設(shè)圓的半徑為，扇形的弧長為，圓心角為，扇形的周長為，，方法一：扇形面積（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），當(dāng)扇形面積取得最大值時，圓心角.方法二：扇形面積，則當(dāng)時，取得最大值，此時，當(dāng)扇形面積取得最大值時，圓心角.23．（2022·全國·高一）已知．(1)把表示成的形式，其中，；(2)求，使與的終邊相同，且．【答案】(1)(2)【分析】（1）將直接表示為的形式，其中，；（2）設(shè)，由可求得的值，即可得解.（1）解：.（2）解：，設(shè)，由可得，解得，，則，故.24．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如果一個扇形的周長為，那么當(dāng)它的半徑和圓心角分別為多少時，扇形的面積最大？【答案】當(dāng)扇形的半徑為，圓心角為時，扇形的面積最大【分析】設(shè)該扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，面積為，可得出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值，即可求得值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為，圓心角為，弧長為，面積為，則，所以，其中，所以，，所以當(dāng)時，最大，最大值為，此時.25．（2022·全國·高一階段練習(xí)）已知一扇形的圓心角為，周長為C，面積為S，所在圓的半徑為r．(1)若，cm，求扇形的弧長；(2)若cm，求S的最大值及此時扇形的半徑和圓心角．【答案】(1)cm；(2)S的最大值是，此時扇形的半徑是4cm，圓心角為2．【分析】（1）根據(jù)弧長公式即可計算；（2）將S表示成二次函數(shù)形式，利用二次函數(shù)性質(zhì)即可求其最值.（1）＝，扇形的弧長cm；（2）設(shè)扇形的弧長為l，半徑為r，則，∴，則，當(dāng)時，，cm，，∴S的最大值是，此時扇形的半徑是4cm，圓心角．26．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）時鐘的分針長6cm，從10:30到10:55，求：(1)分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)；(2)分針掃過的扇形的面積；(3)分針尖端所走過的弧長．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)每鐘分針轉(zhuǎn)進行求解即可；（2）根據(jù)扇形的面積公式進行求解即可；（3）根據(jù)弧長公式進行求解即可.(1)因為從10:30到10:55，所以一共走了分鐘，而每鐘分針轉(zhuǎn)，所以分針轉(zhuǎn)過的角為，它相當(dāng)于，又因為分針轉(zhuǎn)過的角度為負數(shù)，所以分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為；(2)因為分針長6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：，因此分針掃過的扇形的面積為：；(3)因為分針長6cm，所以分針尖端所走過的弧長為：.27．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）半徑為12cm的輪子，以400r/min的速度按順時針方向旋轉(zhuǎn)．(1)輪沿上的點每秒轉(zhuǎn)過的度數(shù)是多少？相應(yīng)的弧度數(shù)呢？(2)求輪沿上的點在輪子轉(zhuǎn)動1000°時所經(jīng)過的路程．【答案】(1)每秒轉(zhuǎn)過，對應(yīng)弧度為；(2).【分析】（1）由每分鐘的轉(zhuǎn)速求每秒轉(zhuǎn)過的弧數(shù)，再換算成度數(shù)即可.（2）先求出1000°對應(yīng)的弧度，利用弧長公式求所經(jīng)過的路程.(1)由題設(shè)，每秒轉(zhuǎn)過的弧數(shù)，對應(yīng)角度為度.(2)由，則在輪子轉(zhuǎn)動1000°時所經(jīng)過的路程為.【能力提升】一、單選題1．（2022·全國·高一）已知一扇形的周長為，則當(dāng)該扇形的面積取得最大時，圓心角大小為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)周長建立弧長與半徑間的關(guān)系，由扇形面積公式可得,利用二次函數(shù)求最值,并求出S最大時對應(yīng)的圓心角即可.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長為，則，所以，扇形面積，當(dāng)時，有最大值，此時圓心角，故選：D2．（2022·江蘇宿遷·高一期中）月牙泉，古稱沙井，俗名藥泉，自漢朝起即為“敦煌八景”之一，得名“月泉曉澈”，因其形酷似一彎新月而得名，如圖所示，月牙泉邊緣都是圓弧，兩段圓弧可以看成是的外接圓和以為直徑的圓的一部分，若，南北距離的長大約m，則該月牙泉的面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．572m2 B．1448m2 C．m2 D．2028m2【答案】D【分析】由題意可得，求出內(nèi)側(cè)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的弧長公式和面積公式求出弓形的面積，再求出以為直徑的半圓的面積，相減即可【詳解】設(shè)的外接圓的半徑為，則，得，因為月牙內(nèi)弧所對的圓心角為，所以內(nèi)弧的弧長，所以弓形的面積為，以為直徑的半圓的面積為，所以該月牙泉的面積為，故選：D3．（2022·遼寧·沈陽市第八十三中學(xué)高一階段練習(xí)）碭山被譽為“酥梨之鄉(xiāng)”，每逢四月，萬樹梨花開，游客八方來．如圖1，梨花廣場的標(biāo)志性建筑就是根據(jù)梨花的形狀進行設(shè)計的，建筑的五個“花瓣”中的每一個都可以近似看作由兩個對稱的弓形組成，圖2為其中的一個“花瓣”平面圖，設(shè)弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，則一個“花瓣”的面積為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用扇形面積公式和三角形面積公式求弓形面積，由此可得結(jié)果.【詳解】因為弓形的圓弧所在圓的半徑為，弦長為，所以弓形的圓弧所對的圓心角的大小為，所以弓形的面積，所以一個“花瓣”的面積為，故選：B.4．（2022·上海市川沙中學(xué)高一階段練習(xí)）在中，，以為圓心，為半徑作圓弧交于點，若弧等分的面積，且弧度，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析題意，首先設(shè)出扇形的半徑，表示出扇形的面積和直角三角形的面積，列方程即可求得.【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為.直角三角形POB中，，△POB的面積為.由題意得，所以.故選：B5．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高一階段練習(xí)）設(shè)圓的半徑為，點為圓周上給定一點，如圖，放置邊長為的正方形（實線所示，正方形的頂點與點重合，點在圓周上）.現(xiàn)將正方形沿圓周按順時針方向連續(xù)滾動，當(dāng)點首次回到點的位置時，點所走過的路徑的長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出示意圖，分析可知當(dāng)點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，計算出點每次滾動時點所走過的路程，即可得解.【詳解】由圖可知，圓的半徑為，正方形的邊長為，以正方形的邊為弦所對的圓心角為，正方形在圓上滾動時點的順序依次為如圖所示，當(dāng)點首次回到點的位置時，正方形滾動了圈，共次，設(shè)第次滾動時，點的路程為，則，，，，因此，點所走過的路程為.故選：B.6．（2022·吉林·長春十一高高一期末）已知扇形周長為40，當(dāng)扇形的面積最大時，扇形的圓心角為（

）A． B． C．3 D．2【答案】D【分析】設(shè)出扇形半徑并表示出弧長后，由扇形面積公式求出取到面積最大時半徑的長度，代入圓心角弧度公式即可得解.【詳解】設(shè)扇形半徑為,易得,則由已知該扇形弧長為.記扇形面積為,則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到最大值，此時記扇形的圓心角為，則故選：D7．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知圓O與直線l相切于點A，點P，Q同時從點A出發(fā)，P沿直線l勻速向右、Q沿圓周按逆時針方向以相同的速率運動，當(dāng)點Q運動到如圖所示的位置時，點P也停止運動，連接OQ，OP，則陰影部分的面積，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．先，再，最后【答案】C【分析】根據(jù)給定條件求出扇形AOQ與面積，再由面積的關(guān)系即可判斷作答.【詳解】因圓O與直線l相切，則，于是得面積，令弧AQ的弧長為l，扇形AOQ面積，依題意，即，令扇形AOB面積為，則有，即，所以陰影部分的面積，的大小關(guān)系是.故選：C二、填空題8．（2022·陜西西安·高一期末）勒洛三角形是具有類似圓的“定寬性”的面積最小的曲線，它由德國機械工程專家，機構(gòu)運動學(xué)家勒洛首先發(fā)現(xiàn)，其作法是：以等邊三角形每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段弧，三段弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．已知等邊三角形的邊長為1，則勒洛三角形的面積是_______．【答案】【分析】根據(jù)題意作出圖形，觀察可發(fā)現(xiàn)該圖形的面積可用3個相同扇形面積之和減去中間2個等邊三角形面積來計算．【詳解】由題意得，勒洛三角形的面積為：三個圓心角和半徑均分別為和1的扇形面積之和減去兩個邊長為1的等邊三角形的面積，即．故答案為：．9．（2022·河北·高一期中）已知某圓錐的側(cè)面積為，該圓錐側(cè)面的展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為______【答案】【分析】由扇形的面積公式及圓錐的側(cè)面積公式求出圓錐的母線長與底面圓的半徑，由體積公式求解.【詳解】設(shè)該圓錐的母線長為，底面圓的半徑為，由，得.因為，所以，所以該圓錐的體積為.故答案為：10．（2022·浙江·高一期中）魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點為圓心，以其邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點是：在任何方向上都有相同的寬度，機械加工業(yè)上利用這個性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來.如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長度為，則該魯洛克斯三角形的面積為______.【答案】【分析】由弧長公式可求得等邊的邊長，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個扇形的面積減去2個的面積，結(jié)合扇形和三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：由題意可知，設(shè)，則弧的長度為，所以，設(shè)弧所對的扇形的面積為，，則該魯洛克斯三角形的面積為.故答案為：.三、雙空題11．（2022·安徽·高一階段練習(xí)）凸四邊形的面積為，，，，則最大值為___________；若四邊形的外接圓為圓，則所對的圓弧的長為___________．【答案】

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【分析】①以角和角為參數(shù)表示，在和中分別應(yīng)用余弦定理化