線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間分析、設(shè)計法

第9章線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間分

析、設(shè)計法

9.1線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間分析法

在連續(xù)控制系統(tǒng)中，狀態(tài)空間分析法是分析、研究系統(tǒng)

的有力工具，它解決了頻率特性解決不了的問題，如多變量

問題、時變問題等。計算機(jī)的廣泛普及和應(yīng)用為狀態(tài)空間分

析法提供了有力的手段。

對于離散系統(tǒng)同樣可以用離散狀態(tài)空間分析法來研究

和分析。離散狀態(tài)空間分析法有以下的優(yōu)點：

⑴離散狀態(tài)空間表達(dá)式適宜于計算機(jī)求解。

⑵離散狀態(tài)空間分析法對單變量和多變量系統(tǒng)允許用

統(tǒng)一的表示法。

⑶離散狀態(tài)空間分析法能夠應(yīng)用于非線性系統(tǒng)和時變

系統(tǒng)。

9.1.1線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，是用控制變量處,狀態(tài)變量勺和輸

出變量”來表征系統(tǒng)的動態(tài)特性的，如圖9.1所示。狀態(tài)變

量與是表征系統(tǒng)本身特性的變量。系統(tǒng)的狀態(tài)變量是可以有

多種選擇方案，但是當(dāng)系統(tǒng)確定時，狀態(tài)變量的個數(shù)就確定

T,而且是最少的，它就是系統(tǒng)的階數(shù)。

圖9.1線性連續(xù)系統(tǒng)的變量關(guān)系

狀態(tài)變量可以表示成〃xl列向量

%2。)

%?)=(9.1)

X"⑺

控制變量可以表示成〃,X1列向量

叫”)

〃2?)

"⑺=(9.2)

冊⑺

輸出變量可以表示成pxl列向量

X。)

%⑺

y")=(9.3)

線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(Z)=Ax(/)+Bu(Z)(9.4)

y(/)=Cx(O+Du(r)(9.5)

A,B,C,D是定常的系數(shù)矩陣。

式(9.4)稱為狀態(tài)方程，式(9.5)稱為輸出方程。

與線性連續(xù)系統(tǒng)類似，線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表

達(dá)式可以表示為

x(kT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)(9.6)

y(S=Cx(S+Du(S(9.7)

式(9.6)稱為狀態(tài)方程，式(9.7)稱為輸出方程。

F是〃x〃維矩陣，稱為狀態(tài)矩陣或系統(tǒng)矩陣。

G是〃xm維矩陣，稱為輸入矩陣或驅(qū)動矩陣。

C是X〃維矩陣，稱為輸出矩陣。

D是PX機(jī)維矩陣，稱為直傳矩陣或傳輸矩陣。

線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖如圖9.2所示。

圖9.2線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖

9.1.2由差分方程導(dǎo)出離散狀態(tài)空間表達(dá)式

對于單輸入、單輸出的線性離散系統(tǒng)，可以用〃階差分

方程來描述

y(kT+nT)+y(kT+nT-T)-\-----any(kT)

=b()u(kT+mT)+b、u(kT+mT—T)T----\-bmu(kT)(9.8)

或表示成

“1〃

y(kT+nT)=b^kT+mT-iT)-aty(kT+nT-iT)(9.9)

i=0/=1

為了得到狀態(tài)空間表達(dá)式，應(yīng)適當(dāng)選擇狀態(tài)變量，將高

階的差分方程化為一階差分方程組，然后表示成向量的形

式，便可以得到離散狀態(tài)空間表達(dá)式了。

1.m=Of即控制變量不包含高于一階的差分

y(kT+nT)+a1y(kT+nT-T)+---+any(kT)=bQu(kT)(9.10)

選擇狀態(tài)變量

石(5)=—(5)

x2(kT)=y(kT+T)

「3(kT)=y(kT+2T)(9.11)

X/l(kT)=y(kT+nT-T)

由(9.11)式，可得

X](kT+T)=y(kT+T)-x2(kT)

x2(kT+T)=y(kT+2T)=x3(kT)

當(dāng)(仃+T)=y(b+3T)=z(kT)(912)

x.(kT+T)=y(kT+仃)

=-anx}(kT)-an_xx2{kT)----ayxn(kT)+b°u(kT)

寫成矩陣形式

飛何+7）一一010???卜即一o-

九2(左7+T)001,?x/kT)0

=+u(kT)(9.13)

■

-?lj

_x?(kT+T)_~an-l~an-2A.

x(kT)

")]=[00??-0]2(9.14)

3(叮)_

將式（9.13）,式（9.14）表示成向量形式

x*T+T)=Fx(kT)+Gu(ZT)

(9.15)

y(S=Cx(ZT)

式中狀態(tài)矩陣為

一010?-0'

001?-0

F=(9.16)

~an~an-\-an-2,?一q

輸入矩陣為

0

0

(9.17)

%

輸出矩陣為

C=[l00-??0](9.18)

直傳矩陣為

D=[O](9.19)

例9.1線性離散系統(tǒng)的差分方程為

y(kT+4T)+3y(kT+3T)+5y(kT+2T)+4(ZT+T)+6y(AT)=2u(kT)

試導(dǎo)出離散狀態(tài)空間表達(dá)式。

解由差分方程知：n=4,m=0,p=l(輸出向量維數(shù))。

%=3,%=5,%=4必=6,d=2o

可知

x[{kT+T)

x2(kT+T)

x3(kT+T)

%(仃十7)

2.機(jī)wo,即控制變量包含高于一階的差分

令機(jī)=〃，則差分方程為

y(kT+nT)+a]y(kT+nT-T)+---+any(kT)

=bou(kT+nT)+b^kT+nT-T)+---+bnu(kT)(9.20)

選擇狀態(tài)變量

%(kT)=y(kT)-四u(kT)

x，kT)=X[(kT+T)_/3\U(kT)=y{kT+T)-(3(}u{kT+T)-B、u(kT)

忍(女T)=x2(kT+2T)-&u(kT)=y(kT+2T)

.-/3孤kT+2T)_L+T”(9.21)

x,(AT)=Vi(kT+nT-T)-力-“(AT)=y(kT+〃T-T)

—0°u(kT+nT—T)—仇ti(kT+nT—2T)

——猿2〃(AT+T)一夕一防仃)

作為一組狀態(tài)變量，其中環(huán)兒…，落是待定常數(shù)。下面，我

們來確定它們的值，使?fàn)顟B(tài)方程中不出現(xiàn)“0⑺的高階差分。

對式(9.21)中最后一個方程的兩邊前移一拍，得

xn{kT+T)=y(kT+nT)—0。憂(kT+nT)-0[U(kT+nT-T)(9之？)

——反一2〃(kT+2T)_?i〃(ZT+T)

分別用…必乘式(9.21)中的第1,第2,第〃個方

程，得

a?xy(kT)=any(kT)-an/30u(kT)

an_{x2(kT)=an_xy{kT+T)-an_}/30u(kT+T)-a”_￡u(kT)

?！癬2》3(仃)=2y(%T+2T)-aL(kT+2T)

-an_2/3}u{kT+T)-an_2/32u(kT)(9,23)

a}xn(kT)=a}y(kT+-T)-a}/3(}u(kT+nT-T)-a]/3}u(kT+nT-2T)

u

-------axftn_2u(kT+7)-%0n7(kT)

將方程(9.22)和方程(9.23)中的〃個方程一齊加起來，

得

x<kT+7)+a?x,(kT)+%%(S+an_2x3(kT)+---alxn(kT)

=y(kT+nT)+a}y(kT+nT-T)+-?■+an_2y(kT+2T)+a^y(kT+T)+a?y(kT)

-0o優(yōu)(kT+nT)-+HT—T)—(0〉+a、。、+ct7/3^)u{kT+〃T—2T)

a

-------(gi+a］夕“-2+…+n-lP\+4_血))”(%T+T)

一(q力I+4力＞-2+…+a?-\P\+a,A)u(kT)(9.24)

將方程(9.20)

+〃7)+6T-T)H-----+2T)4-?_y(Z:T+T)+qj(&T)

y(kT丁(左丁+〃an_2y(kTn1

=bqU(kT+nT)+b}u(kT+nT-T)-\----Fb〃_、u(kT+T)+bnu(kT)

代入方程(9.24),并加以整理，則得

xn(kT+T)+anx］(kT)+an_}x2(kT)+an_2x3(kT)+-??(kT)

=3°—夕°)〃(%T+〃T)+(b、—/3\—q夕0)〃(ZT+nT—T)

+(b、—0、—a，、—a?/3o)ii(kT+nT—27*)+…+

(如-Ai-a42-------冊一鄧［一a“_\Bo)u(kT+T)

+S“一a\P?-\~------a._\P\-a,Fq)u(kT)(9.25)

由上式可以看出，若令上式右邊除最后一項外，其余各項系

數(shù)為零，則狀態(tài)方程中不會出現(xiàn)“伏T)的高階差分。據(jù)此可以

解出

Bo=瓦

因=仇-

/32=b2—at/3t—a2^0(926)

/?3=83-a\^2~azP\~%Bo

0"=b"-a,A-i-a2^?-2-------??A)

這樣一來，式(9.21)中的〃個狀態(tài)變量的〃個待定常數(shù)

就唯一地確定出來了。再將方程(9.25)中吸T)的系數(shù)簡記

為我，連同(9.21)中后面("-1)個方程一起，便得到系統(tǒng)的

離散狀態(tài)空間表達(dá)式

x1(kT+T)=Xz(kT)+

x2(kT+T)=x3(kT)+/32u(kT)

?(9.27)

4T(AT+T)=(⑺+⑸_風(fēng)仃)

xn(kT+T)=-anX}(kT)-aS

——《x”(kT)+0,,u(kT))

由式(9.21)的第一個方程，得系統(tǒng)輸出方程為

y伏T)=X)(kT)+/3o"(kT)(9.28)

將式(9.27)和(9.28)寫成矩陣形式

x(kT+T)=Fx(⑺+Gu(kT)

(9.29)

y(&T)=Cx(仃)+Du(ZT)

一%(S一

x’kT)

其中x(kT)=

_Xn(kT)

-010???00

001…00

F=:

000-??01

-a,.~an-\~an-2~a2-fll.

力一

A

G=Ac=[l00-00]D=[4]=也]

R_

在這個表達(dá)式中，不論輸入函數(shù)”(AT)是否含有高階方程，系

數(shù)矩陣尸都是一樣的，而〃(")的高階差分只會改變控制矩陣

G的各元。

系統(tǒng)的初始條件七(0),*2(。)，…，怎(。)可由下式?jīng)Q定

X,(o)=xo)-Z?n?(o)

%(0)=〉(7)-4"(7)一四“(0)

<x3(0)=y(2T)-%QT)-口“(7)-昵(0)(9.30)

x?(0)=y(nT-T)-/3?u(nT—T)一夕風(fēng)〃T一2T)——0：)-“(0)

例9.2設(shè)線性離散系統(tǒng)的差分方程為

y(kT+2T)+y(kT+T)+0.16y(kT)=u(kT+T)+2u(kT)

試寫出離散狀態(tài)空間表達(dá)式。

解設(shè)狀態(tài)變量

Xl(kT)=y(kT)

x2(kT)=x}(kT+T)-u(kT)

則

'&*T+T)=X2(kT)+u*T)

<x2(kT+T)=-0.16x,(AT)-x2(kT)+u(kT)

y(kT)=x]kT)

系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為

x/kT+T)x/kT)

X2（2T+T）」—1—0.16_1」|_尤2（左?。窵1

xm

y伏T)=[lo]t

x2(kT)

初始條件可由下式?jīng)Q定

%(0)y（o）

x2(0)y（T）-u（Q）

此題也可以直接利用公式求出F,G,C,從而得到離散狀態(tài)空

間表達(dá)式。

線性離散系統(tǒng)的階數(shù)為〃=2,

%=1嗎=1,%=016

b。=4,b[=1也=2

A)=%=o

/=4-“0=1

△=打一4用一生￡o=l

「。1[「4]「11

F=G==

-0.16-1JLAjL1.

C=[l0]D=[4]=[/?o]=()

「01]「「

x(AT+T)=x(ZT)+u(ZT)

y(ZT)=[lO]x(kT)

9.1.3線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程是由高階差分方程化為

一階方程組得到的，所以求解差分方程的方法可以適用于求

解離散狀態(tài)方程。通常離散狀態(tài)方程的求解方法有迭代法和

Z變換法。

1.迭代法

設(shè)線性離散系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式為

UkT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)(931)

\y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)

初始值MO),“(0)o

以&=0,1,…,代入式(9.31)可得

x(T)=Fr(0)+Gw(0)

x(2T)=fx(T)+Gu⑺=尸x(0)+FG?(0)+GM(T)

x(3T)=F3X(0)+F2GW(0)+FGU(T)+GU(2T)

k-l

x(kT)=Fkx(,0)+YFk~j~'G^(JT)(9.32)

J=0

有了離散狀態(tài)方程的解(9.32)式，便可得到輸出方程

y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)(9.33)

令式(9.32)中的相=中伏T),?(仃)稱為線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)

轉(zhuǎn)移矩陣。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下的性質(zhì)

J①(b+T)=F①伏T)

遍)=/(9.34)

式中/是單位矩陣。

?(收)=催可以看作是式(9.34)矩陣差分方程的唯一解。

它描述了線性離散系統(tǒng)由「=。的初始狀態(tài)M。)向任意時刻

r=仃的狀態(tài)Mb)轉(zhuǎn)移的特性o因此中(S稱為線性離散系統(tǒng)的

狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

線性離散系統(tǒng)的解式(9.32)還可以用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣來

表示，即

,x(kT)=①(kT)x(O)+￡①(kT-jT-T)Gu(jT)

/=0

(9.35)

k-\

y(kT)=C①(ZT)x(O)+C￡①(ZT-jT-T)Gu(jT)+Du(kT)

例9.3用迭代法求解線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

x(kT+T)=x(kT)+u(kT)

-0.40.31_

y(s=[ol]x(S

x.(0)1r11flk>0

二

X(°)=八,u(kT)=<

_尤2(°)J-1[0k<0

解令人0,1,2,及初始條件代入離散狀態(tài)空間表達(dá)式,

可以得到

y(T)=[o1]

o-i-0.3

-0.40.30.69

r-i—0.3

y(2T)=01=0.69

0.69

0—0.30「]—0.69

光(3T)=+1=

-0.40.69J[1」1.327

ym=[01]Is??=1.327

將以上計算數(shù)據(jù)列表9.1。

表9.1迭代計算數(shù)據(jù)表

k

0123???

%(kT)11-0.3-0.69???

芍(4)-10.30.691.327???

W)-10.30.691.327???

用迭代法求解離散狀態(tài)方程只能得到有限項時間序列，得不

到狀態(tài)變量和輸出變量的數(shù)學(xué)解析式。

2.Z變換法

設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(攵T+T)=Fx(AT)+Gu(女T)(936)

[y(ZT)=Cx(AT)+Du(ZT)

對(9.36)式作Z變換，可得

zX(z)-zx(O)=FX(z)+GU(z)

X(z)=(zI—F)”zx(O)+GU(z)](9.37)

對式(9.37)作Z反變換，可得

x(kT)=/T{(zl-F)T[ZX(0)+GU(Z)]}(9.38)

對比式(9.32),下式成立

①(仃)=才T[(ZI-F)TZ](9.39)

例9.4用Z變換法求解線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程

r0-10

x(kT+T)=x(kT)4-u(kT)

0.40.1

<y(kT)=[Ol]x(AT)

司(0)k>0

x(0)=

x2(0)k<0

解

x(kT)=/t{(zl-F)-1[zx(0)+GU(z)]}

z-0.3-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

0.4z-0.3—0.4z

(z-0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+05)

z—0.3-1

(z—0.8)(z+0.5)

(z/-F)-'[zx(0)+GU(z)]=9-嚼j+°-5)z

(z—0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+0.5)

z(z?-0.3z-1.7)

(z-0.8)(z+0.5)(z-l)

-Z(Z2-1.6Z-0.4)

(z-O.8)(z+O.5)(z-l)

5z2zlOz

=z-0.8-3(z+0.5)-3(z-l)

----4--z-----------z--------1----l-O--z----

_z-0.83(z+0.5)3(z-l)_

取Z的反變換即可得到方程的解

KI)—'5(0.8/-2(-0.5//3-10/3

--4(0.8/-(-0.5//3+10/3

y(kT)=-4(0.8)4-(0.5)*/3+1O/3k=0,1,2,…

用Z變換法求解離散狀態(tài)方程，可以得到狀態(tài)變量和輸

出變量的數(shù)學(xué)解析式。

9.1.4線性離散系統(tǒng)的Z傳遞矩陣

設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

\(kT+T)=Fx(kT)+Gu(kT)

<y(kT)=Cx(kT)+Du(kT)(9.40)

式中M")是〃xl維狀態(tài)向量；

u*T)是mxl維狀態(tài)向量；

y(kT)是pxl維狀態(tài)向量。

對式(9.40)作Z變換，可得

'zX(z)-zx(O)=FX(z)+GU(z)

'Y(z)=CX(z)+DU(z)

初始條件為零，即M0)=0時，則有

X(z)=[zI-Fr'GU(z)

因而Y(z)=[C(zl-Ff'G+D]U(z)=G(z)U(z)

G(z)=rC(zI-Fr'G+D](9.41)

稱G⑶為線性離散系統(tǒng)的Z傳遞矩陣(pxm維矩陣)。它反映

了在初始靜止的條件下，輸出量的Z變換丫⑶與輸入量的Z

變換U(z)之間的關(guān)系。

對于單輸入、單輸出系統(tǒng)，G(z)是1x1維矩陣，即為脈沖

傳遞函數(shù)(Z傳遞函數(shù))。

例9.5設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(kT+T)=0-1x(kT)+°u(kT)

|_-0,40.3j

<

「111

y(kT)=01x(kT)

初始條件為零。試求線性離散系統(tǒng)z傳遞矩陣，并求出單位

階躍輸入時的輸出響應(yīng)。

解

z—0.3-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

(zI-Ff

—0.4z

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

G(z)=[C(zI-F)-1G+D]

z-0.3-1

11(z—0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)10

01一0.4z______1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0.8)(z+0.5)

z-0.7z-1

(z-0.8)(z+0.5)(z—0.8)(z+0.5)0

-0.4z1

(z-0.8)(z+0.5)(z-0,8)(z+0.5)

z-1

(z-0.8)(z+0.5)

z

(z-0.8)(z+0.5)

單位階躍輸入時

Y(z)=G(z)U(z)

z—1z

(z-0.8)(z+0.5)z(z-0.8)(z+0.5)

Zz-1

(z-0.8)(z+0.5)(z-l)(z-0.8)(z+0.5)

lOz________IQz

13(z-0.8)-13(z+0.5)

13z12zz

3.9(z-l)3.9(z-0.8)3.9(z+0.5)

對上式作Z反變換可得

[(10/13)(0.8/-(10/13)(-0.5/1……

_(10/3)-(40/13)(0.8/-(10/39)(-0.5)\

9.1.5線性離散系統(tǒng)的Z特征方程

在線性連續(xù)系統(tǒng)中，用特征方程來表征系統(tǒng)的動態(tài)特

性，同樣在線性離散系統(tǒng)中引進(jìn)Z特征方程的概念來描述一

個線性離散系統(tǒng)的動態(tài)特性。

設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

x(kT+T)=Fx(ZT)+Gu(ZT)(9.42)

對式(9.42)作Z變換，可得

X(z)=(zl-F)-l[zx(0)+GU(z)]

仿照線性連續(xù)系統(tǒng)，令矩陣(z/-F)的行列式

|zI-F|=0(9.43)

稱式(9.43)稱為線性離散系統(tǒng)的Z特征方程。

例9.6設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣

41。12

。21。22

試求線性離散系統(tǒng)的Z特征方程。

解

z04112Z-Q”一〃]2

|zI-F|=。

a2\a22

0z一。21z—a22

=Z2-(Q”+〃22)2+々]]〃22

Z—一(6t|?+〃22"+]〃22。(9.44)

式（9.44）即為線性離散系統(tǒng)的Z特征方程或稱為矩陣尸的

Z特征方程。Z特征方程的根也稱為矩陣廠的特征值，就是

線性離散系統(tǒng)的極點。

對于一個〃階的系統(tǒng)，僅有〃個特征值。因為特征方程表

征系統(tǒng)的動態(tài)特性，因此盡管一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量的選擇不

是唯一的，但是系統(tǒng)的Z特征方程是不變的。

例9.7設(shè)線性離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)為

~、2Z2+5Z+1

G(z)=~~-

z+3z+2

試導(dǎo)出離散狀態(tài)方程，并求出Z特征方程。

解

⑴用直接程序法求系統(tǒng)的離散狀態(tài)方程（參閱第8章內(nèi)

容，直接程序法）

y（z）—z—3

G(z)==2+

u（z）z~+3z+2

Y(z)=2￡/(z)+----3-U(z)=2U(z)+Y.(z)(9.45)

Z2+3Z+2

上式中，令Q(z)=&=-z-3;

U(z)Z2+3Z+21+3Z-'+2Z~2

Q(z)=X(z)/(-z-J3Z-2)

*(9.46)

=t/(z)/(l+3z_l+2z-2)

由(9.46)式得出

Q(z)=U(z)—3z-'Q(z)-2Z-2Q(Z)(9.47)

Y(Z)=—ZTQ(Z)—3Z-Q(Z)(9.48)

Y(z)=2U(z)+X(z)=2U(z)-z-'Q(z)~3z-2Q(z)(9.49)

根據(jù)式(9.47)和式(9.49)畫出狀態(tài)變量框圖如圖9.3所

Zj\o

圖9.3例9.7狀態(tài)變量框圖

由圖9.3可知

x,(kT+T)

-2一3_|［無2（攵丁）(9.50)

x2(kT+T)

y(ZT)=[-3-1]+即仃)(9.51)

x2(/cl)

由上式可知

則，Z特征方程為

特征值Pi=-2,p2=-1

⑵用并聯(lián)程序法求系統(tǒng)離散狀態(tài)方程

G(z)=與至±1=2+二1+—L_

z~+3z+2z+1z+2

G(z)=-^-=2+—+—1—=2+-2z-1Z-1

-I-------7

t/(z)z+1z+21+z-11+2z-'

-2zz

y(z)=2U(z)+1—-t/(z)+——

iIZ1Izz

-1-1

令x1(z)=-^-Tt/(z),x2(z)=-^—ru(z)(9.52)

14-z1+2z

y(z)=2U(z)-2X,(z)+X2(z)(9.53)

由（9.52）式和（9.53）式，畫出系統(tǒng)狀態(tài)變量框圖如圖9.4

所示。

圖9.4并聯(lián)程序框圖

由圖9.4可以寫出系統(tǒng)離散狀態(tài)方程

x^kT+T)-10網(wǎng)(攵T)

+J成kT)(9.54)

x2(kT+T)0-2x2(kT)

x(kT)

y(S=[-21]}+\2]u(kT)(9.55)

x2(kT)

由式（9.54）可知

-10

F=

0-2

則，Z特征方程為

z0o-°JH[zr0

=z24-3z+2=0

0zz+2

特征值Pi=~~2,P1=-1

由本例可以清楚看到一個線性離散系統(tǒng)，用不同的方法

可以得到不同的離散狀態(tài)方程，如式（9.50）、（9.51）以及

(9.54)、(9.55)中的狀態(tài)矩陣b是不同的。但是，它們的

特征方程是相同的，因而它們的特征值也相同P|=-2，P2=T。

而且特征值的個數(shù)就等于離散系統(tǒng)的階數(shù)。

9.1.6計算機(jī)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式

一個計算機(jī)控制系統(tǒng)，通常由數(shù)字計算機(jī)和連續(xù)環(huán)節(jié)組

成。計算機(jī)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式，可以通過連續(xù)

環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間表達(dá)式離散化得到，也可以用Z變換得到。

下面介紹用Z變換求得計算機(jī)控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)

式。

例9.8已知計算機(jī)控制系統(tǒng)如圖9.5所示，初始靜止。

試求系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。

——

圖9.5計算機(jī)控制系統(tǒng)

解廣義被控對象的傳遞函數(shù)

I^-Ts1

Grv(s)\=-1----e--------------

ss(s+0)

廣義對象的z傳遞函數(shù)

(9.56)

Q(Z-1)a(z

由式(9.56)可以建立系統(tǒng)的方框圖，如圖9.6所示。

圖9.6圖9.5的等效方框圖

選擇狀態(tài)變量

X,(z)=—^―[/?(z)-X,(z)-X2(z)]

(9.57)

e-1

X(z)=——/[R(z)-XI(z)-X(z)]

2ayZ—e)2

由式(9.57)可得

zXI(z)=fl--k,(z)--X2(z)+-R(z)

Ia)aa

Iie-al+1e-1

zX?(z)=—―X,(z)+—X2(z)+——/?(z)

由式(9.58)可得離散狀態(tài)方程，由圖9.6可得離散狀態(tài)空

間表達(dá)式。

T

x^kT+T)%(kT)

面一[)6-"+1

x2(kT+T)x2(kT)

(9.59)

%(kT)

y(⑺=[1

x2(kT)

\-T-T

當(dāng)a=1時，F(xiàn)=

l-e-T1

系統(tǒng)特征方程為

,?z—1+TT2T

zI-F=丁=z2+(T-2)z+(l-Te-r)=0

11e-r-lz-1

當(dāng)用連續(xù)部分的狀態(tài)空間表達(dá)式離散化時，也即要求導(dǎo)

出連續(xù)部分的離散狀態(tài)方程。假設(shè)計算機(jī)控制系統(tǒng)的方框圖

如圖9.7所示。

G(.v)

圖9.7計算機(jī)控制系統(tǒng)方框圖

由圖9.7可見，計算機(jī)控制系統(tǒng)由連續(xù)部分和離散部分

組成。。⑶是數(shù)字控制器，為離散部分;“⑸是保持器傳遞

函數(shù)，它與被控對象G/S)合在一起為G(s),稱為廣義被控對

象。絕大多數(shù)系統(tǒng)中，“⑸為零階保持器，它的輸出M⑺為階

梯信號，如圖9.8所示。

圖9.8零階保持器的輸出

連續(xù)對象的動態(tài)特性可以用狀態(tài)空間表達(dá)式表示

x(0=Ax(f)+Bu(t)

,y⑺=Cx(O+Du⑴(9.60)

%。0)=。

式(9.60)的解為

x(t)=eA(,-/o)x(0)+['eA(,-T)Bu(T)dT(9.61)

當(dāng)，，⑺為階梯信號時

u(t)=u(kT)=const,kT<t<kT+T(9.62)

初始條件為％(0)=%&)=x(kT)

積分上限為t=kT+T

積分下限為tQ=kT,且t-tQ=T

由式(9.61)可得

x(ZT+T)=e，x(ZT)8"(仃)”(9.63)

在積分區(qū)間內(nèi)，輸入是常數(shù)，而且積分對所有的攵都成立，

作變量置換f=ZT+T-r,則有

J："-"=^'Bdt(9.64)

式(9.64)是與T有關(guān)的常數(shù)矩陣。將其代入(9.63)式，

可得

x(kT+T)=eATx(kT)+Bdt^u{kT)(9.65)

式(9.65)即為所求的離散狀態(tài)方程，寫成標(biāo)準(zhǔn)形式為

仃+T)=Fx(叮)+G“(S”

<(9.bo)

y(AT)=Cx(&T)+Du(ZT)

式中F=eAT,G=['eAlBdt

Jo

例9.9已知計算機(jī)控制系統(tǒng)如圖9.9所示，試求計算機(jī)

控制系統(tǒng)的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。

H-----G(S)------

圖9.9計算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解由圖9.9可得

e(t)=r(t)-y(t)

e(0=e(kT)=r(kT)-y(kT)

對象1/sG+l)的狀態(tài)空間表達(dá)式可以寫成下列形式

王⑺

片(7)

〔刈=%2⑺

由于系統(tǒng)采用零階保持器，"⑺是階梯信號，由此可求得對

象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式。

由對象的狀態(tài)空間表達(dá)式，可知

--101「1］

A=,B=

iojL°.

則對象的離散狀態(tài)空間表達(dá)式的狀態(tài)矩陣

對象的輸入矩陣

G=\reA'Bdt=\r\e'

JoJo［一二

所以，離散狀態(tài)方程為

e~T

x(kT+T)=

］一"

以e(⑺=RkT)-y(0)代入上式

x^kT+T)%(AT)\-e~'

[r(kT)-y(kT)]

x2(kT+T)x2(kT)T-\+e

0%!(kT)

x(kT)+r*T)

1々(S2

經(jīng)整理得

X[(kT+T)x】kT)

x2(kT+T)x2(kT)

y(kT)=x2(kT)

系統(tǒng)特征方程

TT

|zI-F|=z-e~\-e~=z2+(T-2)z+(l-Te<)=0

e-T-lz-2+T+e-T

對照例9.8,對于同一個計算機(jī)控制系統(tǒng)，用不同的方法都

能得出相同的Z特征方程。

9.1.7用離散狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性

設(shè)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

x(kT+T)=Fx(仃)+Gu(kT)(9.67)

用迭代法求(9.67)的解，得

x(S=鏟x(0)+ZFw-,Gu(jT)(9.68)

片。

分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性只考慮狀態(tài)方程的齊次解，即〃(b)=0的情

況，則

x(kT)=鏟x(0)(9.69)

設(shè)F是〃x〃矩陣，具有兩兩相異的特征值PI,P”…,P“。根

據(jù)西爾維斯特展開定理，尸可以展開成級數(shù)

FJ曲Pf

(9.70)

/=1

式中《稱為尸的相容矩陣或要素矩陣，且

(9.71)

矩陣耳跟尸及其〃個特征值”,有關(guān)，但是月是確定的，與k無

關(guān)。于是狀態(tài)方程的解為

?

%(b)=2耳〃口(°)(9.72)

i=l

顯然只有同<1,i=l,2,，當(dāng)％―8時，x(左T)才收斂，系

統(tǒng)才是穩(wěn)定的。

由此可以得到線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)：線性離散系統(tǒng)

穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的Z特征方程的所有特征根

Z=P，M|<1。

特征值在Z平面上的分布與穩(wěn)定性關(guān)系如圖9.10所示。

圖9.10線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)

例9.10設(shè)線性離散系統(tǒng)如圖9.5所示，&=1。試判斷

采樣周期T=ls,3s,5s時系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解由例9.8可知，系統(tǒng)中，當(dāng)"1時，線性離散系統(tǒng)的

狀態(tài)空間表達(dá)式為

x(kT+T)=x(AT)+

」(4)=[0出(燈)

系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣為

⑴當(dāng)T=lsec時

0.368-0.632

0.6320.632

Z特征方程為