北師大實驗中學(xué)雒振峰《勾股定理的應(yīng)用-用方程思想解決問題》課例課件

2013年4月課例分析：《勾股定理的應(yīng)用--運(yùn)用方程思想解決問題》XX大學(xué)附屬實驗中學(xué)XXX2013年4月課例分析：《勾股定理的應(yīng)用--運(yùn)用方程思想解決一．教學(xué)背景分析

本節(jié)課是勾股定理的應(yīng)用的第三節(jié)課，也是第18.1節(jié)的最后一節(jié)課，在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了勾股定理的內(nèi)容和證明方法，以及勾股定理的簡單應(yīng)用，本節(jié)課進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決有關(guān)勾股定理的問題.

一．教學(xué)背景分析本節(jié)課是勾股定理的應(yīng)用的第2一．教學(xué)背景分析

勾股定理是幾何中最重要的定理之一，它也是直角三角形的一條重要性質(zhì).同時由勾股定理及其逆定理，能夠把形的特征轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系，它把形與數(shù)密切地聯(lián)系起來，因此，它在理論上也有重要地位.方程思想是初中數(shù)學(xué)中一種基本的數(shù)學(xué)思想方法.方程可以清晰的反應(yīng)已知量和未知量之間的關(guān)系，架起溝通已知量和未知量的橋梁.本節(jié)課為后續(xù)進(jìn)一步學(xué)習(xí)運(yùn)用方程思想解決問題起著鋪墊作用.

一．教學(xué)背景分析勾股定理是幾何中最重要的定3知識技能：1.掌握勾股定理的內(nèi)容，進(jìn)一步利用勾股定理解決問題；2.經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“割”、“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法；3.會運(yùn)用方程的思想解決與勾股定理有關(guān)的問題.二．教學(xué)目標(biāo)

知識技能：二．教學(xué)目標(biāo)4數(shù)學(xué)思考:1.通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識；2.在觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動中，發(fā)展演繹推理能力，清晰地表述自己的想法；3.學(xué)會獨(dú)立思考，體會方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、建模思想.二．教學(xué)目標(biāo)

數(shù)學(xué)思考:二．教學(xué)目標(biāo)5問題解決：1.初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實踐能力；2.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法；3.在與他人合作和交流過程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.二．教學(xué)目標(biāo)

問題解決：二．教學(xué)目標(biāo)6情感態(tài)度：1.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；2.敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮，獨(dú)立思考，合作交流，反思質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)態(tài)度.二．教學(xué)目標(biāo)

情感態(tài)度：二．教學(xué)目標(biāo)7運(yùn)用方程思想解決與勾股定理有關(guān)的問題.當(dāng)幾何圖形中沒有直角三角形時，通過“割”、“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問題.教學(xué)重點(diǎn):教學(xué)難點(diǎn):運(yùn)用方程思想解決與勾股定理有關(guān)的問題.當(dāng)幾何8兩條主線：1.運(yùn)用方程思想解決有關(guān)勾股定理的問題.

三．教學(xué)過程設(shè)計2.如何尋找或構(gòu)造直角三角形.一個Rt△多個Rt△無Rt△，無Rt∠無Rt△，有Rt∠無Rt△的綜合應(yīng)用兩條主線：1.運(yùn)用方程思想解決有關(guān)勾股定理的問題.三．教9三．教學(xué)過程設(shè)計每道題目的五個環(huán)節(jié)提出問題舉出實例分析實例解決實例回答問題三．教學(xué)過程設(shè)計每道題目的五個環(huán)節(jié)提出問題舉出實例分析實例解10（一）復(fù)習(xí)提問學(xué)生回答勾股定理內(nèi)容，其他同學(xué)補(bǔ)充.教師強(qiáng)調(diào)：勾股定理前提條件和結(jié)論.（一）復(fù)習(xí)提問學(xué)生回答勾股定理內(nèi)容，其他同學(xué)補(bǔ)充.教師強(qiáng)調(diào)：11（二）例題【問題1】如何在實際問題中，利用勾股定理解決問題呢？例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少?

（二）例題【問題1】如何在實際問題中，利用勾股定理解決問題呢12例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少?設(shè)計意圖：

1.能利用勾股定理解決簡單的實際問題；2.通過用代數(shù)式、方程等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識；3.初步學(xué)會在具體的情境中從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和方法等解決簡單的實際問題，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實踐能力；4.本題是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的問題，展現(xiàn)我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果.例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正13北師大實驗中學(xué)雒振峰《勾股定理的應(yīng)用——用方程思想解決問題》課例ppt課件14解決與勾股定理有關(guān)的實際問題時，先要抽象出幾何圖形，從中找出直角三角形，再設(shè)未知數(shù)，找出各邊的數(shù)量關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求解.小結(jié)：解決與勾股定理有關(guān)的實際問題時，先要抽象出幾15這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題.原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？其中的丈、尺是長度單位，1丈=10尺.《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種。該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就。同時，《九章算術(shù)》在數(shù)學(xué)上還有其獨(dú)到的成就，不僅最早提到分?jǐn)?shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，“方程”章還在世界數(shù)學(xué)史上首次闡述了負(fù)數(shù)及其加減運(yùn)算法則。要注意的是《九章算術(shù)》沒有作者，它是一本綜合性的歷史著作，是當(dāng)時世界上最先進(jìn)的應(yīng)用數(shù)學(xué)，它的出現(xiàn)標(biāo)志中國古代數(shù)學(xué)形成了完整的體系。這是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題16例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正中央有一根蘆葦.它高出水面l尺.如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn),它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面.水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少?注意：1.本題的突破口是找到直角三角形;2.題目中“把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)”從圖中看不出來，可以給學(xué)生畫一個俯視圖或者立體圖形;

3.介紹本題是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題.它是我國古人在勾股定理應(yīng)用研究方面的成果，要讓學(xué)生充滿民族自豪感.例1.有一個水池,水面是一個邊長為l0尺的正方形.在水池正17【問題2】如果一道題目中有多個直角三角形，我們?nèi)绾芜x擇在哪個直角三角形中利用勾股定理求解呢？例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，BC'與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.【問題2】如果一道題目中有多個直角三角形，我們?nèi)绾芜x擇在哪個18例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，BC'與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.設(shè)計意圖：1.能從有多個直角三角形的較復(fù)雜的圖形中找到可列勾股定理求解的直角三角形.即：能從復(fù)雜圖形中尋找出基本圖形;2.學(xué)會獨(dú)立思考，體會方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想（在動、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量）;3.經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法.例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C19例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，BC'與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.方法一例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C20方法二方法二21例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，BC'與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.1.如果一道題目中有多個直角三角形，要選擇能夠用一個未知數(shù)表示出三條邊的直角三角形（邊也可為常數(shù)），在這個三角形中利用勾股定理求解.2.解決折疊問題的關(guān)鍵：在動、靜的轉(zhuǎn)化中找出不變量.小結(jié)：例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C22例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C'處，BC'與AD交于點(diǎn)E，AD=8，AB=4，求DE的長.注意：1.基本圖形：“平行、角平分線、等腰三角形”知二推一2.折疊問題：折疊圖形前后兩個圖形全等，最好在圖中標(biāo)出相等的線段和角.例2.已知矩形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在同一平面內(nèi)C23例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.【問題3】如果題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，怎么利用勾股定理求解？設(shè)計意圖：

經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用分割圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想;例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC24例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.方法一：例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC25例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.方法二：例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC26例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.小結(jié)：1.題目中既沒有直角三角形，也沒有直角，可考慮利用作垂線段，分割圖形的方法，構(gòu)造直角三角形;2.“斜化直”即：斜三角形化為直角三角形求解.例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC27例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC=6，求△ABC的面積.注意：1.本題可選擇列方程或方程組求解，當(dāng)列方程組求解時，要注意開平方時，是兩種情況，要舍去負(fù)值；當(dāng)列方程求解CD時，最好寫“”，可以省去后面的討論;

2.本題也可以過A或B作對邊的高.例3.已知：如圖，△ABC中，AB=16，AC=14，BC28【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股29設(shè)計意圖：

【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，怎么利用勾股定理求解？1.經(jīng)歷對幾何圖形的觀察、分析，初步掌握利用“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，了解特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想;2.題目中設(shè)置的已知量并不是整數(shù)，意在增強(qiáng)學(xué)生的計算能力.設(shè)計意圖：【問題4】如果題目中沒有直角三角形，但存在直角，30北師大實驗中學(xué)雒振峰《勾股定理的應(yīng)用——用方程思想解決問題》課例ppt課件31小結(jié)：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮“補(bǔ)”出直角三角形求解.實際上，本題利用“割”也有多種做法.

小結(jié)：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可32小結(jié)：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可以考慮“補(bǔ)”出直角三角形求解.實際上，本題利用“割”也有多種做法.小結(jié)：題目中沒有直角三角形，但存在直角，可33注意：1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡單，有的復(fù)雜，要選擇好方法;

2.注意不要跳步.不能直接用結(jié)論：“含有30°的直角三角形的三邊的比為：”;如：要求CE，需先求DE，再由勾股定理求CE.注意：1.本題的解法很多，但是解法上卻有的簡單，有的復(fù)雜，34【問題5】如果將勾股定理中“直角三角形”改為“斜三角形”，的關(guān)系會是怎樣呢？思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【問題5】如果將勾股定理中“直角三角形”改為“斜三角形”，35思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

設(shè)計意圖：1.從證明方法角度看，通過利用“割”、“補(bǔ)”圖形構(gòu)造直角三角形的方法，得出類似勾股定理的結(jié)論，它是本節(jié)課所學(xué)知識的綜合應(yīng)用；2.從結(jié)論上看，三角形的邊長由具體的數(shù)變成了字母，結(jié)論具有普遍性，它也是本章第18.1小節(jié)勾股定理的推廣，體現(xiàn)了特殊與一般的轉(zhuǎn)化思想.思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=36思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

小結(jié)：若△ABC是銳角三角形，則有，若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有

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思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=37思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如圖①，根據(jù)勾股定理，則，若△ABC不是直角三角形，如圖②和圖③，請你類比勾股定理，試猜想的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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注意：銳角三角形和鈍角三角形都要過點(diǎn)A或點(diǎn)B作高，才能得出結(jié)論.思考題：在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=38（三）總結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識？2.本節(jié)課涉及了哪些思想方法？設(shè)計意圖：

從本節(jié)課所學(xué)的知識和思想方法兩方面總結(jié).（三）總