教學(xué)測(cè)量與評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)學(xué)

教學(xué)測(cè)量與評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)學(xué)第1頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月附1統(tǒng)計(jì)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)第2頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計(jì)是關(guān)于測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)和其它數(shù)字資料的組織、分析和解釋。教師至少應(yīng)掌握能使他們完成下列工作的統(tǒng)計(jì)知識(shí)：1.分析和描述課堂測(cè)驗(yàn)的結(jié)果；2.理解測(cè)驗(yàn)手冊(cè)和研究報(bào)告中的統(tǒng)計(jì)內(nèi)容；3.理解測(cè)驗(yàn)中使用的各種結(jié)果參數(shù)。在此，介紹基本的統(tǒng)計(jì)概念和技能。內(nèi)容包括：

新術(shù)語(yǔ)知識(shí)；

關(guān)于統(tǒng)計(jì)符號(hào)的知識(shí)；

簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算技能;計(jì)算機(jī)輔助統(tǒng)計(jì)分析。涉及的統(tǒng)計(jì)測(cè)量：集中趨勢(shì)的測(cè)量（平均程度）；差異的測(cè)量（分?jǐn)?shù)的離散性）；關(guān)系的測(cè)量（相關(guān)性）。第3頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）分析未分組的分?jǐn)?shù)

從一組學(xué)生中直接獲得的分?jǐn)?shù)通常是隨意（與分?jǐn)?shù)無(wú)關(guān)的方式）排列的。如下表：表1第4頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1.簡(jiǎn)單排序

通常，最大的分?jǐn)?shù)排為1級(jí)，次大的分?jǐn)?shù)排為2級(jí)；分?jǐn)?shù)33出現(xiàn)了兩次，落在了3級(jí)和4級(jí)的位置，所以將級(jí)數(shù)平均，每個(gè)分?jǐn)?shù)排為3.5級(jí)。28分的同理。表2第5頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.集中趨勢(shì)的測(cè)量

對(duì)表1中的分?jǐn)?shù)進(jìn)行計(jì)算可以得到平均值為30。由于平均值的計(jì)算用到了所有的分?jǐn)?shù)，一個(gè)極高或極低的分?jǐn)?shù)會(huì)產(chǎn)生影響。（1）（算術(shù)）平均值（Mean）

平均值是最常用的集中趨勢(shì)量度。其計(jì)算方法是將一列分?jǐn)?shù)相加然后除以分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)。表3第6頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月中數(shù)的計(jì)算：如果分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，將其按從大到小的順序（或這從小到大的順序）排列，找出中間的分?jǐn)?shù)；如果分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)，將其按從大到小的順序（或這從小到大的順序）排列，然后找出中間的兩個(gè)分?jǐn)?shù)并算術(shù)平均；當(dāng)分布的中間分?jǐn)?shù)是相等的分?jǐn)?shù)時(shí)，用中間分?jǐn)?shù)的精確上下限做插值法。（2）中數(shù)（Median,簡(jiǎn)稱Mdn或P50,）

中數(shù)是將一列分?jǐn)?shù)分為相等的兩半的分?jǐn)?shù)，無(wú)論每個(gè)分?jǐn)?shù)的大小如何，總有一半分?jǐn)?shù)在中數(shù)之上而另一半在中數(shù)之下。一個(gè)極高或極低的分?jǐn)?shù)不影響中數(shù)的值。詳情參見后面的實(shí)例表3第7頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）眾數(shù)（Mode）

眾數(shù)是一列分?jǐn)?shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的分?jǐn)?shù)。如表1中的28分。眾數(shù)是最不可靠的統(tǒng)計(jì)平均數(shù)，通常僅作為對(duì)集中趨勢(shì)的一個(gè)初步估計(jì)。表3第8頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.差異的測(cè)量

如果知道了一列分?jǐn)?shù)的離散程度，就可以更充分地描述這列分?jǐn)?shù)。用表述分?jǐn)?shù)離散程度的數(shù)學(xué)來(lái)確定這種不同，就是差異的測(cè)量。三種常用的差異量數(shù)（MeasuresofVariation）是：全距（Range）；標(biāo)準(zhǔn)差（StandardDeviation）；四分位距（Interquartilerange)。第9頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）全距

全距是最簡(jiǎn)單最粗略的差異量數(shù)。其計(jì)算方法為最高分減去最低分。全距提供了對(duì)差異的快速估計(jì)，但它并不可靠，因?yàn)樗趦啥朔謹(jǐn)?shù)的位置。例如：A、B兩組同學(xué)的智商的平均值均為110。但是A組的最高和最低分分別為115和105，B組為140和80。如果在A組增加一位智商為140和一位智商為80的同學(xué)，則A、B兩組的全距相同。第10頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）四分位差

四分位差（Q）是表示一組分?jǐn)?shù)的分散情形。它是根據(jù)分?jǐn)?shù)中間值（50％處）為Q2

，25％處為Q1

，以及75％處為Q3

的四分位差值來(lái)表述數(shù)據(jù)分散情形的。顯然，Q不是一個(gè)點(diǎn)，而是一段距離。（計(jì)算方法與中數(shù)的計(jì)算方法類同。）第11頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）標(biāo)準(zhǔn)差（SD）

差異和分?jǐn)?shù)分布的最有用的量度是標(biāo)準(zhǔn)差

。它本質(zhì)上是一系列分?jǐn)?shù)偏離其均值的平均程度。由于它考慮了每一個(gè)分?jǐn)?shù)與均值的偏差，因而與全距和四分差相比，是差異的最穩(wěn)定的量度。計(jì)算方法：用每個(gè)分?jǐn)?shù)減去算術(shù)平均值，得出差值“X”，即離均差；求出每個(gè)離均差的平方“X2”；求∑X2

；求(∑X2)

/N，然后開方所得的算術(shù)平方根即是。

SD一樣代表的是一段距離。當(dāng)分?jǐn)?shù)分布為正態(tài)分布時(shí)，它等于平均值上下包括大約68%的個(gè)體的分?jǐn)?shù)距離。第12頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表4第13頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在前面，主要闡述了如何計(jì)算未分組的統(tǒng)計(jì)值。這種方法對(duì)于分析較少的數(shù)據(jù)十分有用。然而，在處理25個(gè)以上的分?jǐn)?shù)時(shí)，最好的方式是將分?jǐn)?shù)組合成次數(shù)分布，然后進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算。不過，現(xiàn)在計(jì)算機(jī)已經(jīng)比較普及，利用專業(yè)的軟件，可以比較輕松地對(duì)大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。在這里，將分?jǐn)?shù)組合成次數(shù)分布的形式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算的內(nèi)容，作為方法和分析拓展來(lái)給予講解。第14頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）對(duì)分組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)計(jì)算

1.組成次數(shù)分布表以表5中的處理過程為例，說(shuō)明在設(shè)計(jì)表時(shí)需要遵循的幾點(diǎn)。表5分?jǐn)?shù)區(qū)間的個(gè)數(shù)通常在10～20之間；在確定最適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)區(qū)間時(shí)，可以用全距除以15，并取最接近商的奇數(shù)。因?yàn)槠鏀?shù)可使每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)為整數(shù)；表中所有的分?jǐn)?shù)區(qū)間大小一致；分?jǐn)?shù)區(qū)間的端點(diǎn)不能重復(fù)；分?jǐn)?shù)間隔按順序排列，一般最大值在頂端。全距=49-18=31

全距/15=2.07

區(qū)間大小為3。第15頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月真正的上限和下限以表5中的處理過程為例，分?jǐn)?shù)間的間隔為1，測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)僅表示一段距離的中點(diǎn)，如20分代表19.5～20.5的一段距離，21分代表20.5～21.5的一段距離，這樣分?jǐn)?shù)才能夠完好銜接。因此，分?jǐn)?shù)區(qū)間真正的上限和下限也要進(jìn)行相應(yīng)的處理。例如：18～20分的區(qū)間的真實(shí)上限是20.5分，真實(shí)下限是17.5分。用分?jǐn)?shù)表示上下限是為了使用上的方便；在一定的統(tǒng)計(jì)計(jì)算中，則需要使用真正的上、下限。第16頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.次數(shù)分布圖最常用的有兩種：直方圖：用一系列長(zhǎng)方條來(lái)表示數(shù)據(jù)，長(zhǎng)方條的底與分?jǐn)?shù)區(qū)間相對(duì)應(yīng)，其高度表示次數(shù)，即落在該分?jǐn)?shù)區(qū)間內(nèi)的學(xué)生人數(shù)。次數(shù)多邊形：多邊形的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是每個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)，相應(yīng)的縱坐標(biāo)是次數(shù)。第17頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.中數(shù)和四分位差的計(jì)算（1）中數(shù)（Mdn）的計(jì)算分?jǐn)?shù)的總數(shù)N除以2；（可能是小數(shù)，或直接用N/2）從次數(shù)一欄的下端開始，將每個(gè)區(qū)間的次數(shù)相加，知道包含中數(shù)的區(qū)間為止；用N/2減去上一步中求出的和；用上一步得到的數(shù)字除以中數(shù)所在區(qū)間（簡(jiǎn)稱：中數(shù)區(qū)間）中的分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)，然后乘以區(qū)間的寬度；將上一步的結(jié)果加上中數(shù)所在區(qū)間的真實(shí)下限，所得結(jié)果就是中數(shù)。

40÷2=20;1+2+3+4+7=17;20-17=3;3/8×3=1.13;32.5+1.13=33.63=Mdn第18頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述過程可以寫為公式表示，其中：L－中數(shù)所在區(qū)間的真實(shí)下限；N－全部分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)；S－L以下所有區(qū)間的分?jǐn)?shù)之和；f－中數(shù)區(qū)間的次數(shù)或分?jǐn)?shù)個(gè)數(shù)；I－區(qū)間的寬度。第19頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）四分位差（Q）的計(jì)算用公式求出Q1和Q3的值。公式中的值的含義和計(jì)算中數(shù)的公式中的一致，但L和f現(xiàn)在是指相應(yīng)的四分位數(shù)所在的區(qū)間。用Q減去Q然后除以2，就可以得到四分位差的值。對(duì)表5中的數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)：

Q1=29.5,Q3=38.0Q=4.25現(xiàn)在可以用中數(shù)33.63和四分位差4.25來(lái)描述表5中的數(shù)據(jù)。也就是說(shuō)：這一列分?jǐn)?shù)的中點(diǎn)是33.63，而且在它上、下各四分位差包含中間大約50％的分?jǐn)?shù)（正態(tài)分布中為50％），這種簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)描述可以代替整個(gè)分?jǐn)?shù)的分布。第20頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算（算術(shù)）平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的意義和計(jì)算公式已經(jīng)在前面給出。但是，在使用次數(shù)分布表的時(shí)候卻不是怎么方便，需要做一些修改后，按一系列簡(jiǎn)單步驟完成計(jì)算后，即可達(dá)到目的。下面是具體的步驟：第21頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月靠近分?jǐn)?shù)分布中間的位置選擇任一分?jǐn)?shù)區(qū)間，令該區(qū)間在偏差(d)一欄中為0，這一區(qū)間的中間為假設(shè)的均值，即AM，在上表中為區(qū)間33-35的中點(diǎn)34；確定每個(gè)區(qū)間與零區(qū)間的偏差(d)并填入(d)欄中；算出(fd)和(fd2)；表6第22頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入下列公式中，其中

AM－假設(shè)均值

C－校正數(shù) I－分?jǐn)?shù)間隔的寬度對(duì)表6中數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果：第23頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（三）相關(guān)系數(shù)的計(jì)算

相關(guān)系數(shù)表達(dá)了兩列分?jǐn)?shù)相互關(guān)聯(lián)的程度，其取值范圍為[+1，-1]，+1表示完全正相關(guān)，-1表示完全負(fù)相關(guān)，為0時(shí)表示兩列分?jǐn)?shù)之間不相關(guān)。但是，這僅僅是從數(shù)學(xué)上而言，具體的意義還需要具體的分析。

其手工計(jì)算方法較為復(fù)雜，在此不再討論。值得指出的是：相關(guān)系數(shù)表示兩列分?jǐn)?shù)相互關(guān)聯(lián)的程度，而不是因果關(guān)系。如果X列分?jǐn)?shù)與Y列分?jǐn)?shù)相關(guān)，可能有以下幾種解釋：

X是Y的原因；

Y是X的原因；

X和Y可能存在共同的原因。

X和Y僅存在數(shù)學(xué)意義上相關(guān)，而無(wú)實(shí)際意義。第24頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一般情況下，相關(guān)系數(shù)：

0～0.3，表明無(wú)相關(guān)性；

0.3～0.5，表明低度相關(guān)；

0.5～0.8，表明顯著相關(guān)；0.8～1，表明高度相關(guān)；第25頁(yè)，課件共27頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（四）計(jì)算機(jī)輔助計(jì)算分析

用于統(tǒng)計(jì)分析的軟件較多，最常用的專業(yè)軟件有SPASS、STATA等。一般性的分析可以用MS-Office中的Excel及其同類的Open-office中的表格，WPS表格，永中Office表格等。具體的可以查閱相關(guān)資料，例如