三角形的角平分線中線和高課件

第九章三角形9.3三角形的角平分線、中線和高第九章三角形9.3三角形的角平分線、中線和高1課堂講解三角形的角平分線三角形的中線三角形的高2課時流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1課堂講解三角形的角平分線2課時流程逐點(diǎn)課堂小結(jié)作業(yè)提升1.角平分線的定義及畫法：一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線.2.線段中點(diǎn)的定義：把一條線段分成兩條相等的線段

的點(diǎn).3.做“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”：知識回顧1.角平分線的定義及畫法：知識回顧有一天，小明回家看到弟弟正在對著下邊的三角形發(fā)呆，小明有一點(diǎn)奇怪了，外號“坐不住”的弟弟怎么能坐住了？原來是弟弟想作出三角形ABC的三條高，但是他不會作邊AB、BC上的高，小明不假思索的說：“我來幫你”，當(dāng)他準(zhǔn)備作時，也難住了，聰明的你，能幫幫小明兄弟嗎？有一天，小明回家看到弟弟正在對著下邊的三角形1知識點(diǎn)三角形的角平分線知1－導(dǎo)定義：三角形的一個角的平分線與這個角的對邊相交，這個角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫三角形的角平分線.角平分線的理解：∵AD是△ABC的角平分線∴∠BAD=∠CAD=∠BAC1知識點(diǎn)三角形的角平分線知1－導(dǎo)定義：三角形的一個角的平分線想一想，一個三角形有幾條角平分線？請同學(xué)們畫出，思考它們有什么特點(diǎn)？①三角形的角平分線是一條線段，而角平分線是一條射線.②一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部交于一點(diǎn).知1－導(dǎo)想一想，一個三角形有幾條角平分線？請同學(xué)們畫出，知1－導(dǎo)（來自《點(diǎn)撥》）知1－講例1如圖，△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE∥AC，DF∥AB，EF交AD于點(diǎn)O，請問DO是△DEF的角平分線嗎？說明理由．要知道DO是不是△DEF的角平分線，只需要知道∠EDO與∠FDO是否相等．若相等，根據(jù)三角形的角平分線的定義即可判定．導(dǎo)引：（來自《點(diǎn)撥》）知1－講例1如圖，△ABC中，AD是△AB（來自《點(diǎn)撥》）知1－講DO是△DEF的角平分線．理由如下：因為AD是△ABC的角平分線，所以∠DAB＝∠DAC(角平分線定義)．因為DE∥AC，DF∥AB，所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)，所以∠ADE＝∠ADF(等量代換)，所以DO是△DEF的角平分線．解：（來自《點(diǎn)撥》）知1－講DO是△DEF的角平分線．理由如下：總

結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）本例在解題過程中，先利用角平分線的定義，得出相等的角，再結(jié)合相關(guān)條件(如平行等)推出新的一組相等的角，最后由角平分線的定義說明角平分線，它經(jīng)歷了定義→條件→定義的過程，這就是定義法．總結(jié)知1－講（來自《點(diǎn)撥》）本例在解題1如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列結(jié)論中錯誤的是(

)A．BD是△ABC的角平分線B．CE是△BCD的角平分線C．∠3＝∠ACBD．CE是△ABC的角平分線知1－練（來自《典中點(diǎn)》）D1如圖，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列結(jié)論中錯誤的是()知2一個三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在(

)A．三角形內(nèi)B．三角形外C．三角形的某邊上D．以上三種情形都有可能知1－練（來自《典中點(diǎn)》）A2一個三角形的三條角平分線的交點(diǎn)在()知1－練（來自《典2知識點(diǎn)三角形的中線知2－導(dǎo)定義：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和它的對邊中點(diǎn)的線段叫做這個三角形的中線.三角形中線的理解：∵AD是△ABC的中線∴BD=CD=BC2知識點(diǎn)三角形的中線知2－導(dǎo)定義：在三角形中，連接一個頂點(diǎn)和知2－導(dǎo)想一想，一個三角形有幾條中線？請同學(xué)們畫出.它們有什么特點(diǎn)？①三角形的中線是一條線段.②任何三角形有三條中線，并且都在三角形的內(nèi)部交

于一點(diǎn).知2－導(dǎo)想一想，一個三角形有幾條中線？請同學(xué)們畫出.（來自《點(diǎn)撥》）知2－講例2張大爺?shù)膬蓚€兒子都長大成人了，也該分家了．于是張大爺準(zhǔn)備把如圖所示的一塊三角形田地平均分給兩個兒子，兩個兒子要求分成的兩塊田地的形狀仍然是三角形，請你幫助張大爺提出一種平分的方案．根據(jù)等底同高的三角形的面積相等，要等分三角形的面積，只需要作出一條邊上的中線即可.導(dǎo)引：（來自《點(diǎn)撥》）知2－講例2張大爺?shù)膬蓚€兒子都長大成人了，知2－講（來自《點(diǎn)撥》）解：根據(jù)要求，平分田地的直線必須經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)．畫△ABC的中線AD(如圖)，則AD就把△ABC的面積平分成兩份．這是因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC.過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.在△ABD和△ACD中，因為BD，CD邊上的高都是AE，所以由三角形的面積計算公式，知△ABD和△ACD的面積相等，因此，要把△ABC平分成兩個三角形，只需畫中線AD即可，這是一種平分方法．(本題答案不唯一，作AB，AC邊上的中線也可以)知2－講（來自《點(diǎn)撥》）解：根據(jù)要求，平分田地的直線必須經(jīng)過總

結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）(1)三角形的任意一條中線都能把三角形分成面積相

等的兩部分，即等底同高的三角形面積相等；(2)拓展：在兩個三角形中：底、高、面積這三個量，

如果有其中的兩個量相等，那么第三個量也相等.知2－講總結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）(1)三角形的任意一條中線都能把三（來自教材）(1)如圖，△ABC的面積等于10，AD是中線，分別求出△ABD和△ACD的面積. (2)你能把一個三角形分成面積相等的兩部分嗎？分成面積相等的四部分呢？分成面積相等的三部分呢？1知2－練（來自教材）(1)如圖，△ABC的面積等于10，AD是中線，知2－練(1)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝

BC，所以S△ABD＝S△ACD＝

S△ABC＝5.(2)①把一個三角形分成面積相等的兩部分，如圖所示，其中BD＝DC＝

BC，S△ABD＝S△ADC＝S△ABC.解：（來自教材）(題①圖)知2－練(1)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝知2－練②把一個三角形分成面積相等的四部分，如圖所示，其中BD＝DE＝EF＝FC＝

BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEF＝S△AFC＝

S△ABC.

③把一個三角形分成面積相等的三部分，如圖所示，其中BD＝DE＝EC＝

BC，S△ABD＝S△ADE＝S△AEC＝

S△ABC.（來自教材）(題②圖)(題③圖)知2－練②把一個三角形分成面積相等的四部分，如圖所示，其中B若AD是△ABC的中線，下列結(jié)論錯誤的是(

)A．AB＝BC

B．BD＝DCC．AD平分BC

D．BC＝2DC已知D，E分別是△ABC的邊AC，BC的中點(diǎn)，那么下列說法中不正確的是(

)A．DE是△BCD的中線B．BD是△ABC的中線C．AD＝DC，BE＝ECD．AD＝EC，DC＝BE知2－練2A（來自《典中點(diǎn)》）3D若AD是△ABC的中線，下列結(jié)論錯誤的是()知2－練2A三角形一邊上的中線把原三角形一定分成兩個(

)A．形狀相同的三角形B．面積相等的三角形C．直角三角形D．周長相等的三角形如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，則△ABD和△BCD的周長的差是(

)A．2

B．3

C．6

D．不能確定知2－練4B（來自《典中點(diǎn)》）5A三角形一邊上的中線把原三角形一定分成兩個()知2－練4B如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，且S△ABC＝4，則S陰影為(

)A．2

B．1

C.

D.知2－練6B（來自《典中點(diǎn)》）如圖，在△ABC中，D，E分別為BC，AD的中點(diǎn)，且S△AB已知三角形的三條中線交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論：①這一點(diǎn)在三角形的內(nèi)部；②這一點(diǎn)有可能在三角形的外部；③這一點(diǎn)是三角形的重心．其中正確的結(jié)論有________．(填序號)知2－練7（來自《典中點(diǎn)》）①③已知三角形的三條中線交于一點(diǎn)，則下列結(jié)論：知2－練7（來自《3知識點(diǎn)三角形的高知3－導(dǎo)定義：從三角形一個頂點(diǎn)向它的對邊所在的直線做垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高.對三角形高的理解：∵AD是△ABC的高∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB

=90°3知識點(diǎn)三角形的高知3－導(dǎo)定義：從三角形一個頂點(diǎn)向它的對邊所知3－導(dǎo)想一想，一個三角形有幾條高？請同學(xué)們用同樣的方法畫出.它們有什么特點(diǎn)？①三角形的高是一條線段.②一個三角形有三條高，三條高(或高的延長線)相交

于一點(diǎn).可分為銳角三角形(內(nèi)部)，直角三角形(直角

頂點(diǎn))，鈍角三角形(外部).知3－導(dǎo)想一想，一個三角形有幾條高？請同學(xué)們用同樣的方知3－講（來自《點(diǎn)撥》）(動手操作題，易錯題)畫出圖中△ABC的三條高．(要標(biāo)明字母，不寫畫法)例3導(dǎo)引：“作一邊上的高”，即可看作“過一點(diǎn)(這邊所對角的頂點(diǎn))作已知直線(這邊所在的直線)的垂線．”按照“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”進(jìn)行作圖，頂點(diǎn)與垂足之間的線段即為該邊上的高；需注意AB，BC邊上的高在三角形的外部，作高時先延長AB與CB.知3－講（來自《點(diǎn)撥》）(動手操作題，易錯題)畫出圖中△AB（來自《點(diǎn)撥》）解：如圖所示.知3－講（來自《點(diǎn)撥》）解：如圖所示.知3－講總

結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）(1)作三角形的高時，找準(zhǔn)頂點(diǎn)和對邊是關(guān)鍵，作高

的步驟就是“過一點(diǎn)作已知直線的垂線”的步驟：

一靠(三角尺的一條直角邊靠在要作高的邊上)、二

找(移動三角尺使另一條直角

邊通過要作高的頂點(diǎn))、三畫

線(畫垂線段)，如圖.(2)注意：高是線段，垂線是直線．知3－講總結(jié)（來自《點(diǎn)撥》）(1)作三角形的高時，找準(zhǔn)頂點(diǎn)和對（來自教材）如圖.AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線和高.請你指出圖中相等的角及相等的線段.1相等的角有∠BAE＝∠EAC，∠AFB＝∠AFC；相等的線段有BD＝DC.解：知3－練（來自教材）如圖.AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平（來自教材）分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條角平分線、三條中線和三條高.2(1)銳角三角形(如圖所示)．(2)直角三角形(如圖所示)．解：知3－練（來自教材）分別畫出銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形的三條（來自教材）(3)鈍角三角形(如圖所示)．知3－練（來自教材）(3)鈍角三角形(如圖所示)．知3－練（來自教材）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，∠BAC=40°，∠C=60°.求∠DAE的度數(shù).3因為AD平分∠BAC，所以∠CAD＝∠BAC＝20°.因為∠ADE是△ACD的一個外角，所以∠ADE＝∠C＋∠CAD＝60°＋20°＝80°.又因為AE是△ABC的高，所以∠AED＝90°，所以在△AED中，∠DAE＝180°－∠AED－∠ADE＝180°－90°－80°＝10°.

解：知3－練（來自教材）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，AE是高，∠（來自教材）如圖，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平分線，CE是高，BD與CE交于點(diǎn)O.求∠BOC的度數(shù).4因為BD是△ABC的角平分線，所以∠OBC＝∠ABC＝31°.因為CE是△ABC的高，所以∠BEC＝90°，所以在△BEC中，∠ECB＝180°－∠EBC－∠BEC＝180°－62°－90°＝28°，所以在△BOC中，∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－31°－28°＝121°.解：知3－練（來自教材）如圖，在△ABC中，∠ABC=62°，BD是角平（來自教材）如圖，在△ABC中，AD是高，BE是角平分線，AD，BE交于點(diǎn)F，∠C=30°，∠BFD=70°.求∠BAC的度數(shù).5因為AD是△ABC的高，所以∠ADB＝90°，所以在△BFD中，∠FBD＝180°－∠FDB－∠BFD＝180°－90°－70°＝20°.又因為BE是△ABC的角平分線，所以∠ABF＝∠FBD＝20°，所以∠ABC＝40°，所以∠BAC＝180°－∠ABC－∠C＝180°－40°－30°＝110°.解：知3－練（來自教材）如圖，在△ABC中，AD是高，BE是角平分線，A下列圖形中，AD是△ABC的高的是(

)下列說法中正確的是(

)A．三角形的三條高都在三角形內(nèi)B．直角三角形只有一條高C．銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)D．三角形每一邊上的高都小于其他兩邊6（來自《典中點(diǎn)》）B知3－練C7下列圖形中，AD是△ABC的高的是()6（來自《典中點(diǎn)》【中考·婁底】如圖，已知在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D沿BC自B向C運(yùn)動(點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合)，作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，則BE＋CF的值(

)A．不變B．增大C．減小D．先變大再變小8