2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第十二章概率第四講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布課件理

第十二章

概率第四講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布要點(diǎn)提煉

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)1

條件概率P(B|A)

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)1

P(B|A)+P(C|A)P(A)P(B)

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)13.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

定義:一般地,在相同條件下重復(fù)做n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).計(jì)算公式:若用Ai(i=1,2,3,…,n)表示第i次試驗(yàn)的結(jié)果,則這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An).(2)二項(xiàng)分布定義:一般地,在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p,此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作⑥X~B(n,p),并稱p為成功的概率.

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)1計(jì)算公式:在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=

,k=0,1,2,…,n.二項(xiàng)分布的期望與方差:若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=

.名師提醒

1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件(1)每次試驗(yàn)在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行;(2)每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的;(3)每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果,即事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生.

np(1-p)

二項(xiàng)分布及其應(yīng)用考點(diǎn)1

正態(tài)分布考點(diǎn)2

x=μx=μ

正態(tài)分布考點(diǎn)2d.曲線與x軸之間的面積為1.e.當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移,如圖(1)所示.f.當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定.σ越

,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越

,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散,如圖(2)所示.小大

正態(tài)分布考點(diǎn)2

X~N(μ,σ2)

正態(tài)分布考點(diǎn)2(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)a.P(μ-σ<X≤μ+σ)≈0.6827,b.P(μ-2σ<X≤μ+2σ)≈0.9545,c.P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.名師提醒1.在實(shí)際應(yīng)用中,通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機(jī)變量X只取(μ-3σ,μ+3σ)之間的值,并簡(jiǎn)稱之為3σ原則.2.若X~N(μ,σ2),則隨機(jī)變量X在μ的附近取值的概率很大,在離μ很遠(yuǎn)處取值的概率很小.3.若X~N(μ,σ2),則X的期望與方差分別為E(X)=μ，D(X)=σ2.理解自測(cè)1.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”).(1)若兩個(gè)事件是互斥事件,則兩個(gè)事件相互獨(dú)立.(

)(2)對(duì)立事件一定是相互獨(dú)立事件.(

)(3)對(duì)于任意事件,公式P(AB)=P(A)P(B)都成立.(

)(4)在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生,相當(dāng)于事件A,B同時(shí)發(fā)生.(

)(5)對(duì)任意兩個(gè)事件B,C,P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A).(

)(6)X服從正態(tài)分布,通常用X~N(μ,σ2)表示,其中參數(shù)μ和σ分別表示正態(tài)分布的均值和方差.(

)××××××

×BA考向掃描

條件概率考向11.典例[2021安徽師大附中5月模擬]設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格,從中任意選取2件,則在所選取的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品時(shí),另一件也是不合格品的概率是

.

解析

記事件A為“選取的兩件產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品”,事件B為“另一件是不合格品”,則AB為“兩件都是不合格品”.

條件概率考向1

條件概率考向1方法技巧

1.求條件概率的三種方法定義法基本事件法縮樣法即縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況,只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡(jiǎn).

條件概率考向1

2.條件概率的判斷依據(jù)對(duì)條件概率問(wèn)題的判斷主要依據(jù)題目中出現(xiàn)的“已知”“在…前提下(條件下)”等字眼.若題目中沒(méi)有出現(xiàn)上述字眼,但已知事件的發(fā)生影響了所求事件的概率,一般也認(rèn)為是條件概率問(wèn)題.

條件概率考向1

2.變式[2021廣東佛山三模]設(shè)某種動(dòng)物由出生算起,活到20歲的概率是0.8,活到25歲的概率是0.4.現(xiàn)有一個(gè)20歲的這種動(dòng)物,它能活到25歲的概率是

.

0.5

相互獨(dú)立事件考向2角度1

相互獨(dú)立事件的判斷3.典例

[2021新高考卷Ⅰ]有6個(gè)相同的球,分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中有放回地隨機(jī)取兩次,每次取1個(gè)球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”,則 (

)A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立C.乙與丙相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立B

相互獨(dú)立事件考向2

相互獨(dú)立事件考向2角度2

相互獨(dú)立事件的概率的求法4.典例

[2019全國(guó)卷Ⅱ][理]11分制乒乓球比賽,每贏一球得1分,當(dāng)某局打成10∶10平后,每球交換發(fā)球權(quán),先多得2分的一方獲勝,該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽,假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10∶10平后,甲先發(fā)球,兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.(1)求P(X=2);(2)求事件“X=4且甲獲勝”的概率.

相互獨(dú)立事件考向2解析

(1)“X=2”包含的事件為“甲連贏兩球”或“乙連贏兩球”.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.(2)“X=4且甲獲勝”包含的事件為“前兩球甲、乙各得1分,后兩球均為甲得分”.因此所求概率為[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.

相互獨(dú)立事件考向2方法技巧相互獨(dú)立事件的概率的求法(1)直接法:利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解.(2)間接法:正面計(jì)算較煩瑣(如求用“至少”表述的事件的概率)或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.與相互獨(dú)立事件A,B有關(guān)的概率的計(jì)算公式如下表:

相互獨(dú)立事件考向2事件A,B相互獨(dú)立概率計(jì)算公式A,B同時(shí)發(fā)生P(AB)=P(A)P(B)A,B同時(shí)不發(fā)生A,B至少有一個(gè)不發(fā)生P=1-P(AB)=1-P(A)P(B)A,B至少有一個(gè)發(fā)生A,B恰有一個(gè)發(fā)生

相互獨(dú)立事件考向25.變式[2019全國(guó)卷Ⅰ][理]甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽,采取七場(chǎng)四勝制(當(dāng)一隊(duì)贏得四場(chǎng)勝利時(shí),該隊(duì)獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績(jī),甲隊(duì)的主客場(chǎng)安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場(chǎng)取勝的概率為0.6,客場(chǎng)取勝的概率為0.5,且各場(chǎng)比賽結(jié)果相互獨(dú)立,則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

.0.18

相互獨(dú)立事件考向2

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3角度1

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3角度2

二項(xiàng)分布

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3

X0123P

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3方法技巧1.利用二項(xiàng)分布解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是建立二項(xiàng)分布模型,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布的依據(jù):①試驗(yàn)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn);②隨機(jī)變量X是在這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù).若X~B(n,p),則利用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求期望、方差,可減少計(jì)算量.2.有些隨機(jī)變量雖不服從二項(xiàng)分布,但與之具有線性關(guān)系的另一隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,這時(shí),可以應(yīng)用均值與方差的性質(zhì)求解,即利用E(ax+b)=aE(x)+b,D(ax+b)=a2D(x)求解.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向38.變式[2018全國(guó)卷Ⅰ][理]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品做檢驗(yàn),如檢驗(yàn)出不合格品,則更換為合格品.檢驗(yàn)時(shí),先從這箱產(chǎn)品中任取20件做檢驗(yàn),再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn).設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用.

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3(i)若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn),這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X,求E(X);(ii)以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù),是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)?

獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布考向3(2)由(1)知,p0=0.1,所以p=0.1.(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品的件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y.所以E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490.(ii)如果對(duì)這箱余下的產(chǎn)品做檢驗(yàn),那么這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于E(X)>400,故應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn).

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向49.典例[2021新高考卷Ⅱ]某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結(jié)論中不正確的是(

)A.σ越小,該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測(cè)量結(jié)果小于9.99的概率與大于10.01的概率相等D.該物理量一次測(cè)量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等D

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4解析

設(shè)該物理量一次測(cè)量結(jié)果為X,對(duì)于A,σ越小,說(shuō)明數(shù)據(jù)越集中在10附近,所以X落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大,所以選項(xiàng)A正確;對(duì)于B,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得,P(X>10)=0.5,所以選項(xiàng)B正確;對(duì)于C,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得,P(X>10.01)=P(X<9.99),所以選項(xiàng)C正確;對(duì)于D,根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得,P(9.9<X<10.2)P(10<X<10.3)=P(9.9<X<10)-P(10.2<X<10.3),又P(9.9<X<10)>P(10.2<X<10.3),所以P(9.9<X<10.2)>P(10<X<10.3),所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選D.

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4方法技巧

有關(guān)正態(tài)分布的2類常見(jiàn)的概率計(jì)算1.利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問(wèn)題,涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對(duì)稱,曲線與x軸之間的面積為1.2.在求概率問(wèn)題時(shí),要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ,σ進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系,確定它們屬于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一個(gè).

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4思維拓展對(duì)于正態(tài)分布N(μ,σ2),由直線x=μ是正態(tài)曲線的對(duì)稱軸知:(1)P(x≥μ)=P(x<μ)=0.5;(2)對(duì)任意的a,有P(X<μ-a)=P(X>μ+a);(3)P(X<x0)=1-P(X≥x0);(4)P(a<X<b)=P(X<b)-P(X≤a).

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向410.變式[2017全國(guó)卷Ⅰ][理]為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程,檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn),可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4解析(1)抽取的一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率約為0.9973,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率約為0.0027,故X~B(16,0.0027).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈0.0423.X的數(shù)學(xué)期望E(X)=16×0.0027=0.0432.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個(gè)零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0027,一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0423,發(fā)生的概率很小.

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4

正態(tài)分布及其應(yīng)用考向4

攻堅(jiān)克難

概率與其他學(xué)科的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索111.典例如圖,由M到N的電路中有4個(gè)元件,分別標(biāo)為T1,T2,T3,T4,電流能通過(guò)T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過(guò)T4的概率是0.9,電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立.已知T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.則:(1)p=

;(2)電流能在M與N之間通過(guò)的概率為

.0.98910.9解析記Ai表示事件“電流能通過(guò)Ti”,i=1,2,3,4,A表示事件“T1,T2,T3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流”,B表示事件“電流能在M與N之間通過(guò)”.

概率與其他學(xué)科的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索1

概率與其他學(xué)科的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索1

C

概率與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索213.典例[2021新高考卷Ⅱ]一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái),設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代,經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代,再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列,設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù),P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);(2)設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率,p是關(guān)于x的方程p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一個(gè)最小正實(shí)根,求證:當(dāng)E(X)≤1時(shí),p=1,當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1;(3)根據(jù)你的理解說(shuō)明(2)問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

概率與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索2解析

(1)由題意,P(X=0)=0.4,P(X=1)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=0.1,∴X的分布列為E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2)記f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,由題知,p為f(x)=0的實(shí)根,由p0=1-p1-p2-p3,得f(x)=p3(x3-1)+p2(x2-1)+p1(x-1)-(x-1)=(x-1)[p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1].X0123P0.40.30.20.1

概率與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索2記g(x)=p3x2+(p3+p2)x+p3+p2+p1-1,則g(1)=3p3+2p2+p1-1=E(X)-1,g(0)=p3+p2+p1-1=-p0<0.當(dāng)E(X)≤1時(shí),g(1)≤0,易知g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g(x)=0無(wú)實(shí)根.∴f(x)=0在(0,1]上有且僅有一個(gè)實(shí)根,即p=1,∴當(dāng)E(X)≤1時(shí),p=1.

概率與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索2當(dāng)E(X)>1時(shí),g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的圖象開(kāi)口向上,∴g(x)=0在(0,1)上有唯一實(shí)根p',∴f(x)=0的最小正實(shí)根p=p'∈(0,1),∴當(dāng)E(X)>1時(shí),p<1.(3)E(X)≤1,表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)不超過(guò)自身個(gè)數(shù),種群數(shù)量無(wú)法維持穩(wěn)定或正向增長(zhǎng),多代繁殖后將面臨滅絕,所以p=1.E(X)>1,表示1個(gè)微生物個(gè)體可以繁殖下一代的個(gè)數(shù)超過(guò)自身個(gè)數(shù),種群數(shù)量可以正向增長(zhǎng),所以面臨滅絕的可能性小于1.

概率與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題數(shù)學(xué)探索214.變式[2019全國(guó)卷Ⅰ][理]為治療某種疾病,研制了甲、乙兩種新藥,希望知道哪種新藥更有效,為此進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下:每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)