《平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型》專題練習(xí)：重點(diǎn)題型（解析版）

《平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型》專題練習(xí)：重點(diǎn)題型（解析版）《平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型》專題練習(xí)：重點(diǎn)題型（解析版）PAGEPAGE1《平行線模型-“骨折”和“抬頭”模型》專題練習(xí)：重點(diǎn)題型（解析版）專題03平行線模型-”骨折”和”抬頭”模型專題說明專題說明學(xué)習(xí)前面兩次課的平行線模型做題方法,相信同學(xué)們都掌握了做題方法和技巧,本次課學(xué)習(xí)平行線最后兩個模型：平行線模型-”骨折”和”抬頭”模型,為以后的學(xué)習(xí)打好一個堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).【模型刨析】模型三”抬頭”模型點(diǎn)P在EF右側(cè),在AB、CD外部“臭腳”模型結(jié)論1：若AB∥CD,則∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;結(jié)論2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,則AB∥CD.模型四”骨折”模型點(diǎn)P在EF左側(cè),在AB、CD外部“骨折”模型結(jié)論1：若AB∥CD,則∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP;結(jié)論2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,則AB∥CD.【典例分析】【類型一：”骨折”模型】【典例1】(2022春?銅仁市期末)2022北京冬奧會掀起了滑雪的熱潮,很多同學(xué)紛紛來到滑雪場,想親身感受一下奧運(yùn)健兒在賽場上風(fēng)馳電掣的感覺,但是第一次走進(jìn)滑雪場的你,學(xué)會正確的滑雪姿勢是最重要的,正確的滑雪姿勢是上身挺直略前傾,與小腿平行,使腳的根部處于微微受力的狀態(tài),如圖所示,AB∥CD,如果人的小腿CD與地面的夾角∠CDE＝60°,你能求出身體BA與水平線的夾角∠BAF的度數(shù)嗎?若能,請你用兩種不同的方法求出∠BAF的度數(shù)．【解答】解：方法一：延長AB交直線DE于點(diǎn)G,∵AG∥CD,∴∠CDE＝∠AGE＝60°,∵AF∥DE,∴∠BAF＝∠AGE＝60°;方法二：過點(diǎn)B作BM∥AF,過點(diǎn)C作CN∥ED,∴∠BAF＝∠3,∠CDE＝∠4＝60°,∵AF∥DE,∴BM∥CN,∴∠1＝∠2,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD,∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2,∴∠3＝∠4,∴∠BAF＝∠CDE＝60°．∴∠BAF的度數(shù)為60°．【變式1-1】(2017春?如皋市校級期中)如圖,AB∥CD,EMNF是直線AB、CD間的一條折線．若∠1＝40°,∠2＝60°,∠3＝70°,則∠4的度數(shù)為()A．55°B．50°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：如圖2,過M作OM∥AB,PN∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥OM∥PN∥CD,∴∠1＝∠EMO,∠4＝∠PNF,∠OMN＝∠PNM,∴∠EMN﹣∠MNF＝(∠1+∠MNP)﹣(∠MNP+∠4)＝∠1﹣∠4,∴60°﹣70°＝40°﹣∠4,∴∠4＝50°．故選：B．【變式1-2】(2021秋?雅安期末)如圖,AB∥EF,∠BCD＝90°,探索圖中角α,β,γ之間的關(guān)系式正確的是()A．α+β+γ＝360°B．α+β＝γ+90°C．α+γ＝βD．α+β+γ＝180°【答案】B【解答】解：過點(diǎn)C作CM∥AB,過點(diǎn)D作DN∥AB,∵AB∥EF,∴AB∥CM∥DN∥EF,∴∠BCM＝α,∠DCM＝∠CDN,∠EDN＝γ,∵β＝∠CDN+∠EDN＝∠CDN+γ①,∠BCD＝α+∠CDN＝90°②,由①②得：α+β﹣γ＝90°．故選：B．【變式1-3】(2014春?蘇州期末)如圖,已知AB∥CD,∠1＝∠2,∠E＝50°,則∠F＝()A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】B【解答】解：∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD,∵∠1＝∠2,∴∠EBC＝∠BCF,∴EB∥CF,∴∠F＝∠E＝50°．故選：B．【類型二：”抬頭”模型】【典例2】(2022春?長沙期中)問題情境我們知道,”兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ)”,所以在某些探究性問題中通過”構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中,∠BAC＝60°,∠B＝30°,∠C＝90°,長方形DEFG中,DE∥GF．問題初探(1)如圖(1),若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長方形的邊GF上,BC與DE相交于點(diǎn)M,AB⊥DE于點(diǎn)N,求∠EMC的度數(shù)．分析：過點(diǎn)C作CH∥GF．則有CH∥DE,從而得∠CAF＝∠HCA,∠EMC＝∠MCH,從而可以求得∠EMC的度數(shù)．由分析得,請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為,∠EMC的度數(shù)為．類比再探(2)若將三角板ABC按圖(2)所示方式擺放(AB與DE不垂直),請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由．(3)請你總結(jié)(1),(2)解決問題的思路,在圖(3)中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系?并說明理由．【解答】解：(1)由題可得,∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°,∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°;故答案為：30°,60°;(2)∠EMC+∠CAF＝90°,理由：證明：如圖,過C作CH∥GF,則∠CAF＝∠ACH,∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE,∴∠EMC＝∠HCM,∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°;(3)∠BAG﹣∠BMD＝30°,理由：證明：如圖,過B作BK∥GF,則∠BAG＝∠KBA,∵BK∥GF,DE∥GF,∴BK∥DE,∴∠BMD＝∠KBM,∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°【變式2-1】(2020春?乳山市期中)【信息閱讀】材料信息：如圖①,AB∥DE,點(diǎn)C是直線AB,DE外任意一點(diǎn),連接BC,DC．方法信息：如圖②,在”材料信息”的條件下,∠B＝55°,∠D＝35°,求∠BCD的度數(shù)．解：過點(diǎn)C作CF∥AB．∴∠BCF＝∠B＝55°．∵AB∥DE,∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D＝35°．∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°．【問題解決】(1)通過【信息閱讀】,猜想：∠B,∠D,∠BCD之間有怎樣的等量關(guān)系?請直接寫出結(jié)論：;(2)如圖③,在”材料信息”的條件下,改變點(diǎn)C的位置,∠B,∠D,∠BCD之間的等量關(guān)系是否改變?若不改變,請寫出理由;若改變,請寫出新的等量關(guān)系及理由．【解答】解(1)過C作CF∥ED,∵AB∥ED,∴AB∥CF,∴∠B＝∠BCF,∠D＝∠DCF,∵∠BCD＝∠BCF﹣∠DCF,∴∠BCD＝∠B﹣∠D,故答案為：∠BCD＝∠B﹣∠D．(2)過點(diǎn)C作CF∥AB,∴∠BCF＝∠B,∵AB∥DE,∴CF∥DE．∴∠DCF＝∠D,∵∠BCD＝∠DCF﹣BCF,∴∠BCD＝∠D﹣∠B．【夯實(shí)基礎(chǔ)】1．(2022秋?青島期末)如圖,AB∥DE,∠ABC＝80°,∠CDE＝140°,則∠BCD的度數(shù)為()A．30°B．40°C．60°D．80°【答案】B【解答】解：反向延長DE交BC于M,如圖：∵AB∥DE,∴∠BMD＝∠ABC＝80°,∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝100°;又∵∠CDE＝∠CMD+∠C,∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝140°﹣100°＝40°．故選：B．2．(2022秋?東莞市校級期中)如圖,AB∥CD,∠A＝70°,∠C＝40°,則∠E為()A．30°B．40°C．35°D．70°【答案】A【解答】解：∵AB∥CD,∴∠1＝∠A＝70°,∵∠1＝∠E+∠C,∠C＝40°,∴∠E＝30°．故選：A．3．(2022春?林州市期末)如圖,AB∥EF,∠C＝90°,則α、β和γ的關(guān)系是()A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°【答案】C【解答】解：延長DC交AB與G,延長CD交EF于H．在直角△BGC中,∠1＝90°﹣α;△EHD中,∠2＝β﹣γ,∵AB∥EF,∴∠1＝∠2,∴90°﹣α＝β﹣γ,即α+β﹣γ＝90°．故選：C．4．(2020春?恩平市期中)如圖,AB∥EF,∠C＝90°,則α、β、γ的關(guān)系是()A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：延長DC交AB與G,延長CD交EF于H．在直角△BGC中,∠1＝90°﹣α,∵∠β+∠EDH＝180°,∠2+∠γ+∠EDH＝180°,∴∠2＝β﹣γ,∵AB∥EF,∴∠1＝∠2,∴90°﹣α＝β﹣γ,即α+β﹣γ＝90°．故選：C．5．(2022秋?肇源縣期中)如圖,已知AB∥CD,∠1＝∠2,∠E＝50°,則∠F的度數(shù)．【答案】50°【解答】解：連接BC,∵AB∥CD,∴∠ABC＝∠BCD,∵∠1＝∠2,∴∠EBC＝∠BCF,∴EB∥CF,∴∠F＝∠E＝50°．故答案為：50°．6．(2022春?左權(quán)縣期中)為了落實(shí)”雙減”政策,促進(jìn)學(xué)生健康成長,各學(xué)校積極推行”5+2”模式,立足學(xué)生的認(rèn)知成長規(guī)律,滿足學(xué)生多樣化的需求,打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容．晉中市的某學(xué)校將”抖空竹”引入陽光體育一小時活動,如圖1是一位同學(xué)抖空竹時的一個瞬間,小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD,∠EAB＝80°,∠ECD＝110°,則∠E的度數(shù)是．【答案】30°【解答】解：延長DC交AE于點(diǎn)F,∵AB∥CD,∴∠EFC＝∠A＝80°,由外角的性質(zhì)得,∠DCE＝∠E+∠EFC,∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案為：30°．7．(2022春?泰興市校級月考)如圖,直線AB∥CD,∠B＝66°,∠D＝37°,則∠E的度數(shù)是．【答案】30°【解答】解：如圖,∵AB∥CD,∠B＝66°,∴∠CFE＝∠B＝66°,∵∠CFE是△DEF的外角,∠D＝37°,∴∠E＝∠CFE﹣∠D＝66°﹣37°＝29°．故答案為：29°．8．(2021春?青浦區(qū)期中)已知,直線AB∥CD(1)如圖(1),點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A＝140°,∠C＝150°,則∠AGC的度數(shù)是多少?(2)如圖(2),點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn),聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A＝x°,∠C＝y(tǒng)°,則∠AGC的度數(shù)是多少?(3)如圖(3),寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系?直接寫出結(jié)論．【解答】(1)過點(diǎn)G作GE∥AB,因?yàn)锳B∥GE,所以∠A+∠AGE＝180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)),因?yàn)椤螦＝140°,所以∠AGE＝40°,因?yàn)锳B∥GE,AB∥CD,所以GE∥CD(平行的傳遞性),所以∠C+∠CGE＝180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))因?yàn)椤螩＝150°,所以∠CGE＝30°,所以∠AGC＝∠AGE+∠CGE＝40°+30°＝70°．(2)過點(diǎn)G作GF∥AB,因?yàn)锳B∥GF,所以∠A＝AGF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),因?yàn)锳B∥GF,AB∥CD,所以GF∥CD(平行的傳遞性),所以∠C＝∠CGF,所以∠AGC＝∠AGF+∠CGF＝∠A+∠C,因?yàn)椤螦＝x°,∠C＝y(tǒng)°所以∠AGC＝(x+y)°,(3)如圖所示,過點(diǎn)E作EM∥AB,過點(diǎn)F作FN∥AB,過點(diǎn)G作GQ∥CD,∵AB∥CD,∴AB∥EM∥FN∥GQ∥CD(平行的傳遞性),∴∠BAE＝∠AEM(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠MEF＝∠EFN(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠NFG＝∠FGQ(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∠QGC＝∠GCD(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),∴∠AEF＝∠BAE+∠EFN,∠FGC＝∠NFG+GCD,而∠EFN+∠NFG＝∠EFG,∴∠BAE+∠EFG+∠GCD＝∠AEF+∠FGC．9.(2022春?宜春期末)問題：已知線段AB∥CD,在AB、CD間取一點(diǎn)P(點(diǎn)P不在直線AC上),連接PA、PC,試探索∠APC與∠A、∠C之間的關(guān)系．(1)端點(diǎn)A、C同向：如圖1,點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時,∠APC﹣(∠A+∠C)＝度;如圖2,點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時,∠APC+(∠A+∠C)＝度;(2)端點(diǎn)A、C反向：如圖3,點(diǎn)P在直線AC右側(cè)時,∠APC與∠A﹣∠C有怎樣的等量關(guān)系?寫出結(jié)論并證明;如圖4,點(diǎn)P在直線AC左側(cè)時,∠APC﹣(∠A﹣∠C)＝度．【解答】解：(1)如圖：過點(diǎn)P作PE∥AB,∴∠A＝∠APE,∵AB∥CD,∴PE∥CD,∴∠C＝∠EPC,∵∠APC＝∠APE+∠EPC,∴∠APC＝∠A+∠C,∴∠APC﹣(∠A+∠C)＝0度,故答案為：0;如圖：過點(diǎn)P作PE∥AB,∴∠A+∠APE＝180°,∵AB∥CD,∴PE∥CD,∴∠C+∠EPC＝180°,∴∠A+∠APE+∠C+∠EPC＝360°,∴∠APC+∠A+∠C＝360°,∴∠APC+(∠A+∠C)＝360度,故答案為：360;(2)∠APC+∠A﹣∠C＝180°,證明：過點(diǎn)P作PE∥CD,∴∠C＝∠EPC,∵AB∥CD,∴PE∥AB,∴∠A+∠APE＝180°,∴∠A+∠APC﹣∠EPC＝180°,∴∠A+∠APC﹣∠C＝180°,∴∠APC+∠A﹣∠C＝180°;如圖：過點(diǎn)P作PE∥AB,∴∠A＝∠APE,∵AB∥CD,∴PE∥CD,∴∠C+∠EPC＝180°,∴∠C+∠APC﹣∠APE＝180°,∴∠C+∠APC﹣∠A＝180°,∴∠APC﹣(∠A﹣∠C)＝180°,故答案為：180．【能力提升】10．(2019春?全南縣期末)(1)如圖1已知：∠B＝25°,∠BED＝80°,∠D＝55°．探究AB與CD有怎樣的位置關(guān)系．(2)如圖2已知AB∥EF,試猜想∠B,∠F,∠BCF之間的關(guān)系,寫出這種關(guān)系,并加以證明．(3)如圖3已知AB∥CD,試猜想∠1,∠2,∠3,∠4,∠5之間的關(guān)系,請直接寫出這種關(guān)系,不用證明．【解答】解：(1)過點(diǎn)E作EF∥AB∵∠B＝25°∴∠BEF＝∠B＝25°∵∠BED＝80°∴∠DEF＝∠BED﹣∠BEF＝55°∵∠D＝55°∴∠D＝∠DEF∴EF∥CD∴AB∥CD(2)過點(diǎn)C作CD∥AB∴∠B＝∠BCD∵AB∥EF∴CD∥EF∴∠F＝∠DCF∵∠BCF＝∠BCD+∠DCF∴∠BCF＝∠B+∠F(3)∠1+∠3+∠5＝∠2+∠4．由(1)(2)可得：∠1+∠3+∠5＝∠2+∠411．(2022春?鳳泉區(qū)校級期末)如圖,已知AB∥CD,E、F分別在AB、CD上,點(diǎn)G在AB、CD之間,連接GE、GF．(1)當(dāng)∠BEG＝40°,EP平分∠BEG,FP平分∠DFG時：①如圖1,若EG⊥FG,則∠P的度數(shù)為;②如圖2,在CD的下方有一點(diǎn)Q,EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ,求∠Q+2∠P的度數(shù);(2)如圖3,在AB的上方有一點(diǎn)O,若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA,則當(dāng)∠EOF+∠EGF＝100°時,請直接寫出∠OEA與∠OFC的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：(1)①如圖,分別過點(diǎn)G,P作GN∥AB,PM∥AB,∴∠BEG＝∠EGN,∵AB∥CD,∴∠NGF＝∠GFD,∴∠EGF＝∠