質點動力學課件

第2章質點動力學“潮汐”是海水的一種周期性的升降或漲落運動，是月亮和太陽對地球的引力以及地球自轉所致。海水周期性漲落水體形成了海流潮汐動能---潮汐能。第2章質點動力學“潮汐”是海水的一種周期性的升降或§2.1

牛頓運動定律及其應用主要內容：1.牛頓運動定律2.力學中常見的幾種力3.牛頓第二定律的微分形式4.質點動力學的兩類問題§2.1牛頓運動定律及其應用主要內容：1.牛頓運動定律2.1.1牛頓運動定律任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀，直到其他物體作用的力迫使它改變這種狀態(tài)為止。注意三個重要概念?

慣性——物體的固有屬性（慣性定律）牛頓第一定律§2.1

牛頓運動定律及其應用?慣性參照系——物體運動遵從第一定律的參照系?力(概念)——使物體改變運動狀態(tài)的原因靜力學基本方程（質點處于靜止或勻速直線運動狀態(tài)時）2.1.1牛頓運動定律任何物體都保持靜止或勻速直線運動的狀一個物體的動量隨時間的變化率等于這個物體所受的合力。牛頓第二定律當物體的質量不隨時間變化時(1)第二定律的三個性質?對應性

——?矢量性

——（矢量疊加定理）?瞬時性

——第二定律是一個瞬時關系式討論一個物體的動量隨時間的變化率等于這個物體所受的合力。牛頓第(2)分量表示形式自然坐標中?如火箭、雨滴問題。?在狹義相對論中,高速運動物體的質量與運動速度有關。(3)在一般問題中，m可認為常量，但有時m是變化的：√X(2)分量表示形式自然坐標中?如火箭、雨滴問題。?在狹牛頓定律的正確性被事實所證明，它是質點動力學的基本定律，也是整個經典力學的基礎。第三定律—力的特性牛頓第三定律注意:第三定律揭示了力的特性?成對性

——物體之間的作用是相互的。?一致性

——作用力與反作用力性質一致。?同時性

——相互作用之間是相互依存，同生同滅。第二定律—力的度量(定量描述)小結第一定律—“力”的概念牛頓定律的正確性被事實所證明，它是質點動力學的基本定律，也是1.力學中的常見力萬有引力：萬有引力的大小萬有引力定律的矢量式萬有引力常量2.1.2力學中常見的幾種力由于物體具有質量而在物體之間產生的一種相互作用。萬有引力定律式適用于兩個質點；

說明對于兩個質量均勻的球體之間的引力，可以直接用萬有引力定律式計算。1.力學中的常見力萬有引力：萬有引力的大小萬有引力定律的矢地球對其表面附近物體的萬有引力質量為m的物體所受重力為重力：設地球的質量為mE，地球的半徑為R，物體的質量為m重力加速度地球對其表面附近物體的萬有引力質量為m的物體所受重力為重力如圖所示，一質點m旁邊放一長度為L、質量為M的桿，桿離質點近端距離為l?

萬有引力公式只適用于兩質點解例質點所受桿的萬有引力。求如圖所示，一質點m旁邊放一長度為L、質量為M的桿，桿離當l>>L時討論當l>>L時討論彈性力：因形變而產生的恢復力支承面的支承力繩索內的張力(1)質量忽略不計的輕繩，繩中各點處的張力相等；(2)質量不能忽略的繩索，且處于加速運動狀態(tài)時，繩中各點處的張力不同。彈性力：因形變而產生的恢復力支承面的支承力繩索內的張力(胡克定律彈簧的彈性力胡克定律彈簧的彈性力

摩擦力：靜摩擦力：(3)最大靜摩擦力靜摩擦力的大小隨外力的變化而變化；彼此接觸的物體阻礙其相對運動或相對運動趨勢的力

(2)靜摩擦力的方向與接觸面相對滑動趨勢的指向相反；:靜摩擦系數彼此接觸的物體有相對運動趨勢時，接觸面間出現的摩擦力摩擦力：靜摩擦力：(3)最大靜摩擦力靜摩擦力的大小隨滑動摩擦力：(1)為滑動摩擦系數，且；

(2)滑動摩擦力的方向總是與相對運動的方向相反。干摩擦力隨作用力的變化規(guī)律動摩擦靜摩擦相互接觸的物體有相對滑動時，接觸處出現的摩擦力滑動摩擦力：(1)為滑動摩擦系數，(2)濕摩擦力:（1）在固體與流體相對運動速率不大時（2）在固體與流體相對運動速率較大時（3）濕摩擦力遠小于干摩擦力2.常見力的分類接觸力與非接觸力主動力與被動力固體在流體中運動時，沿著接觸面出現的摩擦力濕摩擦力:（1）在固體與流體相對運動速率不大時（2）在固體2.1.3牛頓第二定律的微分形式及其應用1.牛頓第二定律的微分形式自然坐標中的分量式直角坐標系中的分量式2.1.3牛頓第二定律的微分形式及其應用1.牛頓第二定律2.質點動力學的兩類問題

兩類問題已知質點的運動方程，或任一時刻的速度或加速度，求質點所受的力；

——微分法

(2)已知質點受到的力，求質點的運動方程等，包括任意時刻質點的位置、速度或加速度。

——積分法

應用牛頓運動定律求解質點動力學問題的一般步驟(1)選取研究對象，隔離物體；(2)分析受力，畫出受力圖；(3)選取坐標系；(4)列牛頓運動微分方程求解（通常取分量式）；(5)討論結果的物理意義，判斷其是否合理和正確。2.質點動力學的兩類問題兩類問題已知質點的運動方程，或任(1)劈m1相對地面的加速度和木塊m2相對劈的加速度；(2)欲使木塊與劈之間無相對滑動，應該沿水平方向給劈多大的作用力？將一質量為m1的三角形劈，放在光滑的水平桌面上，另一質量為m2的立方體木塊，沿三角形劈的光滑斜面自由下滑，如圖所示。例解求建立如圖的坐標系(1)m1

、m2

受力情況如圖設劈相對地面的加速度為a1木塊相對劈的加速度為ar方向如圖(1)劈m1相對地面的加速度和木塊m2相對劈的加速度；將一對木塊m2有且對劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)對木塊m2有且對劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)對木塊m2有對劈m1有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得木塊相對地面的加速度為討論：...對木塊m2有對劈m1有(1)(2)(3)(4)解以上方程，得建立如圖的坐標系(2)設沿水平方向給劈施加力F，且木塊與劈以相同的加速度a沿水平方向運動，方向如圖所示。對木塊m2有對劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且建立如圖的坐標系(2)設沿水平方向給劈施加力F，且木塊與劈對木塊m2有對劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且由(4)式可得由(3)式可得劈和木塊共同運動的加速度為由(1)式可得在劈上所加的水平力為對木塊m2有對劈m1有(1)(2)(3)(4)(5)且由(4設一物體在離地面上空高度等于地球半徑處由靜止落下。在地面附近有以地心為坐標原點，物體受萬有引力解可得：例它到達地面時的速度（不計空氣阻力和地球的自轉）。求r設一物體在離地面上空高度等于地球半徑處由靜止落下。在地面附近以初速度v0豎直向上拋出一質量為m

的小球，小球除受重力外，還受一個大小為αmv2

的粘滯阻力。解例求小球上升的最大高度。討論：

=0？以初速度v0豎直向上拋出一質量為m的小球，小球除受重力外

有一質量為m的均勻細棒長為l，將其一端固定并作為轉軸，細棒繞轉軸在光滑水平面上以勻角速度

旋轉。選微元dx距離固定端為l/2、l/4處的張力。例解求建立如圖自然坐標列方程，對其受力分析,如圖有一質量為m的均勻細棒長為l，將其一端固定并作為轉軸，細棒繞考慮到

x=l

時，FT(l)=0，則代入(1)式則距固定端x處棒中的張力為距固定端為l/2處的張力距固定端為l/4處的張力考慮到x=l時，FT(l)=0，則代入(1)式則§2.2

慣性系與非慣性系主要內容：1.慣性參考系2.牛頓運動定律的適用范圍3.力學相對性原理§2.2慣性系與非慣性系主要內容：1.慣性參考系2.2.2.1慣性系和非慣性系對地參考系牛頓運動定律在加速運動的車廂參考系中不成立！而對車廂參考系對地參考系對車廂參考系牛頓定律適用的參考系，簡稱慣性系。慣性參考系：反之，稱為非慣性系。牛頓第二定律§2.2

慣性系與非慣性系討論：判斷：實驗。實用的慣性系：地面參考系地心參考系日心參考系2.2.1慣性系和非慣性系對地參考系牛頓運動定律在加速運2.2.2牛頓運動定律的適用范圍牛頓運動定律適用于慣性系；牛頓運動定律適用于低速領域的宏觀物體。2.2.3力學相對性原理不可能利用在慣性系內部進行的任何力學實驗來確定該系作勻速直線運動的速度；在一切慣性系中，力學定律具有完全相同的表達形式；物理量可以是相對的，但不同慣性系中力學定律的表達式則是絕對的。船在走嗎?2.2.2牛頓運動定律的適用范圍牛頓運動定律適用于慣性系m以地面參考系例一光滑斜面固定在升降機的底板上，如圖所示，當升降機以勻加速度

a

0

上升時，質量為m的物體從斜面頂端開始下滑.yxmgx方向y方向物體對斜面的壓力和物體相對斜面的加速度。求解m以地面參考系例一光滑斜面固定在升降機的底板上，如圖所示，當§2.3

功與能主要內容：1.功2.動能定理3.保守力的功勢能4.功能原理與機械能守恒定律§2.3功與能主要內容：1.功2.動能定理3.保守

2.3.1功恒力，路程

s位移功功是標量功有正功、負功之分，功的正負功取決于

。1.恒力的功，夾角θ外力對物體作負功，也可以說物體反抗外力作正功。

注意§2.3

功與能2.3.1功恒力，路程s位移功功是標量功有正功、負功變力的功元功等于力與元位移的標積由a點移動到b點，總功取元位移，在范圍內，作用力可認為是恒力。在任一元位移上，力所作的元功功是過程量，是力的一種空間累積效應變力的功元功等于力與元位移的標積由a點移動到b點，總功取元位

(3)功在數值上等于曲線下的面積

討論(1)在直角坐標系中(2)合力的功——等于各分力沿同一路徑所作功的代數和示功圖(4)功率(3)功在數值上等于曲線下的面積討論(1)在直角坐標功的計算由a點移動到b點，總功在直角坐標系中合力的功——等于各分力沿同一路徑所作功的代數和功率功的計算由a點移動到b點，總功在直角坐標系中合力的功擺球受力分析列方程元功例解有一長為l、質量為m的單擺，最初處于鉛直位置且靜止?，F用一水平力作用于小球上，使單擺非常緩慢的上升（即上升過程中每一位置近似平衡）。用擺球與鉛直位置的夾角q表示單擺的位置。求當

由0增大到

0的過程中，此水平力所作的功？，建立坐標系如圖。得總功擺球受力分析列方程元功例解有一長為l、質量為m的單擺，最初處質量為10kg的質點，在外力作用下做平面曲線運動，該質點的速度為解在質點從y=16m到y(tǒng)=32m的過程中，外力做的功。求例,開始時質點位于坐標原點。質量為10kg的質點，在外力作用下做平面曲線運動，該質解在設作用于質量m=2kg的物體上的力為F=6t，在該力作用下物體由靜止出發(fā)，沿力的作用方向作直線運動。在前2s時間內，這個力所作的功。例解求分離變量，并考慮初始條件，積分在前2s力所作的功為設作用于質量m=2kg的物體上的力為F=6t，在該力一條長為l、質量為m的均質柔繩AB，A端掛在天花板的鉤上，自然下垂?，F將B端無限緩慢地沿鉛垂方向提高到與A端同一高度處。取繩自然下垂時B端位置為坐標原點，鉛垂向上為Oy軸正方向。設B端提升過程中的某一時刻坐標為y該過程中重力所作的功。例解求取元位移dy繩提起部分所受重力為，則重力在元位移上的元功為該過程中重力所作的總功為一條長為l、質量為m的均質柔繩AB，A端掛在天花板的鉤上，自2.2.3動能定理合力在元位移上所作的元功1.質點的動能定理（動能定理的微分形式）（動能定理）2.2.3動能定理合力在元位移上所作的元功1.質討論合外力的功是質點動能變化的量度；動能是一個由物體的運動狀態(tài)所決定的狀態(tài)量；動能定理只適用于慣性系。合力對質點所作的功等于質點始、末兩狀態(tài)動能的增量。（動能定理）討論合外力的功是質點動能變化的量度；動能質量為m的質點，系在一端固定的繩子上且在粗糙水平面上作半徑為R的圓周運動。當它運動一周后，由初速vo減小為vo/2。運動過程中：受重力、支承力、摩擦力，只有摩擦力作功。(2)因摩擦力方向與運動方向相反可得(1)摩擦力所作的功；(2)滑動摩擦系數；(3)靜止前質點運動了多少圈?例解求(1)根據質點的動能定理，摩擦力的功質量為m的質點，系在一端固定的繩子上且在粗糙水平面上作半徑為(3)設靜止前質點運動了n圈由質點的動能定理有可得（圈）(3)設靜止前質點運動了n圈由質點的動能定理有可得（圈）

內力外力,根據質點的動能定理對m1:對m2:兩式相加2.質點系的動能定理內力外力,根據質點的動能定理對m1:對m2:兩式相加2.質推廣到n個質點的質點系（質點系的動能定理）所有外力和內力對質點系作功的總和等于質點系動能的增量注意質點系的內力和外力的區(qū)分,

內力的特點？

什么情況下內力功的和為零？系統(tǒng)內力的功也可以改變系統(tǒng)的動能。推廣到n個質點的質點系（質點系的動能定理）所有外力和內力對質2.質點系的動能定理（質點系的動能定理）所有外力和內力對質點系作功的總和等于質點系動能的增量.注意質點系的內力和外力的區(qū)分,內力的特點？

什么情況下內力功的和為零？系統(tǒng)內力的功也可以改變系統(tǒng)的動能。2.質點系的動能定理（質點系的動能定理）所有外力和內力對質

長為l的均質繩索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如圖所示。已知繩索與水平面間的靜摩擦系數為ms，滑動摩擦系數為mk。以繩索的水平部分為研究對象取如圖所示的坐標(1)滿足什么條件時，繩索將開始滑動？(2)若下垂長度為b時，繩索自靜止開始滑動，當繩索末端剛剛滑離桌面時，其速度等于多少？例解求當時，水平部分受到的下垂部分的拉力為此時達到最大靜摩擦力則有即當，繩索將開始滑動。長為l的均質繩索，部分置于水平面上，另一部分自然下垂，如圖所(2)以整個繩索為研究對象，繩索在運動過程中各部分之間相互作用的內力的功之和為零。重力的功為摩擦力的功為根據動能定理，有解得若水平面光滑，則(2)以整個繩索為研究對象，繩索在運動過程中各部分之間重力2.3.3保守力的功勢能1.幾種常見力的功元功

重力的功總功

結論重力所作的功僅和物體的始末位置有關，而與路徑無關。物體沿acbda閉合路徑L運動一周，重力的功2.3.3保守力的功勢能1.幾種常見力的功元功重力的萬有引力的功太陽元功總功

結論萬有引力的功僅和物體的始末位置有關，而與路徑無關。沿任意閉合路徑L運動一周，萬有引力的功萬有引力的功太陽元功總功結論萬有引力的功僅和物體的始末彈性力的功元功總功結論彈性力所作的功僅和物體的始末位置有關，而與路徑無關。沿任意閉合路徑L運動一周，彈性力所作的功總功彈性力的功元功總功結論彈性力所作的功僅和物體的始末位置

總功摩擦力的功元功（Fk為常量）結論:摩擦力的功與路徑有關。作功只與物體始末位置有關，而與物體運動路徑無關的力。2.保守力保守力：非保守力：（重力、萬有引力、彈性力都是保守力）作功與物體運動路徑有關的力。（摩擦力是非保守力）保守力沿任意閉合路徑一周所作的功為零，即（保守力場）總功摩擦力的功元功（Fk為常量）結論:摩擦力的功與路徑有幾種常見力的功

重力的功萬有引力的功彈性力的功摩擦力的功作功只與物體始末位置有關，而與物體運動路徑無關的力。

保守力：

非保守力：（重力、萬有引力、彈性力都是保守力）作功與物體運動路徑有關的力。（摩擦力是非保守力）保守力沿任意閉合路徑一周所作的功為零，即（保守力場）幾種常見力的功重力的功萬有引力的功彈性力的功摩擦力的3.勢能在保守力場中b(選參考點)a取：則（勢能的定義）

：(勢能零點)勢能是位置的函數，在數值上等于從a

到

勢能零點

保守力所做的功（該函數通常稱作勢能函數）。勢能是系統(tǒng)具有的做工本領3.勢能在保守力場中b(選參考點)a取：則（勢能的定義）討論（1）由于勢能零點可以任意選取，所以某一點的勢能值是相對的。（2）勢能增量：在保守力場中，質點從a1→a2位置，勢能增量為質點在該過程中，保守力的功

A等為即在該過程中，保守力的功

A等于質點在始末兩位置勢能增量的負值微分形式保守力場中任意兩點間的勢能差與勢能零點選取無關。討論（1）由于勢能零點可以任意選取，所以某一點的勢能值是相幾種常見的勢能（勢能定義）1.重力勢能

xyzO勢能零點：

2.彈性勢能

Ox勢能零點：

幾種常見的勢能（勢能定義）1.重力勢能xyzO勢能零點：3.萬有引力勢能

rMm等勢面r勢能零點：

3.萬有引力勢能rMm等勢面r勢能零點：保守力與勢能的微分關系比較(1)和(2)式直角坐標系中，dEp的全微分分量式：保守力與勢能的微分關系比較(1)和(2)式直角坐標系中，d勢能曲線(質點的勢能與位置的關系可以用圖線表示出來)ZO重力勢能彈性勢能E萬有引力勢能XOrO(1)由勢能曲線求保守力(2)確定質點的運動范圍(3)確定平衡位置，判斷平衡的穩(wěn)定性。勢能曲線(質點的勢能與位置的關系可以用圖線表示出來)ZO重XE質點運動范圍：做往復振動ABC勢場中的粒子：B點：穩(wěn)定平衡位置A、C點：非穩(wěn)定平衡位置XE質點運動范圍：做往復振動ABC勢場中的粒子：B點：穩(wěn)定平有一雙原子分子由A、B兩原子組成，設A原子位于坐標原點，B原子與A原子的間距為x，這兩原子之間的作用力為分子力（分子力是保守力，可用勢能來描述），且這兩原子相互作用的勢能函數可以表示為式中a和b為正常數，x以m為單位，勢能Ep(x)以J為單位。(1)勢能Ep(x)=0時，x=?

(2)原子間的相互作用力和平衡位置。例解求(1)由解得當x→∞時，上述方程也能成立則x→∞也是一個解。有一雙原子分子由A、B兩原子組成，設A原子位于坐標原點，B原(2)保守力等于相關勢能梯度的負值，即平衡位置，Fx=0由解得（舍去）

（平衡位置）(2)保守力等于相關勢能梯度的負值，即平衡位置，Fx=

例是不是保守力?解如果是保守力，則不是保守力例是不是保守力?解如果是保守力，則不是保守力1.功能原理2.3.4功能原理與機械能守恒定律由系統(tǒng)的動能定理有(功能原理)作用于質點系內各質點上的所有外力和非保守內力在某一過程中作功的總和，等于質點系機械能的增量。1.功能原理2.3.4功能原理與機械能守恒定律由系統(tǒng)的動系統(tǒng)的功能原理當2.機械能守恒定律(質點系的機械能守恒定律)普遍的能量守恒定律則如果系統(tǒng)中只有保守內力作功，而其它內力和外力都不作功，或作功的總和始終為零，則系統(tǒng)總機械能保持不變。在一個孤立系統(tǒng)（即不受外界作用的系統(tǒng)）內，能量可以有一種形式轉換為另一種形式，但系統(tǒng)的總能量保持不變。系統(tǒng)的功能原理當2.機械能守恒定律(質點系的機械能守恒定律(1)選取研究對象。應用功能原理或機械能守恒定律解題步驟(2)分析受力和守恒條件。

(3)明確過程的始、末狀態(tài)。(4)列方程。(5)解方程，求出結果。(6)討論解的物理意義。(1)選取研究對象。應用功能原理或機械能守恒定律解題步驟衛(wèi)星的動能和機械能。一質量為m的人造地球衛(wèi)星，沿半徑為r的圓軌道繞地球運行。以衛(wèi)星和地球組成的系統(tǒng)為研究對象例解求設地球質量為mE,衛(wèi)星的動能為(無窮遠處為萬有引力勢能零點)則衛(wèi)星的勢能為衛(wèi)星的機械能為衛(wèi)星的動能和機械能。一質量為m的人造地球衛(wèi)星，沿半徑為r的圓一質量為m的物體，從靜止開始在距地面R處自由下落。只有保守力作功，系統(tǒng)機械能守恒，則建立以O點為原點的坐標系設無窮遠處為萬有引力勢能零點，則物體到達地球表面時的速度。設地球半徑為R。例解求一質量為m的物體，從靜止開始在距地面R處自由下落。只有保守力把一個物體從地球表面上沿鉛垂方向以第二宇宙速度例1物體從地面飛行到與地心相距

nRe處（n為正整數）經歷的時間。求發(fā)射出去，阻力忽略不計.解根據機械能守恒定律有把一個物體從地球表面上沿鉛垂方向以第二宇宙速度用彈簧連接兩個木板m1

、m2

，彈簧壓縮x0

。解整個過程只有保守力作功，機械能守恒例2給m2

上加多大的壓力能使m1

離開桌面？求

用彈簧連接兩個木板m1、m2，彈簧壓縮x0。解整個過§2.4

動量定理與動量守恒定律主要內容：1.動量與沖量2.質點的動量定理4.動量守恒定律3.質點系的動量定理§2.4動量定理與動量守恒定律主要內容：1.動量與沖量2.4.1沖量與動量1.沖量力的時間積累，即沖量。恒力(t1→

t2)：變力:元沖量(t

→

t+dt):(t1→

t2)：沖量的方向:的方向.

2.動量動量：運動質點的質量與其速度的乘積。動量是矢量，方向為速度方向。動量與動能數量上的關系為§2.4

動量定理與動量守恒定律2.4.1沖量與動量1.沖量力的時間積累，即沖量。恒力3.質點的動量定理(合力的沖量)(動量定理微分形式)(動量定理積分形式)作用在質點上的合力在某一時間內的沖量等于質點在同一時間內動量的增量。牛頓運動定律動量定理的分量形式沖量的分量只改變自己方向上的動量3.質點的動量定理(合力的沖量)(動量定理微分形式)(動量

平均沖力平均沖力一質量為m=1000kg的蒸汽錘從高度為h=1.5m的地方由靜止下落，錘與被加工的工件的碰撞時間為

t=0.01s，且錘與工件碰撞后的末速度為零。建立如圖所示坐標，蒸汽錘對工件的平均沖擊力。例解求受力分析如圖，設平均沖擊力為錘撞擊工件的初速為則由動量定理得時間短而沖力大，重力等往往可以忽略。

工件一質量為m=1000kg的蒸汽錘從高度為h=1.5m的地一質點受合力作用，合力為質點從靜止開始在2s內所受合力的沖量和質點在2s末的動量。例解求根據動量定理由沖量的定義有一質點受合力作用，合力為質點從靜止開始在2s內所受合力的沖量例

質量為m的勻質柔軟繩，全長為

L，開始時靜止，下端與地面的距離為

h。所受繩的作用力？Lh解

設

t

時刻（地面上有

l長