國(guó)開(kāi)電大 高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 形成性作業(yè)1-4答案

國(guó)開(kāi)電大高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形成性作業(yè)1-4答案高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)1：第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)一、單項(xiàng)選擇題1.下列各函數(shù)對(duì)中，（C）中的兩個(gè)函數(shù)相等。A.$f(x)=(x)^2$，$g(x)=x$B.$f(x)=x^2$，$g(x)=x$C.$f(x)=\lnx$，$g(x)=3\lnx$D.$f(x)=x^2-1$，$g(x)=\frac{x+1}{x-1}$2.設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域?yàn)?(-\infty,+\infty)$，則函數(shù)$f(x)+f(-x)$的圖形關(guān)于（C）對(duì)稱(chēng)。A.坐標(biāo)原點(diǎn)B.x軸C.y軸D.無(wú)對(duì)稱(chēng)軸3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）。A.$y=x$B.$y=x\cosx$C.$ax+a^{-x}$D.$y=\ln(1+x)$4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）。A.$y=x+1$B.$y=-x$C.$y=x^2$D.$y=\begin{cases}-1,&x<0\\x,&x\geq0\end{cases}$5.下列極限計(jì)算不正確的是（D）。A.$\lim\limits_{x\to2}\frac{x^2}{x-2}=4$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(1+x)}{x+2}=0$C.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0$D.$\lim\limits_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}=1$6.當(dāng)$x\to0$時(shí)，變量（B）是無(wú)窮小量。A.$1/x$B.$\sqrt{x}$C.$x^2$D.$\lnx$7.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x$滿足（A），則$f(x)$在點(diǎn)$x$連續(xù)。A.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)$B.$f(x)$在點(diǎn)$x$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義C.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$存在D.$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$不存在二、填空題1.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-9}{x-3}+\ln(1+x)$的定義域是$(3,+\infty)$。2.已知函數(shù)$f(x+1)=x^2+x$，則$f(x)=x^2-x$。3.$\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2x}=e^2$。4.若函數(shù)$\begin{cases}x,&x<0\\\frac{1+x}{2},&0\leqx<1\\\sinx,&x\geq1\end{cases}$在$x=0$處連續(xù)，則$k=0$。5.若函數(shù)$y=\begin{cases}x+1,&x>1\\\sinx,&x\leq1\end{cases}$，則$x=1$是$y$的間斷點(diǎn)。6.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，則當(dāng)$x\tox_0$時(shí)，$f(x)-A$稱(chēng)為$x\tox_0$時(shí)的無(wú)窮小量。三、計(jì)算題1.設(shè)函數(shù)$\begin{cases}e^x,&x>0\\x,&x\leq0\end{cases}$，求$f(-2),f(0),f(1)$。解：$f(-2)=-2$，$f(0)=0$，$f(1)=e$。2.求函數(shù)$y=\lg\frac{2x-1}{x^2}$的定義域。解：$2x-1>0$，$x^2\neq0$，$x^2>0$，即$x>\frac{1}{2}$或$x<0$。3.求函數(shù)$y=\begin{cases}2x-1,&x>1\\12x-1,&x\leq1\end{cases}$的間斷點(diǎn)。解：$x=1$是函數(shù)的間斷點(diǎn)。4.求$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)$，其中$f(x)=\begin{cases}e^x,&x>0\\x,&x\leq0\end{cases}$。解：$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$。定義域?yàn)閧x|x<1或x>2}。（2）在半徑為R的半圓內(nèi)內(nèi)接一梯形，梯形的一個(gè)底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)在半圓上，試將梯形的面積表示成其高的函數(shù)。解：設(shè)梯形ABCD即為題中要求的梯形，設(shè)高為h，即OE=h，下底CD=2R。直角三角形AOE中，利用勾股定理得AE=OA^2-OE^2=R^2-h^2，因此上底=2AE。故梯形面積S=2R^2-h^2。（4）求lim(sin3x/sin2x)。解：lim(sin3x/sin2x)=lim(3cos3x/2cos2x)=3/2，其中用到了極限的基本性質(zhì)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。（5）求lim((x+1)/(x^2-1))。解：lim((x+1)/(x^2-1))=lim(1/(x-1)-1/(x+1))=-2，其中用到了極限的基本性質(zhì)和有理函數(shù)的極限公式。（6）求lim(tan3x/sin3x)。解：lim(tan3x/sin3x)=lim(sin3x/cos3x·sin3x)=lim(1/cos3x)=1，其中用到了極限的基本性質(zhì)和三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。（7）求lim((1+x^2-1)/(1+sinx^2-1))。解：lim((1+x^2-1)/(1+sinx^2-1))=lim(x^2/(sinx^2))=1，其中用到了極限的基本性質(zhì)和三角函數(shù)的極限公式。（9）求lim((x-1)/(x+3))。解：lim((x-1)/(x+3))=lim((x-4)/(x+3)+3/(x+3))=-1/2，其中用到了極限的基本性質(zhì)和有理函數(shù)的極限公式。（10）求lim((x^2-6x+8)/(x-4))。解：lim((x^2-6x+8)/(x-4))=lim((x-4)(x-2)/(x-4))=2，其中用到了極限的基本性質(zhì)和因式分解公式。（11）設(shè)函數(shù)f(x)={(x-2)^2,x>1;x,-1≤x≤1;x+1,x<-1}，討論f(x)的連續(xù)性。解：分別對(duì)分段點(diǎn)x=-1,1討論連續(xù)性。當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)的左極限為0，右極限為-1，不相等，因此f(x)在x=-1處不連續(xù)；當(dāng)x=1時(shí)，f(x)的左極限為1，右極限也為1，相等，因此f(x)在x=1處連續(xù)；當(dāng)x>1或x<-1時(shí)，f(x)是一個(gè)二次函數(shù)或一次函數(shù)，因此在x>1或x<-1處連續(xù)。綜上所述，f(x)在定義域內(nèi)除x=-1處外都是連續(xù)的。1.設(shè)$f(x)=\begin{cases}x\sinx,&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}$，則$f'(0)=1$。2.設(shè)$f(e^x)=e^{2x}+5e^x$，則$\frac6611166{dx}f(\lnx)=\frac{2\lnx+5}{x}$。3.曲線$f(x)=x+1$在點(diǎn)$(1,2)$處的切線斜率為$k=\frac{1}{2}$。4.曲線$f(x)=\sinx$在點(diǎn)$(\frac{\pi}{2},1)$處的切線方程為$y=1$。5.設(shè)$y=x^{2x}$，則$y'=2x^{2x}(1+\lnx)$。6.求函數(shù)$y=(x^2+x+3)e^x$的導(dǎo)數(shù)$y'$：$$y'=(2x+1+x^2)e^x$$lnx+x2(lnx)2=?csc2x+x+2xlnx/x2解：通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)，得到lnx(1+x)2=?csc2x+2xlnx/x2。然后，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為lnx(1+x)2=?(1+cos2x)/sin2x+2lnx/x。最后，整理得到lnx(1+x)2=(2lnx?1?cos2x)/sin2x。y=lnx(2xlnx?x)/lnx?x解：首先，可以將分子拆分為2ln2xlnx?x2lnx。然后，將分母拆分為lnx?lnx2，得到y(tǒng)=2ln2xlnx?x/lnx?lnx2。最后，可以合并分母中的兩項(xiàng)，得到y(tǒng)=2ln2xlnx?x/(1?lnx)。y=x3(?sinx+2cosx+2)/((cosx+2)x?(sinx+2))解：首先，將分子拆分為x3(?sinx+2cosx)/((cosx+2)x?(sinx+2))+2x3/((cosx+2)x?(sinx+2))。然后，將分母中的兩項(xiàng)乘以它們的倒數(shù)，得到y(tǒng)=x3(?sinx+2cosx)/(cos2x+3cosx+2?sin2x)+2x3/(cos2x+3cosx+2?sin2x)。最后，可以利用三角恒等式將分母化簡(jiǎn)為(cosx+2)2。y=sinx/(lnx?x)解：將分母移到分子中，得到y(tǒng)=sinx/(lnx?x)=sinx/ln(xe?x)。然后，可以使用商法求導(dǎo)，得到y(tǒng)′=(ln(xe?x)cosx?sinx)/(ln(xe?x))2。y=x4?sinxlnx解：首先，將lnx看做一個(gè)因子，然后將兩個(gè)因子分別求導(dǎo)，得到y(tǒng)′=4x3?lnxcosx?sinx/x。最后，可以將分母中的x移動(dòng)到分子中，得到y(tǒng)′=4x3?lnxcosx/x?sinx。y=3x/(sinx+x3)解：首先，將分母看做一個(gè)因子，然后將兩個(gè)因子分別求導(dǎo)，得到y(tǒng)′=(3cosx?3x2)/(sinx+x3)2?3x(cosx+3x2)/(sinx+x3)2。最后，可以合并同類(lèi)項(xiàng)，得到y(tǒng)′=(3cosx?3x2?3x(cosx+3x2))/(sinx+x3)2。y=extanx+lnx解：首先，將兩個(gè)函數(shù)看做相加的形式，然后分別求導(dǎo)，得到y(tǒng)′=ex(tanx+sec2x)+1/x。最后，可以將sec2x改寫(xiě)為1+tan2x，并將1/x移到前面，得到y(tǒng)′=1/x+ex(tanx+1+tan2x)。y=5sinx解：由于y是常數(shù)函數(shù)，所以y′=0。y=ecosx解：使用鏈?zhǔn)椒▌t，得到y(tǒng)′=?esinx。y=sinnxcosnx解：使用乘法法則，得到y(tǒng)′=n(cos2x?sin2x)=n(cos2x?1+cos2x)=2ncos2x?n。y=5sinx解：由于y是常數(shù)函數(shù)，所以y′=0。y=ecosx解：使用鏈?zhǔn)椒▌t，得到y(tǒng)′=?esinx。在下列方程中，y=y(x)是由方程確定的函數(shù)，求y'：⑴ycosx=e^(2y)解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'cosx-ysinx=2e^(2y)y'化簡(jiǎn)得：y'=(ysinx)/(cosx-2e^(2y))⑵y=cosylnx解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'=-siny*y'lnx+cosy/x化簡(jiǎn)得：y'=[x(1+sinylnx)]/(cosy)⑶(x^2+y^2)cosy=2xy解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：2xcosy*y'-(x^2-y^2)siny=2y-2xy'化簡(jiǎn)得：y'=[2y-2xcosy-(x^2-y^2)siny]/[2xcosy+y^2]⑷y=x+lny解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'=(y'lny+1)/(y-1)化簡(jiǎn)得：y'=[y/(y-1)]⑸lnx+ey=y^2解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'=(2y-ey)/(x+ey)化簡(jiǎn)得：y'=[(2y-ey)/(x+ey)]⑹y^2+1=exsiny解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：2yy'=excosy*y'+siny*ex化簡(jiǎn)得：y'=[exsiny]/[2y-excosy]⑺ey=ex-y^3解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'=e^(y-x)/(1+3y^2)化簡(jiǎn)得：y'=[e^(y-x)]/[1+3y^2]⑻y=5x+2y解：對(duì)方程兩邊同時(shí)求導(dǎo)得：y'=5ln5+y'/(2ln2x)化簡(jiǎn)得：y'=[5xln5]/[y-2ln2x]求下列函數(shù)的微分dy：⑴y=cotx+cscx解：y'=-csc^2x-cscxcotxdy=[-ln|xsinx-1|+ln|xsinx+1|]/[sin^2x]⑵y=1/(sinx-lnx*cosx)解：y'=[cosx*(sinx-lnx*cosx)-(-sinx-lnx*sinx)]/[sin^2x+(lnx)^2]dy=[-lnx/(sinx)^2+cosx/(sinx-lnx*cosx)^2]dx⑶y=sin^2x解：y'=2sinxcosxdy=2sinxcosxdx⑷y=tanex解：y'=sec^2ex*exdy=sec^2ex*exdx求下列函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)：⑴y=x^3解：y'=3x^2,y''=6x⑵y=3x解：y'=3,y''=0⑶y=lnx解：y'=(1/x),y''=-1/(x^2)⑷y=xsinx解：y'=sinx+xcosx,y''=2cosx-xsinx證明題：設(shè)f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，試證f'(x)是偶函數(shù)．證：因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以有f(-x)=-f(x)。對(duì)兩邊求導(dǎo)得f'(-x)=-f'(x)。因此，f'(x)是奇函數(shù)。又因?yàn)槠婧瘮?shù)與偶函數(shù)之和為奇函數(shù)，所以f'(x)+f'(-x)=-2f'(x)，即f'(x)是偶函數(shù)。證畢。高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)3答案：第4章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)f(x)滿足條件（D），則存在ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=f(b)-f(a)/(b-a)A.在(a,b)內(nèi)連續(xù)B.在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)C.在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)D.在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)2.函數(shù)f(x)=x^2+4x-1的單調(diào)增加區(qū)間是（D）．(-∞,2)B.(-1,1)C.(2,+∞)D.(-2,+∞)3.函數(shù)y=x^2+4x-5在區(qū)間(-6,6)內(nèi)滿足（A）．A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降D.單調(diào)上升4.函數(shù)f(x)滿足f'(x)=0的點(diǎn)，一定是f(x)的（C）．A.間斷點(diǎn)B.極值點(diǎn)C.駐點(diǎn)D.拐點(diǎn)5.設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，x∈(a,b)，若f(x)滿足f''(x)>0，則f(x)在x取到極小值。A.B.f'(x)<0,f''(x)=0C.f'(x)=0,f''(x)>0D.f'(x)=0,f''(x)<06.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且f'(x)<0,f''(x)<0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是（A）．A.單調(diào)減少且是凸的B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的D.單調(diào)增加且是凹的（二）填空題1.設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，x∈(a,b)，且當(dāng)x<x時(shí)f'(x)<0，當(dāng)x>x時(shí)f'(x)>0，則x是f(x)的極小值點(diǎn)。2.若函數(shù)y=ln(1+x^2)的單調(diào)減少區(qū)間是(-∞,x)，則x=0。3.函數(shù)f(x)=ex^2的單調(diào)增加區(qū)間是(-∞,∞)。4.若函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)恒有f'(x)<0，則f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)。5.函數(shù)f(x)=2+5x-3x^3的拐點(diǎn)是(1,2)。（三）計(jì)算題1.求函數(shù)y=(x+1)(x-5)^2的單調(diào)區(qū)間和極值。解：令y'=3(x-5)(x-1)+(x+1)×2(x-5)=5x^2-28x+29駐點(diǎn)x=4.4，1列表：極大值：x∈(-∞,1)，f(1)=32極小值：x∈(1,5)，f(4.4)=-(27.6)^2單調(diào)增加區(qū)間：(-∞,1)U(5,+∞)單調(diào)減少區(qū)間：(1,5)1.求函數(shù)y=x^2-2x+3在區(qū)間[0,3]內(nèi)的極值點(diǎn)，并求最大值和最小值。解：對(duì)y=x^2-2x+3求導(dǎo)得y'=2x-2，令y'=0解得x=1為駐點(diǎn)。列出函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的增減表：x013y'+0-y↑2↓可以看出，在x=1處取得極小值2，最大值為f(3)=6，最小值為f(1)=2。2.求曲線y^2=2x上的點(diǎn)，使其到點(diǎn)A(2,0)的距離最短。解：設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線上，則P到A的距離為d=sqrt((x-2)^2+y^2)，要使d最小，只需使d^2最小。即，求d^2的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)。計(jì)算得d^2=(x-2)^2+y^2=2x，d^2的導(dǎo)數(shù)為d'(x)=2(x-2)/(2x)，令d'(x)=0解得x=1，代入y^2=2x得到y(tǒng)=±2，因此曲線上到點(diǎn)A最近的點(diǎn)為(1,2)或(1,-2)。3.圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L(zhǎng)，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？解：設(shè)圓柱體底面半徑為R，高為h，則圓柱體的體積為V=πR^2h，底面中心到下底邊沿的距離為L(zhǎng)，即R^2-h^2=L^2/4。將R^2表示為L(zhǎng)和h的函數(shù)，代入V=πR^2h中，得到V=π(L^2/4-h^2)h=πL^2h/4-πh^3，對(duì)h求導(dǎo)得到V'=-πh^2+πL^2/4，令V'=0解得h=L/2，代入R^2=L^2/4-h^2得到R=L/2。因此，當(dāng)?shù)酌姘霃胶透叻謩e為L(zhǎng)/2和L/2時(shí)，圓柱體的體積最大。4.欲做一個(gè)底為正方形，容積為62.5立方米的長(zhǎng)方體開(kāi)口容器，怎樣做法用料最?。拷猓涸O(shè)正方形底邊長(zhǎng)為x，長(zhǎng)方體高為h，則容積為V=x^2h=62.5，側(cè)面積為S=xh+4x^2。將h表示為x的函數(shù)，代入S中，得到S(x)=x^2+4x(62.5/x^2)，對(duì)x求導(dǎo)得到S'(x)=2x-2500/x^2，令S'(x)=0解得x=50，代入V=x^2h得到h=2.5。因此，當(dāng)正方形底邊長(zhǎng)為50米，長(zhǎng)方體高為2.5米時(shí)用料最省。5.一體積為V的圓柱體，問(wèn)底半徑與高各為多少時(shí)表面積最小？解：設(shè)圓柱體底面半徑為R，高為h，則圓柱體的表面積為S=2πRh+2πR^2，將R表示為h的函數(shù)，代入S中，得到S(h)=2πh(sqrt(V/π-h^2)+V/π-h^2)，對(duì)h求導(dǎo)得到S'(h)=2π(sqrt(V/π-h^2)-hV/π(sqrt(V/π-h^2)+V/π-h^2))，令S'(h)=0解得h=√(V/π)/√2，代入R=V/πh得到R=√(Vπ)/2√2。因此，當(dāng)圓柱體底半徑為√(Vπ)/2√2，高為√(V/π)/√2時(shí)，表面積最小。6.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式x>ln(1+x)。證：對(duì)f(x)=lnx在區(qū)間[1,1+x]上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有l(wèi)n(1+x)-ln1=f'(c)(1+x-1)=1/c(1+x)，其中1<c<1+x，因此1/c<1，1+x>1，從而1/c(1+x)<1。因此ln(1+x)-ln1<1，即ln(1+x)<1，因此x>ln(1+x)。7.當(dāng)x>0時(shí)，證明不等式ex>x+1。證：對(duì)f(x)=ex-x-1求導(dǎo)得f'(x)=ex-1，f''(x)=ex>0，因此f(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是凸函數(shù)。因此f(x)在x=0處取得最小值，即f(x)>0對(duì)于所有x>0成立。因此ex>x+1。f(x)=e^(x-1)(當(dāng)x>0時(shí))，因此當(dāng)x>0時(shí)，f(x)單調(diào)上升且f(0)=1，即e^x>(x+1)高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)形考作業(yè)4答案：第5章不定積分第6章定積分及其應(yīng)用（一）單項(xiàng)選擇題1.若f(x)的一個(gè)原函數(shù)是ln|x|，則f'(x)=1/x(選項(xiàng)A)2.下列等式成立的是d/dx∫f(x)dx=f(x)(選項(xiàng)C)3.若f(x)=cosx，則∫f'(x)dx=sinx+c(選項(xiàng)B)4.若∫f(x)dx=F(x)+c，則∫(1/x)f(x)dx=ln|x|+F(x)+c(選項(xiàng)B)5.下列無(wú)窮限積分收斂的是∫1/xdx(選項(xiàng)D)（二）填空題1.函數(shù)f(x)的不定積分是∫f(x)dx。2.若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)與G(x)之間有關(guān)系式F(x)-G(x)=c(常數(shù))。3.∫e^xdx=2∫e^(x/2)dx。4.若∫f(x)dx=cos^3x+c，則f'(x)=-9cos(3x)。5.∫(1/5)(sinx+3)dx=(3/2)ln|sinx+3|+c。6.若無(wú)窮積分∫(1/x^p)dx收斂，則p>1。（三）計(jì)算題1.∫cos(1/x)dx=-cos(1/x)+c2.∫e^xdx=2e^x+c3.∫(xlnx)dx=(1/2)x^2lnx-(1/4)x^2+c4.∫xsin^2xdx=-(1/2)xcos(2x)+(1/4)sin(2x)+