2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)專題3.7函數(shù)與方程含解析

Page133.7函數(shù)與方程課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).新高考3年考題題號考點數(shù)學(xué)抽象邏輯推理直觀想象2022(Ⅰ)卷22函數(shù)零點、方程根個數(shù)2021(Ⅱ)卷22函數(shù)零點、方程根個數(shù)1.函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的概念對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實數(shù)（2）特別提醒：①函數(shù)的零點不是點，是圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)，也是方程fx②函數(shù)零點的存在性定理：只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點.2.三個等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?3.零點存在性定理（1）如果函y=f(x)①在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線；②fa則函數(shù)y=f(x)在(a,b)上存在零點，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，這個也就是方程（2）特別提醒：連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間的端點處函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分不必要條件.4.二分法對于在區(qū)間上連續(xù)不斷且fa?fb<0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)1.若圖象連續(xù)不斷的函數(shù)f(x)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點．2.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號．3.圖象連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號．4.周期函數(shù)如果有零點，則必有無窮多個零點.1.【P155T1】下列函數(shù)圖像與x軸均有交點，但不宜用二分法求交點橫坐標(biāo)的是(

)A. B.

C. D.2.【P155T2】已知函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，且有如下對應(yīng)值表：x12345f(x)-4-2147在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)必有零點的區(qū)間為(

)A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5)考點一判斷函數(shù)零點、方程的根所在區(qū)間【方法儲備】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：充分利用三個等價關(guān)系，利用化歸與轉(zhuǎn)化思想，將零點問題轉(zhuǎn)化為方程根與圖象交點問題解決.【典例精講】例1.(2021·遼寧省沈陽市期中.多選)若a<b<c，則函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點所在的區(qū)間為(

)A.(-∞,a) B.(a,b) C.(b,c)D.(c,+∞)例2.(2021·浙江省杭州市月考)已知函數(shù)f(x)=x-x(x>0)，gx=x+ex，hx=x+lnxx>0A.x1<x2<x【名師點睛】1.函數(shù)的零點存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點，不滿足條件時，一定要綜合函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行分析判斷.2.對于函數(shù)零點、方程根、圖象交點三者的轉(zhuǎn)化，可參照“結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系”，加深理解.【靶向訓(xùn)練】練1-1(2022·湖北省武漢市月考)已知a是函數(shù)f(x)=lnx+x2-2的零點，則ea-1+a-5A.正數(shù) B.0 C.負(fù)數(shù) D.無法判斷練1-2(2022·湖南省長沙市月考)函數(shù)f(x)=|lnx|-ax恰有兩個零點x1，x2，且x1<x2.A.(0,1e3) B.(考點二函數(shù)零點、方程的根的個數(shù)【方法儲備】判斷函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b1.直接法：令f(x)=0，方程根的個數(shù)，即為2.定理法：①要求函數(shù)的圖象在區(qū)間a,b上是連續(xù)不斷的曲線；②確定函數(shù)在區(qū)間a,b上的單調(diào)性③每一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)分別確定端點處函數(shù)值是否異號，從而確定是否存在零點；3.圖象法：①畫出函數(shù)f(x)的圖象，函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)的零點個數(shù)；②將函數(shù)f(x)拆成兩個函數(shù)h(x)和g(x)的差，令f(x)=0?hy=g(x)的圖象的交點個數(shù)4.性質(zhì)法：①若函數(shù)具有奇偶性：y軸左右兩側(cè)零點個數(shù)相同；②若函數(shù)具有周期性：先確定一個周期內(nèi)的零點的個數(shù)，再擴展到整個區(qū)間內(nèi).【典例精講】

例3.(2022·江西省九江市模擬)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=1對稱，若當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x，則F(x)=f(x)-94x-2-A.4 B.5 C.6 D.8

例4.(2022·湖北省黃岡市月考)已知定義域為R的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且xf'(x)=x3ex+2f(x)，若f(2)=4eA.1 B.2 C.3 D.4【名師點睛】判斷函數(shù)零點個數(shù)問題，在導(dǎo)數(shù)部分的解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，常用定理法解決：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，含參數(shù)時需討論單調(diào)性；每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)要利用零點存在性定理判斷是否存在零點，形成結(jié)論.【靶向訓(xùn)練】練2-1(2022·山東省日照市月考)已知函數(shù)f(x)=x2+2x-1,x≤0,lnx-3,x>0,則方程f(x)=-2的實數(shù)解的個數(shù)為A.0 B.1 C.2 D.3練2-2(2022·遼寧省大連市月考)若函數(shù)f(x)=|2x-1|,xA.3 B.4 C.5 D.6考點三求與零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍【方法儲備】求與零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍，大致分為三個方向：根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參、根據(jù)函數(shù)有無零點求參、根據(jù)零點的范圍求參.常用的求參數(shù)的方法有：【典例精講】例5.(2021·山東省青島市聯(lián)考.多選)若函數(shù)f(x)=1+ln(x+a)ex有正零點，則實數(shù)a的值可以為A.-1 B.13 C.1e例6.(2022·河北省石家莊市模擬)若關(guān)于x的方程2x-x2-mx-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是A.(-∞,-43) B.(-∞,-32]∪(-4【名師點睛】已知函數(shù)零點的個數(shù)或有無求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點問題，要將復(fù)雜的方程fx=0通過化簡變形為g【靶向訓(xùn)練】練3-1(2022·江蘇省南京市月考)方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩個不等的實根都大于2，則m的取值范圍是(

)A.(-5,-4) B.-練3-2(2022·廣東省深圳市月考)已知函數(shù)f(x)=x22,??x<0lnx,?????A.(0,1e2) B.(-核心素養(yǎng)系列函數(shù)零點的應(yīng)用函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想之一,函數(shù)y=f(x)可以看成是二元方程g(x,y)=0.通過函數(shù)關(guān)系,建立方程或方程組,梳理變量間的等量關(guān)系,運用方程的性質(zhì)去分析問題,運用運動和變化的觀點研究問題,運用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化問題,進(jìn)而解決問題,是高中數(shù)學(xué)基本的解題方法,也是解決函數(shù)零點問題的基本思路與方法.【方法儲備】函數(shù)零點的應(yīng)用：①已知零點問題求參：上述考點三.②考查各零點的和或與零點有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍：求零點的和，兩個函數(shù)有相同的對稱軸或?qū)ΨQ中心，利用對稱性求和；求零點有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍，確定零點的等量關(guān)系，將代數(shù)式表示成關(guān)于一個零點的函數(shù)，求值域；③零點存在性問題：零點的存在性問題有別于零點個數(shù)問題,此類問題核心是有,多少并不重要.所以,可以從單調(diào)性、解方程、數(shù)形結(jié)合、極值點、零點化簡代換等各層面來思考問題的解決.④解決方程根問題：函數(shù)的零點就是該函數(shù)對應(yīng)方程的根,解決方程相關(guān)問題時，轉(zhuǎn)化為求解零點問題.⑤嵌套函數(shù)的零點：通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖像、性質(zhì)求解.⑥零點與極值點：原函數(shù)的極值點轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的變號零點，再解決問題.（在專題4.3闡述）⑦借助零點解（證明）某些特殊的不等式：一般做法研究單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合確定曲線形態(tài),用觀察法、解方程等找零點等,特別是超越不等式用此解決的比較多.（如解不等式lnx-1【典例精講】例7.(2022·江西省吉安市月考)函數(shù)f(x)=|x-2|,x≥02x+1,x<0，若x1<x2A.[0,14) B.(0,14] C.(0,12) D.(0,12]

例8.(2021·陜西省西安市模擬)A.(-∞,-1] B.(-∞,-1) C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)【名師點睛】函數(shù)零點常與其他知識綜合考查，滲透函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，在高考壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn),題目難度大，所以要搞清零點的概念,研究零點問題的題型,理清零點問題解題思路十分必要.【靶向訓(xùn)練】練4-1(2022·湖北省武漢市月考)已知函數(shù)f(x)=aex-x2有兩個極值點，則實數(shù)a練4-2.(2022·福建省福州市月考.多選)已知函數(shù)f(x)=ex,(x≥0)-x2-4x,(x<0)，方程f2(x)-t?f(x)=0有四個實數(shù)根x1，x2A.x1x4∈(-6ln2,0]

B.x1+x2【易錯點歸納】易錯點1．函數(shù)零點定理使用不當(dāng)致錯函數(shù)零點分為“變號零點”和“不變號零點”，函數(shù)零點定理僅適用于“變號零點”，對“不變號零點”無能為力.例9.(2022·廣東省深圳市月考)求下列函數(shù)的零點，可以采用二分法的是(

)A.f(x)=x4 B.f(x)=tanx+2(-π2<x<π答案解析【教材改編】1.【解析】利用二分法求函數(shù)零點必須滿足零點兩側(cè)函數(shù)值異號．用二分法只能求變號零點的近似值，A、C、D中的零點都是變號零點，但B中的零點是不變號零點，故它不能用二分法求解．故選：B．2.【解析】由所給的函數(shù)值的表格可以看出，在x=2與x=3這兩個數(shù)字對應(yīng)的函數(shù)值的符號不同，即f(2)f(3)<0，∴函數(shù)的零點在(2,3)上．故選B．【考點探究】例1.【解析】因為a<b<c所以f(a)=(a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)>0，

由函數(shù)零點存在性定理可知，在區(qū)間(a,b)，(b,c)內(nèi)分別存在零點，

又函數(shù)f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點，

因此函數(shù)f(x)的兩個零點分別位于區(qū)間(a,b)，(b,c)例2.【解析】令f(x)=0，g(x)=0，h(x)=0分別得x=x則x1，x2，x3分別為函數(shù)y=x在同一平面直角坐標(biāo)系下作出他們的圖象，易得x1=1，x2<0，所以，x2<x3<練1-1【解析】因為y=lnx，y=x2-2在(0,+∞)上為增函數(shù)，易知函數(shù)f(x)=lnx+x2-2在(0,+∞)上為增函數(shù)，又f(1)=ln1+1-2=-1<0，f(2)=ln2+4-2=ln2+2>0，所以存在a∈(1,2)，使練1-2【解析】當(dāng)a≤0時，f(x)≥0，函數(shù)至多一個零點，不符合題意；

當(dāng)a>0時，考查函數(shù)g(x)=|lnx|與h(x)=ax圖象易知，g(x)與h(x)圖象在區(qū)間(0,1)上必有一個交點，

則在區(qū)間(1,+∞)上有且僅有一個公共點，當(dāng)x∈(1,+∞)時，g(x)=lnx，g'(x)=1x，則由題意可得，g(x)和h(x)在(1,+∞)上必然相切，

則1x2=a，且lnx2=ax2，得x2=1a=e，a=1e，當(dāng)

例3.【解析】函數(shù)F(x)=f(x)-94x-2-12(x∈(-7,8))的零點的個數(shù)，

即方程f(x)-94x-2-12=0在(-7,8)上的解的個數(shù)，

也就是函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=94x-2+12在(-7,8)上的交點個數(shù)，

又函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=1對稱，

當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)=x，作出函數(shù)y=f(x)與y=94x-2+1

例4.【解析】由xf'(x)=x3ex+2f(x)，可得x2f'(x)-2xf(x)=x4ex，

則x2f'(x)-2xf(x)x4=ex，即(f(x)x2)'=ex，則f(x)x2=ex+c，f(x)=x2(ex+c)，

又f(2)=4e2+4，∴4e2+4=4(e2+c)，

∴c=1，則f(x)=x2(ex+1)，

∴g(x)=f(x)-2=x2(ex+1)-2，

g'(x)=2x(ex+1)+x2ex=x(xex+2e練2-1【解析】當(dāng)x≤0時，由x2+2x-1=-2得x2+2x+1=0，解得x=-1;

當(dāng)x>0時，由lnx-3=-2得lnx=1，解得x=e;

所以方程練2-2【解析】函數(shù)f(x)=2x-1,x<23設(shè)t=f(x)，則f(t)=2，先解方程f(t)=2的根t，再計算t=f(x)的解．

t<2時，|2t-1|=2得t=log23；t≥2時3t-1=2得t=52．

如圖所示，函數(shù)f(x)=2x-1,x<23x-1,x?2的圖像，例5.【解析】函數(shù)f(x)=1+ln(x+a)ex有正零點，等價轉(zhuǎn)化為方程1+ln(x+a)ex=0有正實數(shù)解，

即-ex=lnx+a有正實數(shù)解，設(shè)hx=-ex,gx=lnx+a，

因為方程有正實數(shù)解，如圖所示，

當(dāng)a>0時，

g0<h0例6.【解析】關(guān)于x的方程程2x-x2-mx-3=0有兩個不相等的實數(shù)解，

即是y=2x-x2，y=mx+3的圖象有兩個交點，

因為y=2x-x2是以(1,0)為圓心，1為半徑的上半圓，

而y=mx+3是過定點(0,3)的直線，由圖可知，

當(dāng)直線在AB和AC之間時符合要求，

當(dāng)直線為AB時

m=3-00-2=-32，

當(dāng)直線為AC時，有點D到直線AC練3-1【解析】令f(x)=x2+(m-2)x+5-m，其對稱軸方程為x=2-m2，

由已知方程x2+(m-2)x+5-m=0的兩個不等的實根都大于2，

故有2-m2>2Δ=(m-2)2練3-2【解析】如圖，作出函數(shù)f(x)=-x2,??則函數(shù)f(x)與函數(shù)y=kx+1的圖象有且只有三個交點，函數(shù)y=kx+1圖象恒過點(0,1)，則直線y=kx+1在圖中陰影部分內(nèi)時，函數(shù)f(x)與y=kx+1有三個或兩個交點，當(dāng)直線y=kx+1與y=lnx的圖象相切時，設(shè)切點為(x∴l(xiāng)nx0=1x0?x【素養(yǎng)提升】例7.【解析】作出函