吉林省長春市市第九十中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析

吉林省長春市市第九十中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)文摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.如果冪函數(shù)f（x）=xn的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），則f（4）的值等于(

)A．16 B．2 C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知求出函數(shù)的解析式，再求f（4）即可．【解答】解：冪函數(shù)f（x）=xn的圖象經(jīng)過點(diǎn)（2，），所以，所以，所以函數(shù)解析式為，x≥0，所以f（4）=2，故選B．【點(diǎn)評】本題考察冪函數(shù)的解析式，冪函數(shù)解析式中只有一個參數(shù)，故一個條件即可．2.設(shè)集合，，且，則（

）.A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，則?UA=（）A．? B．{2，4，6} C．{1，3，6，7} D．{1，3，5，7}參考答案：C【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【分析】由全集U，以及A，求出A的補(bǔ)集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，∴?UA={1，3，6，7}，故選C4.設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）?f（x+2）=13，若f（1）=2，則f=(

)A．0 B．2 C． D．13參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的周期性；函數(shù)的值．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由條件：“f（x）?f（x+2）=13”得出函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，從而利用f（1）的值求出f的值．【解答】解：∵f（x）?f（x+2）=13∴f（x+2）?f（x+4）=13，∴f（x+4）=f（x），∴f（x）是一個周期為4的周期函數(shù)，∴f=f（4×503+3）=f（3）=f（1+2）=，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計算，考查分析問題和解決問題的能力，利用條件判斷函數(shù)的周期性是解決本題的關(guān)鍵．5.設(shè)關(guān)于x，y的不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0），滿足x0﹣2y0=2，求得m的取值范圍是（）A．(－∞，) B．(－∞，) C．(－∞，) D．(－∞，)參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直線y=x﹣1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（﹣m，1﹣2m）在直線y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直線y=x﹣1的下方，從而建立關(guān)于m的不等式組，解之可得答案．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直線y=x﹣1上的點(diǎn)，只要邊界點(diǎn)（﹣m，1﹣2m）在直線y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直線y=x﹣1的下方，故得不等式組，解之得：m＜﹣．故選C．

6.已知，那么等于（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C7.已知屏幕上三點(diǎn)滿足，則的形狀是（

）A．等腰三角形

B．對邊三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形參考答案：A8.如圖正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積（）A． B．1 C． D．2（1+）參考答案：A【考點(diǎn)】LD：斜二測法畫直觀圖．【分析】由題意求出直觀圖中OB的長度，根據(jù)斜二測畫法，求出原圖形平行四邊形的高，即可求出原圖形的面積．【解答】解：由題意正方形OABC的邊長為1，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，所以O(shè)B=，對應(yīng)原圖形平行四邊形的高為：2，所以原圖形的面積為：1×2=2．故選A．9.已知集合A={0，1，2}，B={2，3}，則集合A∪B=（）A．{1，2，3} B．{0，1，2，3} C．{2} D．{0，1，3}參考答案：B【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合．【分析】根據(jù)并集的運(yùn)算性質(zhì)計算即可．【解答】解：∵集合A={0，1，2}，B={2，3}，則集合A∪B={0，1，2，3}，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了集合的并集的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題．10.f（x）為定義域R，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x≥0時，f（x）=2x+2x+b（b為常數(shù)），則x＜0時，f（x）解析式為（）A．f（x）=2x﹣2x﹣1 B．f（x）=﹣2﹣x+2x+1 C．f（x）=2﹣x﹣2x﹣1 D．f（x）=﹣2﹣x﹣2x+1參考答案：B【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)解析式的求解及常用方法．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)已知可得f（x）為奇函數(shù)，由f（0）=0，可得：b=﹣1，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，f（x）=﹣f（﹣x）得到x＜0時，f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）為定義域R，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∴f（x）為奇函數(shù)，f（0）=20+b=0，解得：b=﹣1，當(dāng)x＜0時，﹣x＞0，∴f（﹣x）=2﹣x﹣2x﹣1，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣2﹣x+2x+1，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.不等式|x+3|＞1的解集是

．參考答案：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）【考點(diǎn)】絕對值不等式的解法．【分析】直接轉(zhuǎn)化絕對值不等式，求解即可．【解答】解：不等式|x+3|＞1等價于x+3＞1或x+3＜﹣1，解得x∈（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣4）∪（﹣2，+∞）．12.設(shè)，若，，則的最大值為

▲

．參考答案：413.已知函數(shù)，則的值為．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)的值．

【專題】計算題．【分析】有條件求得f（）=，得到=1，再f（1）=，求出所求式子的值．解：∵，∴f（）=，∴=1，再由f（1）=，可得=f（1）+3=，故答案為．【點(diǎn)評】本題主要考查求函數(shù)的值的方法，求得=1，是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.一個凸36面體中有24個面是三角形，12個面是四邊形，則該多面體的對角線的條數(shù)是____________________．（連結(jié)不在凸多面體的同一個面內(nèi)的兩個凸面體的頂點(diǎn)的線段叫做凸多面體的對角線。）參考答案：241提示：凸多面體的面數(shù)F＝36，棱數(shù)E＝60，頂點(diǎn)數(shù)V＝E+2-F＝26將頂點(diǎn)記為i＝1，2，3，···，26設(shè)凸多面體的面中以i為頂點(diǎn)的三角形有個，以i為頂點(diǎn)的四邊形有個那么凸多面體的對角線總數(shù)＝

15.若，則等于______．參考答案：【分析】根據(jù)題目利用換元法計算出，把代入即可?！驹斀狻坑深}意得。令所以。所以【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，降次公式，屬于中檔題。16.化簡：=．參考答案：1考點(diǎn)：誘導(dǎo)公式的作用．專題：三角函數(shù)的求值．分析：直接利用誘導(dǎo)公式化簡求值即可．解答：解：原式====1．點(diǎn)評：本題考查誘導(dǎo)公式的求值應(yīng)用，牢記公式是前提，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵．17.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，且的最小值為－8，則k=

．參考答案：－2畫直線和，如圖兩直線交于點(diǎn)D，所以部分可行域?yàn)閮芍本€下方的公共部分，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以取得最小值時目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線為如圖，設(shè)直線與直線交于點(diǎn)A，聯(lián)立直線方程，解得，即由題可知直線必過點(diǎn)A，即直線，故答案為

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．求證：（1）AC⊥BC1；（2）AC1∥平面B1CD．參考答案：【考點(diǎn)】LS：直線與平面平行的判定；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）利用線面垂直的判定定理先證明AC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1，即可證得AC⊥BC1；（2）取BC1與B1C的交點(diǎn)為O，連DO，則OD是三角形ABC1的中位線，OD∥AC1，而AC1?平面B1CD，利用線面平行的判定定理即可得證．【解答】證明：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥AC，又AC⊥BC，BC∩CC1=C，∴AC⊥平面BCC1B1∴AC⊥BC1．（2）設(shè)BC1與B1C的交點(diǎn)為O，連接OD，BCC1B1為平行四邊形，則O為B1C中點(diǎn)，又D是AB的中點(diǎn)，∴OD是三角形ABC1的中位線，OD∥AC1，又∵AC1?平面B1CD，OD?平面B1CD，∴AC1∥平面B1CD．19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓交于A，B兩點(diǎn)。已知A，B的橫坐標(biāo)分別為。(1)求的值；（2）求的值。

參考答案：（1）[解]由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，；

因?yàn)闉殇J角，故，從而；

同理可得，因此，所以。（2）[解]；

又，故，從而由，得。略20.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）已知，記（且），是否存在這樣的常數(shù)C，使得數(shù)列{dn}是常數(shù)列，若存在，求出C的值；若不存在，請說明理由；（3）若數(shù)列{bn}，對于任意的正整數(shù)n，均有成立，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.參考答案：（1）（2）（3）見解析【分析】（1）根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再根據(jù)等比數(shù)列定義與通項(xiàng)公式求解（2）先化簡，再根據(jù)恒成立思想求的值（3）根據(jù)和項(xiàng)得，再作差得，最后根據(jù)等差數(shù)列定義證明.【詳解】（1），所以，由得時，，兩式相減得，，，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）若數(shù)列是常數(shù)列，為常數(shù).只有，解得，此時.（3）①，，其中，所以，當(dāng)時，②②式兩邊同時乘以得，③①式減去③得，，所以，因?yàn)椋詳?shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.【點(diǎn)睛】本題考查利用和項(xiàng)求通項(xiàng)、等差數(shù)列定義以及利用恒成立思想求參數(shù)，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題21.如圖①，四邊形ABCD是矩形，AB=2AD=2a，E為AB的中點(diǎn)，在四邊形ABCD中，將△AED沿DE折起，使A到A′位置，且A′M⊥BC，得到如圖②所示的四棱錐A′﹣BCDE．（Ⅰ）求證：A′M⊥平面BCDE；（Ⅱ）求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）判斷直線A′D與BC的位置關(guān)系．參考答案：考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：（I）證明A′M⊥DE，結(jié)合A′M⊥BC，利用線面垂直的判定定理，即可得到結(jié)論；（II）由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，利用體積公式，即可求四棱錐A′﹣BCDE的體積；（Ⅲ）直線A′D與BC是異面直線，利用反證法進(jìn)行證明即可．解答：（I）證明：在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D，∵M(jìn)為DE的中點(diǎn)，∴A′M⊥DE，∵A′M⊥BC，又DE與BC相交，∴A′M⊥平面BCDE．（II）解：由（I）知A′M⊥平面BCDE，則A′M是四棱錐A′﹣BCDE的高，在△A′DE中，A′E⊥A′D，A′E=A′D=a，則A′M=a．∵四邊形BCDE是直角梯形，BE=BC=a，DC=2a，∴四邊形BCDE的面積S==a2∴四棱錐A′﹣BCDE的體積V=S?A′M+a2×a=a3（III）解：直線A′D與BC是異面直線，理由如下：假設(shè)直線A′D與BC共面，則直線A′D與BC確定平面α，所以A′、D、B、C，都在平面α上∵D，B，C確定平面BCDE，則A′在平面BCDE上，這與已知矛盾∴直線A′D與BC是異面直線．點(diǎn)評：本題考查線面垂直，考查四棱錐體積的計算，考查反證法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．22.已知a，b為常數(shù)，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣1，2]上的最大值與最小值；（Ⅲ）當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【分析】（I）方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，推出a的關(guān)系式求解即可．（II）利用a=1，化簡f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，推出在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，設(shè)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)論．解法二，當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，x≥2時，f（x）的最小值≥2﹣a，當(dāng)a＜0時，當(dāng)a＞0時，通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值，推出a的范圍．【解答】（本小題共13分）解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）…（I）方程f（x）﹣x=0有唯一實(shí)數(shù)根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，…∴（2a+1）2=0，解得…∴…（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3…若f（x）min=f（1）=﹣1…（Ⅲ）解法一、當(dāng)x≥2時，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即：在區(qū)間[2，+∞）上恒成立，…設(shè)，顯然函數(shù)g