九年級數(shù)學(xué)上冊專題02 一元二次方程的解法（考點題型）-【一題三變系列】2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重要考點題型精講精練(人教版)(原卷版)

/專題02一元二次方程的解法【思維導(dǎo)圖】◎題型1：直接開平方法技巧：把方程ax2+c＝0(a≠0）這解一元二次方程的方法叫做直接開平方法。例．（2022·浙江紹興·八年級期末）一元二次方程x2-1＝0的根是（

）A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝-1C．x1＝x2＝-1 D．x1＝1，x2＝0變式1．（2023·福建省福州第十六中學(xué)八年級期末）方程的解是（

）A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇·蘇州市吳中區(qū)城西中學(xué)八年級期中）如果關(guān)于的方程可以用直接開平方法求解，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）方程y2＝-a有實數(shù)根的條件是（

）A．a(chǎn)≤0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)>0 D．a(chǎn)為任何實數(shù)◎題型2：配方法技巧：將一元二次方程化成一般形式，如ax2+bx+c＝0(a≠0)；把常數(shù)項移到方程的右邊，如ax2+bx＝-c；方程的兩邊都除以二次項系數(shù)，使二次項系數(shù)為1，如x2＋例．（2020·江蘇無錫·九年級期中）用配方法解方程x2＋4x＋1＝0，配方后的方程是（

）A．(x＋2)2＝5 B．(x－2)2＝5 C．(x－2)2＝3 D．(x＋2)2＝3變式1．（2021·浙江溫州·八年級期中）用配方解方程，原方程可變形為（

）A． B． C． D．變式2．（2022·河北·大城縣教學(xué)研究中心九年級期末）用配方法解方程，配方后得到的方程是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）關(guān)于x的方程x（x﹣1）＝3（x﹣1），下列解法完全正確的是（）ABCD兩邊同時除以（x﹣1）得，x＝3整理得，x2﹣4x＝﹣3∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，b2﹣4ac＝28∴x＝＝2±整理得，x2﹣4x＝﹣3配方得，x2﹣4x+2＝﹣1∴（x﹣2）2＝﹣1∴x﹣2＝±1∴x1＝1，x2＝3移項得，（x﹣3）（x﹣1）＝0∴x﹣3＝0或x﹣1＝0∴x1＝1，x2＝3A．A B．B C．C D．D◎題型3：配方法的應(yīng)用例．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知三角形的三條邊為，且滿足，則這個三角形的最大邊的取值范圍是（

）A．c＞8 B．5＜c＜8 C．8＜c＜13 D．5＜c＜13變式1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知方程，等號右側(cè)的數(shù)字印刷不清楚，若可以將其配方成的形式，則印刷不清楚的數(shù)字是（

）A．6 B．9 C．2 D．變式2．（2020·福建省泉州第一中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知實數(shù)，，滿足，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式3．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）若為任意實數(shù)時，二次三項式的值都不小于0，則常數(shù)滿足的條件是（

）A． B． C． D．◎題型4：公式法技巧：一元二次方程ax2+bx+c＝0(a廣泛的代換意義，只要是有實數(shù)根的一元二次方程，均可將a，b，c的值代入兩根公式中直接解出，所以把這種方法＝0(a≠0)的求根公式。例．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）已知某一元二次方程的兩根為，則此方程可能是（

）A． B．C． D．變式1．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）用公式法解方程4y2﹣12y﹣3＝0，得到（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝變式2．（2021·河南南陽·九年級階段練習(xí)）是下列哪個一元二次方程的根（

）A． B．C． D．變式3．（2021·湖南邵陽·九年級期末）用求根公式法解方程的解是（

）A． B．C． D．◎題型5：根的判別式【技巧】根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當(dāng)△＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．上面的結(jié)論反過來也成立．例．（2022·湖南·長沙市立信中學(xué)八年級期中）關(guān)于的一元二次方程的根的情況，下列判斷正確的是（

）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．沒有實數(shù)根 D．無法判斷變式1．（2022·吉林長春·九年級期末）一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判別式的值為（

）A．17 B．1 C．－1 D．－17變式2．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為，，那么這個一元二次方程是(

)A． B．C． D．變式3．（2022·江西上饒·九年級期末）已知關(guān)于的方程有實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．◎題型6：因式分解法技巧：例．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）用因式分解法解方程，下列方法中正確的是（

）A．(2x－2)(3x－4)=0，∴2x－2=0或3x－4=0B．(x+3)(x－1)=1，∴x+3=0或x－1=1C．(x－2)(x－3)=2×3，∴x－2=2或x－3=3D．x(x+2)=0，∴x+2=0變式1．（2022·湖北恩施·九年級期末）一元二次方程的根是（

）A．x＝2 B．x＝－3 C．x＝－2 D．，變式2．（2022·北京通州·八年級期末）如果，那么的值是（

）A．0 B．2 C．0，2 D．0，變式3．（2022··八年級期末）已知關(guān)于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，則下列說法正確的是（

）A．不存在k的值，使得方程有兩個相等的實數(shù)解B．至少存在一個k的值，使得方程沒有實數(shù)解C．無論k為何值，方程總有一個固定不變的實數(shù)根D．無論k為何值，方程有兩個不相等的實數(shù)根◎題型7：換元法【技巧】換元法解一元二次方程，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．例．（2022·江蘇南京·二模）若關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，則關(guān)于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（

）A．， B．，C．， D．，變式1．（2022·安徽·合肥市第四十五中學(xué)八年級階段練習(xí)）關(guān)于x的方程的解是，（a，b，m均為常數(shù)，a≠0），則方程的解是（

）A．x1＝2，x2＝-1 B．x1＝4，x2＝1 C．x1＝0，x2＝-3 D．x1＝1，x2＝-2變式2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·九年級期中）解方程（x-1）2-5（x-1）+4=0時，我們可以將x-1看成一個整體，設(shè)x-1=y，則原方程可化為y2-5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時，即x-1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時，即x-1=4，解得x=5，所以原方程的解為：x1=2，x2=5．則利用這種方法求得方程

（2x+5）2-4（2x+5）+3=0的解為（

）A．， B．，C．， D．，變式3．（2021·全國·八年級課時練習(xí)）已知，則的值是（

）A．3或 B．或2 C．3 D．◎題型8：根與系數(shù)的關(guān)系【技巧】根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2=?ba，x1x2例．（2022·貴州黔東南·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程的兩根分別記為，，若，則的值為（

）A．7 B． C．6 D．變式1．（2022·山東威海·八年級期末）若關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根互為倒數(shù)，則k=（

）A．1