二項式定理 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊

6.3.1二項式定理2.組合數(shù)公式：1.排列數(shù)公式：其中m，n∈N*

且m≤n，規(guī)定3.組合數(shù)性質(zhì)：復(fù)習(xí)鞏固：

①項數(shù)；②每一項的形式；③每一項的系數(shù)。需要研究如何研究從特殊到一般

問題引入探究新知(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2

①確定項數(shù)；合并同類項之前有______項，合并同類項之后有______項。43每個(a＋b)在相乘時有兩種選擇，選a或選b，而且每個(a＋b)中的a或b都選定后，才能得到展開式的一項.由分步乘法計數(shù)原理，在合并同類項之前，(a＋b)2的展開式共有2×2＝22項.你能用計數(shù)原理的知識解釋為什么展開式合并同類項之前有4項嗎？②確定每一項的形式每一項的次數(shù)都是2次，即a,b的次數(shù)和為2，如果b是k次，則a是2-k次。所以每一項都是形如

a2－k×bk的形式

。探究新知(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2③確a定每一項的系數(shù)思考：每一項

a2－k×bk的系數(shù)由什么決定?下面我們來分析a2－k×bk的同類項的個數(shù)由1個(a+b)中選a，另1個(a+b)中選b得到的.由于b選定后，a的選法也隨之確定，因此，ab出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(a+b)中取1個b的組合數(shù)，即ab共有2個.由2個(a+b)中都選b得到的.因此，b2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(a+b)中取2個b的組合數(shù)，即b2只有1個.2個(a+b)都不選b得到的，因此a2出現(xiàn)的次數(shù)相當(dāng)于從2個(a+b)中取0個b（即都取a）的組合數(shù)，即a2只有1個；(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋2ab＋b2

探究新知

？思考a3a2ba2ba2bb3ab2ab2ab2合并同類項前展開式共有：

項

，項的形式

：

仿照上述過程，你能利用分步乘法計數(shù)原理解釋(a＋b)3的展開式嗎？a4a3bab3b4a2b2探究新知

根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出(a＋b)4的展開式嗎？？思考項的形式：a4－k×bk(k=0,1,2,3,4)合并同類項前展開式共有：

項，

歸納猜想：你能給出上述猜想的證明嗎？anan-1b…bnan-2b2合并同類項前展開式共有：

項，

項的形式：an－k×bk(n=0,1,2,…，n

)

……

概念形成上述公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中各項的系數(shù)叫做二項式系數(shù).式中

的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：在二項式定理中，若設(shè)a=1,b=x，則得到公式

1.二項式系數(shù)：2.次數(shù)規(guī)律：(1)各項的次數(shù)均為n；(2)各項里a的指數(shù)由n降到0，b的指數(shù)由0升到n.3.項數(shù)規(guī)律：共有n+1個項.4.通項:二項展開式中的（二項式）系數(shù)、次數(shù)、項數(shù)以及通項的變化，是二項式定理的核心，它在求展開式的某些特定項、特定項系數(shù)、以及數(shù)、式的整除方面有廣泛應(yīng)用.定理的特征：例1求的展開式.解：根據(jù)二項式定理，可得求的展開式．變式1：解：典例分析例2解：(1)由通項公式，可得第4項的二項式系數(shù)是多少？注意：二項展開式中第n項、第n項的系數(shù)以及第n項的二項式系數(shù)是不同的概念，解題時要注意區(qū)分！例2

解：(2)由通項公式，可得變式：求展開式中常數(shù)項.解：由通項公式，可得課本P31追問：第3項的系數(shù)以及二項式系數(shù)各是多少？解：由通項公式，可得課本P31變式：若n=6,求展開式中的有理項。

解：由通項公式，可得課本P31解：含x4的項是由5個括號中任意4個括號各取出1個x，剩余1個括號取出常數(shù)相乘得到的，故含x4的項的系數(shù)是課本P31鞏固訓(xùn)練1已知的展開式中第5項的系數(shù)與第3