2022-2023學(xué)年河南省南陽市臥龍區(qū)七年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）

1.下列方程中是一元一次方程的是()

A.B.

C.D.

2.已知是關(guān)于的方程的一個(gè)解，則的值是()

A.B.C.D.

3.下列等式變形正確的是()

A.由得B.由得

C.由得D.由得

4.解方程“去分母”后變形正確的是()

A.B.

C.D.

5.已知等式，用含的代數(shù)式表示正確的是()

A.B.C.D.

6.若，則下列式子中錯(cuò)誤的是()

A.B.C.D.

7.解方程組，下列解法步驟中不正確的是()

A.由得B.由得

C.得D.得

8.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是()

A.B.

C.D.

9.已知代數(shù)式與是同類項(xiàng)，則，的值分別是()

A.B.C.D.

10.如果不等式的正整數(shù)解是，，，那么的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）

11.任意寫出一個(gè)解為的二元一次方程組______．

12.已知是二元一次方程組的解，則的值是______．

13.關(guān)于，的方程組的解滿足，則的取值范圍是______．

14.已知四個(gè)不等式：，，，，從中取兩個(gè)構(gòu)成一個(gè)不等式組，要使該不等式組的整數(shù)解是，則應(yīng)取的兩個(gè)不等式是______只填寫序號(hào)．

15.若關(guān)于的不等式組的所有整數(shù)解的和為，則的取值范圍是______．

三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.本小題分

解方程：．

17.本小題分

解方程組：．

18.本小題分

老師讓同學(xué)們解不等式，小強(qiáng)的解答過程如下：

解：去分母，得，第一步；

去括號(hào)，得，第二步；

移項(xiàng)，得，第三步；

合并同類項(xiàng)，得，第四步；

系數(shù)化為，得第五步；

同桌小剛在幫助小強(qiáng)批改時(shí)發(fā)現(xiàn)有錯(cuò)誤，就讓小強(qiáng)自己找出錯(cuò)誤出現(xiàn)在第幾步，并說明錯(cuò)誤的原因，然后重新做一遍，給出正確的解答過程請你仔細(xì)審看小強(qiáng)的解答過程，完成下面的兩問：

小強(qiáng)的解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟分別是第______步；

小強(qiáng)重新做一遍后給出的正確解答過程是：

19.本小題分

解不等式組，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

20.本小題分

為慶祝毛澤東等老一輩革命家為雷鋒同志題詞周年，某中學(xué)舉行了以“學(xué)習(xí)雷鋒精神”為主題的知識(shí)競賽，一共有道題，答對一題得分，不答得分，答錯(cuò)一題扣分，大賽組委會(huì)規(guī)定總得分不低于分獲獎(jiǎng)，小華有題沒答，小華要想獲獎(jiǎng)，最多只能錯(cuò)多少道題？

21.本小題分

我國古代數(shù)學(xué)著作孫子算經(jīng)中有一道題，大致意思是：“用一根繩子對折去量一根木條，繩子剩余尺：將繩子三折再量木條，木條剩余尺問繩子、木條各長多少尺？”請你解答．

22.本小題分

已知關(guān)于，的二元一次方程組．

請直接寫出方程的所有正整數(shù)解；

若方程組的解滿足，求的值；

無論數(shù)取何值，方程總有一個(gè)固定的解，請直接寫出這個(gè)解．

23.本小題分

某社區(qū)為了更好地開展“垃圾分類，美麗寧波”活動(dòng)，需購買，兩種類型垃圾桶，用元可購進(jìn)型垃圾桶個(gè)和型垃圾桶個(gè)，且購買個(gè)型垃圾桶的費(fèi)用與購買個(gè)型垃圾桶的費(fèi)用相同，請解答下列問題：

求出型垃圾桶和型垃圾桶的單價(jià)．

若社區(qū)欲用不超過元購進(jìn)兩種垃圾桶共個(gè)，其中型垃圾桶至少個(gè)，求有哪幾種購買方案？

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

本題主要考查一元一次方程的概念，注意只含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程是一元一次方程．

根據(jù)一元一次方程的概念判斷即可．

【解答】

解：、含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程；

B、符合定義，是一元一次方程；

C、未知數(shù)最高次數(shù)是二次，不是一元一次方程；

D、分母含有未知數(shù)，不是整式方程．

故選：．

2.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意將代入得：，

解得：．

故選：．

根據(jù)方程的解的定義，把方程中的未知數(shù)換成，再解關(guān)于的一元一次方程即可．

本題考查方程解的含義，方程的解，就是能使等式成立的未知數(shù)的值．

3.【答案】

【解析】解：、由得，選項(xiàng)A不符合題意；

B、由得，選項(xiàng)B不符合題意；

C、由得，選項(xiàng)C符合題意；

D、由得，選項(xiàng)D不符合題意．

故選：．

利用等式的性質(zhì)判斷即可．

本題考查的是等式的性質(zhì)，熟知等式兩邊加同一個(gè)數(shù)或式子結(jié)果仍得等式；等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)或除以一個(gè)不為零的數(shù)，結(jié)果仍得等式是解題的關(guān)鍵．

4.【答案】

【解析】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：，

去括號(hào)得：．

故選：．

去分母的方法是方程兩邊同時(shí)乘各分母的最小公倍數(shù)，在去分母的過程中注意分?jǐn)?shù)線右括號(hào)的作用，以及去分母時(shí)不能漏乘沒有分母的項(xiàng)．

本題考查了一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解法是關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：由，得．

故選：．

根據(jù)等式的性質(zhì)解決此題．

本題主要考查等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：，

，故本選項(xiàng)不符合題意；

B.，

，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.，

，，

即，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.，

，

即，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：．

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可．

本題考查了不等式的性質(zhì)，能熟記不等式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都加或減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，不等式的性質(zhì)：不等式的兩邊都乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．

7.【答案】

【解析】解：由得，選項(xiàng)A正確，不符合題意；

B.由得，選項(xiàng)B正確，不符合題意；

C.得，選項(xiàng)C正確，不符合題意；

D.得，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，符合題意；

故選：．

根據(jù)二元一次方程組的解法即可求解．

本題主要考查了二元一次方程組，掌握二元一次方程組的解法是解題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：該不等式組的解集為，

故選：．

先求出每個(gè)不等式的解集再求出其公共解集．

本題考查了不等式組解集表示．按照不等式的表示方法在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)C所示，解答這類題時(shí)常常因表示解集時(shí)不注意數(shù)軸上圓圈和黑點(diǎn)所表示意義的區(qū)別而誤選D．

9.【答案】

【解析】

【試題解析】

【分析】

本題考查同類項(xiàng)的定義，所含字母相同且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)是同類項(xiàng)，根據(jù)同類項(xiàng)的定義中相同字母的指數(shù)也相同，可先列出關(guān)于和的二元一次方程組，再解方程組求出它們的值．

同類項(xiàng)定義中的兩個(gè)“相同”：

所含字母相同；

相同字母的指數(shù)相同，是易混點(diǎn)，因此成了中考的?？键c(diǎn)．解題時(shí)注意運(yùn)用二元一次方程組求字母的值．

【解答】

解：由同類項(xiàng)的定義，得

解得．

故選：．

10.【答案】

【解析】解：解不等式得到：，

正整數(shù)解為，，，

，

解得．

故選：．

先求出不等式的解集，再根據(jù)其正整數(shù)解列出不等式，解此不等式即可求解．

本題考查了一元一次不等式的整數(shù)解，根據(jù)的取值范圍正確確定的范圍是解題的關(guān)鍵．再解不等式時(shí)要根據(jù)不等式的基本性質(zhì)．

11.【答案】不唯一

【解析】解：由于，，

因此有，，

所以符合條件的方程組為，

故答案為：不唯一．

根據(jù)二元一次方程組解的定義進(jìn)行解答即可．

本題考查二元一次方程組的定義以及二元一次方程組的解，理解二元一次方程組的解是正確解答的關(guān)鍵．

12.【答案】

【解析】解：是二元一次方程組的解，

，

解得：，

．

故答案為：．

利用二元一次方程組解的意義將，值代入方程組，得到關(guān)于，的方程組，解方程組求得，值，代入代數(shù)式中化簡運(yùn)算即可．

本題主要考查了二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解的意義是解題的關(guān)鍵．

13.【答案】

【解析】解：兩方程相減可得，

，

，

解得，

故答案為：．

兩方程相減可得，由知，解之即可得出答案．

本題主要考查解一元一次不等式的基本能力，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是關(guān)鍵，尤其需要注意不等式兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號(hào)方向要改變．

14.【答案】

【解析】解：，

解得：，

組成的不等式組的解集為，其整數(shù)解不包括；

組成的不等式組的解集為，其整數(shù)解為；

組成的不等式組的解集為，無整數(shù)解；

組成的不等式組無解；

組成的不等式組無解；

組成的不等式組的解集為，其整數(shù)解不包括．

故答案為：．

根據(jù)不等式組的解法及整數(shù)解的定義將四個(gè)不等式分別組成不等式組進(jìn)行計(jì)算即可解答．

本題主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式組的整數(shù)解，熟記一元一次不等式組的解集規(guī)律：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到是解題關(guān)鍵．

15.【答案】或

【解析】解：解不等式，得：，

解不等式，得：，

不等式組所有整數(shù)解的和為，

不等式組的整數(shù)解為、或、、、、，

或，

解得或，

故答案為：或．

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)不等式組的整數(shù)解的和得出具體的整數(shù)解的可能情況，再進(jìn)一步得出關(guān)于的不等式組，解之即可．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，根據(jù)不等式組的整數(shù)解的和確定具體的整數(shù)解，并據(jù)此列出關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】解：，

，

，

，

．

【解析】解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為，針對方程的特點(diǎn)，要靈活應(yīng)用，由此即可求解．

本題考查解一元一次方程，關(guān)鍵是掌握解一元一次方程的一般步驟．

17.【答案】解：得：，

解得：，

把代入得：，

解得：，

則方程組的解為．

【解析】方程組利用加減消元法求出解即可．

此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．

18.【答案】一、二、三、五

【解析】解：小強(qiáng)的解題過程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟分別是第一、二、三、五步；

故答案為：一、二、三、五；

正確的解答過程：

去分母，得，

去括號(hào)，得，

移項(xiàng)，得，

合并同類項(xiàng)，得，

系數(shù)化為，得．

根據(jù)小強(qiáng)的解題步驟找出錯(cuò)誤的步驟即可；

根據(jù)解一元一次不等式的步驟：去分母；去括號(hào)；移項(xiàng)；合并同類項(xiàng)；化系數(shù)為依次計(jì)算可得．

本題考查的是解一元一次不等式，熟練掌握解一元一次不等式的步驟和依據(jù)是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：解不等式得：，

解不等式得：，

則不等式組的解集為，

將解集表示在數(shù)軸上如下：

【解析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：設(shè)小華答錯(cuò)了道題，則答對了道題，

根據(jù)題意得：，

解得：，

又為非負(fù)整數(shù)，

的最大值為．

答：小華要想獲獎(jiǎng)，最多只能錯(cuò)道題．

【解析】設(shè)小華答錯(cuò)了道題，則答對了道題，利用總得分答對題目數(shù)答錯(cuò)題目數(shù)，結(jié)合總得分不低于分，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之可得出的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值，即可得出結(jié)論．

本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．

21.【答案】解：設(shè)繩子長尺，木條長尺，

依題意得：，

解得：．

答：繩子長尺，木條長尺．

【解析】設(shè)繩子長尺，木條長尺，根據(jù)“用一根繩子對折去量一根木條，繩子剩余尺：將繩子三折再量木條，木條剩余尺”，即可得出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)常識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．

22.【答案】解：由可得：，

為偶數(shù)，

為偶數(shù)，

為偶數(shù)，

，

，

或；

，

，

把代入得：

，

解得：，

，

把代入得：

，

解得：．

，

當(dāng)時(shí)，，

固定解為：．

【解析】先判斷出為偶數(shù)，再求出的取值范圍，然后確定值；

求出與的解，然后代入，最后求出；

將含有的項(xiàng)提出，使其為求解．

本題主要考查了二元一次方程組的知識(shí)，有一定的難度，認(rèn)真計(jì)算即可．

23.【答案】解：設(shè)型垃圾桶的單價(jià)為元，型垃圾桶的單價(jià)為元，

依題意得：，

解得：．

答：型垃圾桶的單價(jià)為元，型垃圾桶的單價(jià)為元．

設(shè)購進(jìn)型垃圾桶個(gè)，則購進(jìn)型垃圾桶個(gè)，

依題意得：，

解得：．

又為正整數(shù)，

可以取，，

該社區(qū)共有種購買方案，

方案：購進(jìn)型垃圾桶個(gè)，型垃圾桶個(gè)；

方案：購進(jìn)型垃圾桶個(gè)，型垃圾桶個(gè)．

【解析】設(shè)型垃圾桶的單價(jià)為元，型