數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修一（2019新編）1-3-1 空間直角坐標(biāo)系（教案）

PAGE空間直角坐標(biāo)系要點(diǎn)一、空間直角坐標(biāo)系1.空間直角坐標(biāo)系從空間某一定點(diǎn)O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸、y軸、z軸叫做坐標(biāo)軸，這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個(gè)坐標(biāo)平面，分別是xOy平面、yOz平面、zOx平面.要點(diǎn)二、空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)1.空間直角坐標(biāo)系中對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，則有點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于橫軸(x軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于縱軸(y軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于豎軸(z軸)的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是；點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)是.要點(diǎn)三、空間兩點(diǎn)間距離公式1.空間兩點(diǎn)間距離公式空間中有兩點(diǎn)，則此兩點(diǎn)間的距離.特別地，點(diǎn)與原點(diǎn)間的距離公式為.2.空間線段中點(diǎn)坐標(biāo)空間中有兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)C的坐標(biāo)為.【典型例題】類型一：空間坐標(biāo)系例1．畫一個(gè)正方體ABCD—A1B1C1D1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以棱AB、AD、AA1所在直線為坐標(biāo)軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系。（1）求各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求棱C1C中點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求平面AA1B1B對(duì)角線交點(diǎn)的坐標(biāo)?！窘馕觥咳鐖D所示，由棱長為1，可得（1）各頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）；（2）棱CC1中點(diǎn)為；（3）平面AA1B1B對(duì)角線交點(diǎn)為。舉一反三：【變式1】在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，OABC—D1A1B1C1是單位正方體，N是BB1的中點(diǎn)，求這個(gè)單位正方體各頂點(diǎn)和點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1，）。例2．（1）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（－2，1，4）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－1，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）（2）在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（－2，1，4）關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A．（－2，1，－4）B．（－2，－l，－4）C．（2，－1，4）D．（2，1，－4）【答案】（1）B（2）A舉一反三：【變式1】如圖，長方體中，|OA|=4，|OC|=6，，與相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（）A．（6，2，1）B．（1，2，6）C．（4，6，2）D．（2，6，1）【答案】D【解析】根據(jù)題意，得：點(diǎn)B（4，6，0），點(diǎn)（0，6，2），且P是的中點(diǎn)，∴，即P（2，6，1）．類型二：兩點(diǎn)間的距離公式例3．如圖所示，在長方體OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，求點(diǎn)O1到點(diǎn)D的距離。【解析】由題意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0）設(shè)D（x，y，0）在Rt△AOC中，|OA|=2，|OC|=3，，∴如右圖，過點(diǎn)D分別作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，則Rt△ODA與Rt△OMD相似，可得，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴同樣的，利用Rt△ODC與Rt△ODN相似，可得．∴∴舉一反三：【變式1】在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，點(diǎn)M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|，N在C1D上且為C1D的中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離．【答案】M、N兩點(diǎn)間的距離為?！咀兪?】在空間直角坐標(biāo)系中，解答下列各題：（1）在x軸上求一點(diǎn)P，使它與點(diǎn)P0（4，1，2）的距離為；（2）在xOy平面內(nèi)的直線x+y=1上確定一點(diǎn)M，使它到點(diǎn)N（6，5，1）的距離最?。窘馕觥浚?）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，0，0），由題意，即，∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（9，0，0）或（―1，0，0）．先設(shè)點(diǎn)M（x，1―x，0），然后利用空間兩點(diǎn)的距離公式表示出距離，最后根據(jù)二次函數(shù)研究最值即可．（2）設(shè)點(diǎn)M（x，1―x，0）則∴當(dāng)x=1時(shí)，．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0，0）時(shí)到點(diǎn)N（6，5，1）的距離最?。?．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，P為平面A1B1C1D1的中心，求證：PA⊥PB1．【解析】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，設(shè)棱長為1，則A（1，0，0），B1（1，1，1），，由兩點(diǎn)間的距離公式得：，，?！遼AP|2+|PB1|2=|AB1|2=2，∴AP⊥PB1．例5．正方形ABCD，ABEF的邊長都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)。若|CM|=|BN|=a（）。（1）求MN的長度；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長度最短?！窘馕觥恳?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，且交線為AB，BE⊥AB，所以BE⊥平面ABCD，所以BA，BC，BE兩兩垂直。取B為坐標(biāo)原點(diǎn)，過BA，BE，BC的直線分別為x軸，y軸和z軸，空間直角坐標(biāo)系。因?yàn)閨BC|=1，|CM|=a，且點(diǎn)M在坐標(biāo)平面xBz內(nèi)且在正方形ABCD的對(duì)角線上，所以點(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)N在坐標(biāo)平面xBy內(nèi)且在正方形ABEF的對(duì)角線上，|BN|=a，所以點(diǎn)（1）由空間兩點(diǎn)間的距離公式，得：，即MN的長度為（2）由（1）得，當(dāng)（滿足）時(shí)，取得最小值，即MN的長度最短，最短為舉一反三：【變式1】正方體ABCD—A1B1C1D1棱長為1，M為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在DD1上運(yùn)動(dòng)，求|MN|的最小值.【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意可知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(，，0)，由于點(diǎn)N在z軸上，故設(shè)N的坐標(biāo)為(0，0，z)，由兩點(diǎn)間的距離公式可得：|MN|=.要使|MN|最小，只需z=0，∴當(dāng)點(diǎn)N在原點(diǎn)時(shí)，|MN|有最小值為.【鞏固練習(xí)】1．點(diǎn)（1，0，2）位于（）．A．y軸上B．x軸上C．xOz平面內(nèi)D．yOz平面內(nèi)1．【答案】C【解析】點(diǎn)（1，0，2）的縱坐標(biāo)為0，所以該點(diǎn)在xOz平面內(nèi)．2．點(diǎn)P（－1，2，3）關(guān)于xOy平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）．A．（1，2，3）B．（－1，－2，3C．（－1，2，－3）D．（1，－2，－3）2．【答案】C3．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3，4，5）關(guān)于yOz平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．A．（－3，4，5）B．（－3，－4，5）C．（3，－4，－5）D．（－3，4，－5）3．【答案】A【解析】關(guān)于yOz平面對(duì)稱則對(duì)應(yīng)y、z值不變．4．在空間直角坐標(biāo)系中，P（2，3，4），Q（－2，－3，－4）兩點(diǎn)的位置關(guān)系是（）．A．關(guān)于x軸對(duì)稱B．關(guān)于yOz平面對(duì)稱C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．以上都不對(duì)4．【答案】C5．已知A（―3，1，―4），B（5，―3，6），設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，則|MN|=（）A．3B．4C．5D．65．【答案】C【解析】∵A（―3，1，―4），B（5，―3，6），線段AB的中點(diǎn)為M，∴M（1，―1，1）點(diǎn)A（―3，1，―4）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為N，N（―3，―1，4），∴．6．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則△ABC的形狀為（）．A．正三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．鈍角三角形6．【答案】C【解析】由空間兩點(diǎn)間的距離公式易得，，，，因?yàn)閨AC|2=|BC|2=|AB|2，所以△ABC為直角三角形7．在空間直角坐標(biāo)系中，x軸上到點(diǎn)P（4，1，2）的點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有（）．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．無數(shù)個(gè)7．【答案】C【解析】該點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（a，0，0），則有，即(a－4)2=25，解得a=0或a=－1，所以滿足條件的點(diǎn)為（9，0，0）或（－1，0，0）．8．到兩點(diǎn)A（3，4，5），B（－2，3，0）距離相等的點(diǎn)（x，y，z）的坐標(biāo)滿足的條件是（）．A．10x+2y+10z－37=0B．5x－y+5z－37=0C．10x－y+10z+37=0D．10x－2y+10+37=08．【答案】A【解析】由已知得|MA|=|MB|，即，化簡得10x+2y+10z－37=0．9．已知A（4，－7，1），B（6，2，z），若|AB|=10，則z=________．9．【答案】【解析】由，解得10．已知點(diǎn)A（1，，－5），B（2，－7，－2），則|AB|的最小值為________．10．【答案】【解析】由空間兩點(diǎn)間的距離公式易得，所以當(dāng)a=－1時(shí)，|AB|的值最小，最小值為．11．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，4，―3），B（0，6，―1），則以線段AB為直徑的圓的面積等于________．11．【答案】3π【解析】∵點(diǎn)A（2，4，―3），B（0，6，―1），∴，∴以線段AB為直徑的圓的半徑為，面積等于．12．若A（1，2，1），B（2，2，2），點(diǎn)P在x軸上，且|PA|=|PB|，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．12．【答案】（3，0，0）【解析】由題意設(shè)P（x，0，0）∵A（1，2，1），B（2，2，2），|PA|=|PB|，∴，解得x=3．13．（1）在z軸上求與點(diǎn)A（―4，1，7）和B（3，5，―2）等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）在yOz平面上，求與點(diǎn)A（3，1，2）、B（4，―2，―2）和C（0，5，1）等距離的點(diǎn)的坐標(biāo)．13．【解析】（1）由題意設(shè)C（0，0，z），∵C與點(diǎn)A（―4，1，7）和點(diǎn)B（3，5，―2）等距離，∴|AC|=|BC|，∴，∴18z=28，∴，∴C點(diǎn)的坐標(biāo)是．（2）設(shè)yOz平面內(nèi)一點(diǎn)D（0，y，z）與A，B，C三點(diǎn)距離相等，則有|AP|2=9+(1―y)2+(2―z)2，|BP|2=16+2(2+y)2+(2+z)2，|CP|2=(5―y)2+(1―z)2，由|AP|=|BP|，及|AP|=|CP|，得化簡可得，解得∴點(diǎn)P（0，1，－2）為yOz平面內(nèi)到A，B，C三點(diǎn)等距離的點(diǎn)．14．如圖以正方體的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，點(diǎn)P在正方體的對(duì)角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上．（1）當(dāng)點(diǎn)P為對(duì)角線AB的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在棱CD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究|