復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)及其極限

復(fù)變函數(shù)1精選ppt復(fù)變函數(shù)與積分變換的應(yīng)用背景

世界著名數(shù)學(xué)家M.Kline指出：19世紀(jì)最獨特的創(chuàng)造是復(fù)變函數(shù)理論。象微積分的直接擴展統(tǒng)治了18世紀(jì)那樣，該數(shù)學(xué)分支幾乎統(tǒng)治了19世紀(jì)。它曾被稱為這個世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受，也曾作為抽象科學(xué)中最和諧的理論。2精選ppt16世紀(jì)，解代數(shù)方程時引入復(fù)數(shù)17世紀(jì)，實變初等函數(shù)推廣到復(fù)變數(shù)情形18世紀(jì)，J.達朗貝爾與L.歐拉逐步闡明復(fù)數(shù)的幾何、物理意義。20世紀(jì)191817163精選ppt19世紀(jì)，奠定理論基礎(chǔ)。A.L.Cauchy、維爾斯特拉斯分別用積分和級數(shù)研究復(fù)變函數(shù)，黎曼研究復(fù)變函數(shù)的映射性質(zhì)20世紀(jì)，發(fā)展為數(shù)學(xué)分支,在解析性質(zhì)、映射性質(zhì)、多值性質(zhì)、隨機性質(zhì)、函數(shù)空間及多復(fù)變函數(shù)等方面有重要成果。4精選ppt空氣動力學(xué)流體力學(xué)電學(xué)熱學(xué)復(fù)變函數(shù)論在空氣動力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)、理論物理等領(lǐng)域有重要應(yīng)用。復(fù)變函數(shù)論5精選ppt復(fù)變函數(shù)與積分變換的主要內(nèi)容1引論2解析函數(shù)3復(fù)積分4級數(shù)5留數(shù)及應(yīng)用6保角映射7積分變換6精選ppt第一章復(fù)數(shù)和復(fù)變函數(shù)及其極限§1-1復(fù)數(shù)及其運算§1-2復(fù)平面上曲線和區(qū)域§1-3復(fù)變函數(shù)與整線性映射§1-4復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)7精選ppt§1-1復(fù)數(shù)及其運算一、復(fù)數(shù)的概念及其表示法二Δ、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算三*、擴充復(fù)平面與復(fù)球面8精選ppt一、復(fù)數(shù)的概念

對虛數(shù)單位,作如下規(guī)定:

,

012實數(shù)范圍內(nèi)無解，在為了解方程的需要，例如：方程=+x數(shù)單位。稱為虛人們引入了一個新數(shù)i9精選ppt復(fù)數(shù)

10精選ppt

實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復(fù)數(shù)稱為共軛復(fù)數(shù),共軛復(fù)數(shù)11精選ppt二、復(fù)數(shù)的表示方法（1）定義表示形式12精選ppt（2）復(fù)數(shù)的平面表示法13精選ppt顯然成立：（3）復(fù)數(shù)的向量表示法14精選ppt注意1輻角不確定，沒有輻角.注意2復(fù)數(shù)輻角的定義15精選ppt輻角主值的定義16精選ppt17精選ppt利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系復(fù)數(shù)可以表示成（4）復(fù)數(shù)的三角表示法18精選ppt利用Euler公式（5）復(fù)數(shù)的指數(shù)表示法19精選ppt例1

將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:解故20精選ppt故21精選ppt三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運算

兩個復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實部和虛部分別相等.復(fù)數(shù)相等的概念定義:設(shè)復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)則22精選ppt

顯然有注：非實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小。23精選ppt兩個復(fù)數(shù)的和與差兩個復(fù)數(shù)的積兩個復(fù)數(shù)的商24精選ppt復(fù)數(shù)運算的性質(zhì)25精選ppt26精選ppt復(fù)數(shù)和與差的模的性質(zhì)共軛復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)27精選ppt例2

解28精選ppt例3

證29精選ppt乘冪與方根30精選ppt兩復(fù)數(shù)相乘就是把模數(shù)相乘,輻角相加.從幾何上看,兩復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別為

兩個復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積;兩個復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角的和.31精選ppt注意:而是兩個數(shù)集相等.即左端任給一值,右端必有值與它相對應(yīng)；反過來是如此.例如32精選pptn個復(fù)數(shù)相乘的情況:33精選ppt同樣，于是34精選ppt

兩個復(fù)數(shù)商的模等于它們模的商；兩個復(fù)數(shù)商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差.則35精選ppt對于非零復(fù)數(shù)有：36精選ppt例4解,3cos3sin

),31(21

21ppiziz-=-=已知37精選ppt

n次冪deMoivr公式38精選ppt例5解39精選ppt40精選ppt可以推得:

n次方根從幾何上看,41精選ppt42精選ppt推導(dǎo)過程如下：43精選ppt當(dāng)k以其他整數(shù)值代入時,這些根又重復(fù)出現(xiàn).44精選ppt例6解即45精選ppt46精選ppt例7解故原方程可寫成47精選ppt故原方程的根為48精選ppt四、擴充復(fù)平面與復(fù)球面49精選ppt

球面上的點,除去北極N外,與復(fù)平面內(nèi)的點之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系.我們用球面上的點來表示復(fù)數(shù).

球面上的北極N

不能對應(yīng)復(fù)平面上的定點，但球面上的點離北極N

越近，它所表示的復(fù)數(shù)的模越大.50精選ppt

我們規(guī)定:復(fù)數(shù)中有一個唯一的“無窮大”與復(fù)平面上的無窮遠點相對應(yīng),記作.

因而,球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無窮大的幾何表示.51精選ppt包括無窮遠點的復(fù)平面稱為擴充復(fù)平面.

不包括無窮遠點的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡稱復(fù)平面.

引入復(fù)球面后，能將擴充復(fù)平面的無窮遠點明顯地表示出來.

球面上的每一個點與擴充復(fù)平面的每一個點構(gòu)成了一一對應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面或Riemann球面.52精選ppt∞的幾何解釋：由于在復(fù)平面上沒有一點能與∞相對應(yīng)，所以，只得假想在復(fù)平面上添加一個“假想點”（或“理想點”）使它與∞對應(yīng)，我們稱此“假想點”為無窮遠點．

關(guān)于無窮遠點，我們約定：在復(fù)平面添加假想點后所成的平面上，每一條直線都通過無窮遠點，同時，任一半平面都不包含無窮遠點．53精選ppt

這里要特別注意的是，這里的記號∞是一個數(shù)，而在數(shù)學(xué)分析中所見的記號+∞或－∞均不是數(shù)，它們只是表示變量的一種變化狀態(tài)．54精選ppt§1-2復(fù)平面上曲線和區(qū)域一Δ、復(fù)平面上曲線方程的各種表示二Δ、簡單曲線與光滑曲線三、平面點集與區(qū)域55精選ppt一、復(fù)平面上曲線方程的各種表示復(fù)平面上曲線方程有兩種表示方式直角坐標(biāo)方程參數(shù)方程56精選ppt1.復(fù)平面上曲線C直角坐標(biāo)方程的復(fù)數(shù)形式57精選ppt例試用復(fù)數(shù)表示圓的方程

其中A,B,C,D是實常數(shù)（）58精選ppt如果A=0,B及C不全為0，這是直線方程即為復(fù)平面上，直線方程的一般形式。59精選ppt(1)用復(fù)數(shù)的實部或虛部的等式表示曲線Re(z-z0)=a是XOY平面上的直線x=a+Re(z0)Im(z-z0)=b是XOY平面上的直線y=b+Im(z0)P15,6(3)Im(z-i2)=2460精選ppt(2)用復(fù)數(shù)模的等式表示曲線|z-z0|表示動點z到定點z0的距離|z-z0|＝a|z-z1|＝|z-z2||z-z1|＋|z-z2|＝2a(|z1-z2|<2a)表示以z0為中心，以a為半徑的圓周

表示到定點z1和z2等距離點的軌跡，即線段z1z2的垂直平分線

表示以z1和z2為焦點，以a為半長軸的橢圓61精選ppt|z-z1|－|z-z2|＝2a或－2a(|z1-z2|>2|a|)表示以z1和z2為焦點，以a為實半軸的雙曲線，其中正號代表離焦點z2近的分支，負號代表另一分支。P15,6(1)|z+2|+|z-2|=632-262精選ppt(3)用含復(fù)數(shù)輻角的等式表示曲線P16,10(4)P15,6(4)i從點z0出發(fā)，與實軸夾角θ0的射線為63精選ppt設(shè)復(fù)平面上曲線C的參數(shù)方程為那么，復(fù)平面上曲線C上的動點z(t)可表示為

依賴于參數(shù)t.

2.曲線參數(shù)方程的復(fù)數(shù)形式64精選ppt例指出方程表示什么曲線從點z0出發(fā)，與實軸夾角θ0的射線解：因為等價于X=t,y=t+α,消去t得y=x+α(x>0)65精選pptP15,7(2)z=t2+it表示拋物線y2=x66精選ppt例圓周的參數(shù)方程x=x0+Rcost,y=y0+Rsint(0≤t≤2π)令z0=x0+iy0,則其等價的復(fù)數(shù)形式為z=z0+R(cost+isint)或z=z0+Reit其中t∈[0,2π]。67精選ppt二、簡單曲線與光滑曲線（1）連續(xù)曲線

設(shè)曲線C為z=z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)，若x(t)和y(t)在[a,b]上連續(xù)，即z(t)在[a,b]上連續(xù)，則稱曲線C為連續(xù)曲線。68精選ppt（2）光滑曲線

設(shè)曲線C為z=z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)，如果在a≤t≤b上，x'(t)

和y'(t)都是連續(xù)的，且對于t的每一個值，有[x'(t)]2+[y'(t)]2≠0，即切向量z'(t)=x'(t)+iy'(t)在[a,b]上連續(xù)且z'(t)

≠0

，則稱曲線C為光滑曲線。69精選ppt逐段光滑曲線

由有限條光滑曲線依次首尾連接所組成的一條曲線稱為逐段光滑曲線。70精選ppt（3）Jordan曲線

除起點與終點外無重點的連續(xù)曲線C稱為簡單曲線或Jordan(若當(dāng))曲線。

起點與終點重合的曲線C稱為閉曲線。

除起點與終點外無重點的連續(xù)閉曲線C稱為簡單閉曲線或簡單閉路。71精選pptJordan曲線的性質(zhì)

任意一條簡單閉曲線C將復(fù)平面唯一地分成三個互不相交的點集.內(nèi)部外部邊界72精選ppt課堂練習(xí)判斷下列曲線是否為簡單曲線?答案簡單閉簡單不閉不簡單閉不簡單不閉73精選ppt(1)鄰域三、平面點集與區(qū)域(2)去心鄰域74精選ppt(3)內(nèi)點(4)開集

如果G內(nèi)每一點都是它的內(nèi)點,那末稱G為開集.75精選ppt(5)區(qū)域

連通的開集稱為區(qū)域,

即：如果平面點集D滿足以下兩個條件,則稱它為一個區(qū)域.

D是一個開集；

D是連通的,就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D的一條折線連結(jié)起來.(6)邊界點、邊界邊界點：76精選ppt

注意1：區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所組成的.

注意2：區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域邊界：E的所有邊界點所組成的集合稱為E的邊界.

進一步地，設(shè)D是一個平面區(qū)域,點P不屬于D,但P

的任一鄰域內(nèi)總有D的點,則稱P為區(qū)域D的邊界點。77精選ppt以上基本概念的圖示區(qū)域鄰域邊界點邊界(7)有界區(qū)域和無界區(qū)域78精選ppt，

例

設(shè)點集

則點

是

的內(nèi)點；

是

的邊界點；

是

的外點；

是開集且為有界集；

是閉集且為有界集．即

常稱為單位圓．

這里的

79精選ppt(1)圓環(huán)域:課堂練習(xí)判斷下列區(qū)域是否有界?(2)上半平面:(3)角形域:(4)帶形域:答案(1)有界;(2)(3)(4)無界.80精選ppt

任意一條簡單閉曲線

必將復(fù)平面唯一地分成

三個點集，使它們滿足：

（1）彼此不相交；

（2）

是有界區(qū)域（稱為曲線

的內(nèi)部）；

（3）

是無界區(qū)域（稱為曲線

的外部）；

（4）C

既是

的邊界又是的邊界；外部(8)單連通域與多連通域的定義81精選ppt

復(fù)平面上的一個區(qū)域G,如果在其中任作一條簡單閉曲線,而曲線的內(nèi)部總屬于G,就稱為單連通區(qū)域.一個區(qū)域如果不是單連通域,就稱為多連通區(qū)域.單連通域多連通域82精選ppt例設(shè)

，

E表示上半平面由定義得知，

是單連通區(qū)域D表示環(huán)D

是多連通區(qū)域．83精選ppt例題例1

指出下列不等式所確定的點集,是有界的還是無界的,單連通的還是多連通的.解無界的單連通域(如圖).84精選ppt是角形域,無界的單連通域(如圖).無界的多連通域.85精選ppt表示到1,–1的距離之和為定值4的點的軌跡,是橢圓,有界的單連通域.86精選ppt有界集.但不是區(qū)域.87精選ppt例2

滿足下列條件的點集是什么,如果是區(qū)域,指出是單連通域還是多連通域?是一條平行于實軸的直線,不是區(qū)域.單連通域.88精選ppt是多連通域.不是區(qū)域.89精選ppt

§1-3復(fù)變函數(shù)與整線性映射90精選ppt一Δ

、復(fù)變函數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)這門課程研究的對象是解析函數(shù)，而解析函數(shù)是一種特殊的復(fù)變函數(shù)，因此，在討論了復(fù)數(shù)集后，我們還需要討論復(fù)變函數(shù)的有關(guān)概念，進而為研究解析函數(shù)作好準(zhǔn)備．91精選ppt定義：設(shè)在復(fù)平面上已給點集D，如果存在一個法則f使得對于每點z=x+yi∈D,都有確定的復(fù)數(shù)w=u+vi與之對應(yīng),則稱在D上確定一個復(fù)變函數(shù)，記作:w=f(z)

若依f對于z∈D只有一個確定的w與之對應(yīng)，則稱f為單值函數(shù)。否則，稱f為多值函數(shù)。92精選ppt例如，

為單值函數(shù)，

為多值函數(shù)。

注：若無特殊聲明，則我們討論的復(fù)變函數(shù)均為單值復(fù)變函數(shù)。93精選ppt

同實變函數(shù)一樣，在上述定義中，我們稱集合D

為函數(shù)的定義域，稱復(fù)數(shù)集C的子集G(f(D))

為函數(shù)的值域，z與w分別稱為函數(shù)的自變量與因變量。

94精選ppt

函數(shù)f也稱為映射。自變量z所在的復(fù)平面稱為z平面,而函數(shù)值ω所在的復(fù)平面稱為ω平面。二、復(fù)映射

復(fù)變函數(shù)

的定義類似于數(shù)學(xué)分析中實函數(shù)的定義，不同的是前者是復(fù)平面到復(fù)平面的映射，著重刻劃點與點之間的對應(yīng)關(guān)系，所以無法給出它的圖形。而實函數(shù)則著重刻劃數(shù)與數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系．95精選ppt例如，

是復(fù)平面上的單葉函數(shù)，復(fù)平面是該函數(shù)的單葉性區(qū)域。

設(shè)有函數(shù)w=f(z)，G

為區(qū)域，若對z1,z2∈G，當(dāng)z1≠z2時，f(z1)≠f(z2)，則稱w=f(z)為G上的單葉函數(shù)，而稱G為

w=f(z)的單葉性區(qū)域．

96精選ppt例求直線y=x在映射w=iz下的象．

解：將y=x代入w=iz得

97精選ppt98精選ppt三、整線性映射及其保圓性整線性映射是指：其中為復(fù)常數(shù).

令，則

1.伸縮

2.旋轉(zhuǎn)

3.平移99精選ppt因此整線性映射w=az+b具有保圓性。注：整線性映射具有保圓性。證：只需證明伸縮保圓性。將代入100精選ppt§1-4復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)101精選ppt注意:一、復(fù)變函數(shù)的極限102精選ppt定理1

定理2

設(shè)，，，

，則有

103精選ppt注復(fù)變函數(shù)在一點的極限可用兩個二元實函數(shù)在一點的極限來討論，即

104精選ppt定理