華科線性代數(shù)深刻復(fù)習重要

**第一部分行列式重點：1．排列的逆序數(shù)（P.5例4；P.26第2、4題）感謝閱讀2．行列式按行（列）展開法則（P.21例13；P.28第9題）精品文檔放心下載3．行列式的性質(zhì)及行列式的計算（P.27第8題）謝謝閱讀【主要內(nèi)容】1、行列式的定義、性質(zhì)、展開定理、及其應(yīng)用——克萊姆法則謝謝閱讀2、排列與逆序3、方陣的行列式4、幾個重要公式：（1）AAT； （2）A11A；（3）kAknA；謝謝閱讀（4）A*An1；（5）ABAB；（6）A0A**0AB；BBnA，ijnA，ij（7）aA0，ij；（8）aA0，ijijijijiji1j1（其中A,B為n階方陣，k為常數(shù)）5、行列式的常見計算方法：（1）利用性質(zhì)化行列式為上（下）三角形；謝謝閱讀（2）利用行列式的展開定理降階；（3）根據(jù)行列式的特點借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定義，熟記幾個特殊行列式的值。2、掌握排列與逆序的定義，會求一個排列的逆序數(shù)。3、能熟練應(yīng)用行列式的性質(zhì)、展開法則準確計算3-5階行列式的值。精品文檔放心下載4、會計算簡單的n階行列式。5、知道并會用克萊姆法則。**第二部分矩陣1．矩陣的運算性質(zhì)2．矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）感謝閱讀3．伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9；P.56第23、24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）謝謝閱讀4．矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71；P.100例13、14、15）精品文檔放心下載【主要內(nèi)容】1、矩陣的概念、運算性質(zhì)、特殊矩陣及其性質(zhì)。2、方陣的行列式3、可逆矩陣的定義、性質(zhì)、求法（公式法、初等變換法、分塊對角陣求逆）。感謝閱讀4、n階矩陣A可逆A0A為非奇異(非退化)的矩陣。R(A)nA為滿秩矩陣。精品文檔放心下載AX0只有零解AXb有唯一解A的行（列）向量組線性無關(guān)A的特征值全不為零。A可以經(jīng)過初等變換化為單位矩陣。A可以表示成一系列初等矩陣的乘積。感謝閱讀5、矩陣的初等變換與初等矩陣的定義、性質(zhì)及其二者之間的關(guān)系。謝謝閱讀6、矩陣秩的概念及其求法（（1）定義法；（2）初等變換法）。謝謝閱讀7、矩陣的分塊，分塊矩陣的運算：加法，數(shù)乘，乘法以及分塊矩陣求逆。精品文檔放心下載【要求】1、了解矩陣的定義，熟悉幾類特殊矩陣（單位矩陣，對角矩陣，上、下三角形矩陣，對稱矩陣，可逆矩感謝閱讀陣，伴隨矩陣，正交矩陣）的特殊性質(zhì)。2、熟悉矩陣的加法，數(shù)乘，乘法，轉(zhuǎn)置等運算法則，會求方陣的行列式。感謝閱讀3、熟悉矩陣初等變換與初等矩陣，并知道初等變換與初等矩陣的關(guān)系。精品文檔放心下載4、掌握矩陣可逆的充要條件，會求矩陣的逆矩陣。5、掌握矩陣秩的概念，會求矩陣的秩。6、掌握分塊矩陣的概念，運算以及分塊矩陣求逆矩陣。第三部分線性方程組1．線性方程組的解的判定，帶參數(shù)的方程組的解的判定精品文檔放心下載2．齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系）感謝閱讀3．非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）【主要內(nèi)容】**1、向量、向量組的線性表示：設(shè)有單個向量b，向量組A：,,,n，向量組B：12,,,m，則12（1）向量b可被向量組A線性表示R(,,,)R(,,,,b)12n12n（2）向量組B可被向量組A線性表示R(,,,)R(,,,,,,,)12n12n12m（3）向量組A與向量組B等價的充分必要條件是：R(,,,)R(,,,)R(,,,,,,,)12n12m12n12m（4）基本題型：判斷向量b或向量組B是否可由向量組A線性表示？如果能，寫出表達式。感謝閱讀解法：以向量組A：,,,以及向量b或向量組B:,,,m為列向量構(gòu)成矩陣，并12n12對其進行初等行變換化為簡化階梯型矩陣，最終斷定。2、向量組的線性相關(guān)性判別向量組,,,s的線性相關(guān)、線性無關(guān)的常用方法：12方法一：（1）向量方程kkk0只有零解向量組,,,線性無1122ss12s關(guān)；（2）向量方程kkk0有非零解向量組,,,s線性相關(guān)。1122ss12方法二：求向量組的秩R(,,,)12s（1）秩R(,,,)小于個數(shù)s向量組,,,線性相關(guān)12s12s（2）秩R(,,,)等于個數(shù)s向量組,,,線性無關(guān)。12s12s（3）特別的，如果向量組的向量個數(shù)與向量的維數(shù)相同，則向量組線性無關(guān)以向量組1,2,,s為列向量的矩陣的行列式非零；向量組線性相關(guān)以向量組1,2,,s為列向精品文檔放心下載**量的矩陣的行列式為零。3、向量組的極大無關(guān)組的概念（與向量空間的基、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的關(guān)系）及其求法?；绢}型：判斷向量組的相關(guān)性以及求出向量組的極大無關(guān)組。謝謝閱讀4、等價向量組的定義、性質(zhì)、判定。5、向量組的秩與矩陣的秩之關(guān)系?！疽蟆?、掌握向量組、線性組合和線性表示的概念，知道兩個向量組等價的含義。精品文檔放心下載2、掌握向量組線性相關(guān)、線性無關(guān)的定義，并會判斷一個具體向量組的線性相關(guān)性。精品文檔放心下載3、知道向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系，會求一個具體向量組的秩及其極大無關(guān)組。精品文檔放心下載4、了解向量空間及其基和維數(shù)的概念第四部分向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）謝謝閱讀1．向量組的線性表示2．向量組的線性相關(guān)性3．向量組的秩【主要內(nèi)容】1、齊次線性方程組Ax0只有零解系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)n；感謝閱讀2、齊次線性方程組Ax0有非零解系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)n.謝謝閱讀3、非齊次線性方程組Axb無解增廣矩陣B(A,b)秩系數(shù)矩陣A的秩；精品文檔放心下載4、非齊次線性方程組Axb有解增廣矩陣B(A,b)秩系數(shù)矩陣A的秩謝謝閱讀特別地，1）增廣矩陣B(A,b)的秩系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)n謝謝閱讀非齊次線性方程組Axb有唯一解；2）增廣矩陣B(A,b)的秩系數(shù)矩陣A的秩未知量個數(shù)n非齊次線性方程組精品文檔放心下載Axb有無窮多解?！疽蟆?*1、掌握齊次線性方程組解的性質(zhì)、基礎(chǔ)解系的求法，2、掌握非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)，熟悉非齊次線性方程組有解的等價條件。謝謝閱讀3、知道齊次與非齊次線性方程組的解之間的關(guān)系。4、會求解非齊次線性方程組。第五部分 方陣的特征值及特征向量1．施密特正交化過程2．特征值、特征向量的性質(zhì)及計算（P.120例8、9、10；P.135第7至13題）謝謝閱讀3．矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化（P.135第15、16、19、23題）精品文檔放心下載【主要內(nèi)容】1、向量的內(nèi)積、長度、夾角等概念及其計算方法。2、向量的正交關(guān)系及正交向量組的含義。3、施密特正交化方法。4、方陣的特征值與特征向量的概念及其計算方法。（1）特征值求法：解特征方程AE0；感謝閱讀（2）特征向量的求法：求方程組AEX0的基礎(chǔ)解系。謝謝閱讀5、相似矩陣的定義（P1APB）、性質(zhì)(A,B相似R(A)R(B)、AB、A,B有相同的特征值)。謝謝閱讀6、判斷矩陣是否可以對角化以及對角化的步驟，找到可逆矩陣P使得P1AP為對角矩陣。感謝閱讀7、用正交變換法化二次型為標準形的步驟:（將實對稱矩陣對角化）謝謝閱讀（1）寫出二次型的矩陣A.（2）求出A的所有特征值,,,精品文檔放心下載1 2 n（3）解方程組(EA)X0（i1,2,,n）求對應(yīng)于特征值,,,的特征向量i12n**,,,1 2 n（4）若特征向量組,,,n不正交，則先將其正交化，再單位化，得標準正交的向量組12,,,，記P(,,,)，對二次型做正交變換xPy,即得二次型的標準12n12n形fy2y2y21122nn8、正定二次型的定義及其判定方法常用判定二次型正定的方法：（1）定義法（2）特征值全大于零（3）順序主子式全大于零感謝閱讀【要求】1、掌握向量的內(nèi)積、長度、夾角，正交向量組的性質(zhì)，會利用施密特正交化方法化線性無關(guān)向量組為正交向量組。感謝閱讀2、掌握方陣特征值、特征向量的概念、求法，3、了解相似矩陣的概念、掌握化對稱矩陣為對角矩陣的方法。感謝閱讀4、掌握二次型的概念、會用正交變換化二次型為標準形。謝謝閱讀5、知道正定二次型的概念及其判定方法。線性代數(shù)要注意的知識點1、行列式n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式；精品文檔放心下載代數(shù)余子式的性質(zhì)：①、A和a的大小無關(guān)；ij ij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0；謝謝閱讀③、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為A；精品文檔放心下載3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：M(1)ijAA(1)ijMijijijij行列式的重要公式：①、主對角行列式：主對角元素的乘積；感謝閱讀n(n1)②、副對角行列式：副對角元素的乘積(1) 2 ；謝謝閱讀③、上、下三角行列式（◥◣）：主對角元素的乘積；感謝閱讀④、◤和◢：副對角元素的乘積(1)n(n1)；2**⑤、拉普拉斯展開式：AOACAB、CAOA(1)mgnABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；⑦、特征值證明A0的方法：①、AA；感謝閱讀②、反證法；③、構(gòu)造齊次方程組Ax0，證明其有非零解；④、利用秩，證明r(A)n；精品文檔放心下載⑤、證明0是其特征值；2、矩陣是n階可逆矩陣：A0（是非奇異矩陣）；r(A)n（是滿秩矩陣）精品文檔放心下載A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組Ax0有非零解；精品文檔放心下載bRn，Axb總有唯一解；A與E等價；A可表示成若干個初等矩陣的乘積；感謝閱讀A的特征值全不為0；ATA是正定矩陣；A的行（列）向量組是Rn的一組基；精品文檔放心下載A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；對于n階矩陣A：AA*A*AAE無條件恒成立；感謝閱讀7.(A1)*(A*)1(A1)T(AT)1(A*)T(AT)*(AB)TBTAT(AB)*B*A*(AB)1B1A1矩陣是表格，推導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和；感謝閱讀關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A1A若A，則：2OAsⅠ、AAALA；12sA11A1Ⅱ、A1；2OA1sAO1A1O②、OBOB1OA1OB1③、BOA1O**AC1A1④、OBO

A1CB1B1 AO1A1O⑤、B1CA1CBB13、矩陣的初等變換與線性方程組EO；1.一個mn矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：FrOOmn等價類：所有與A等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B，若r(A)r(B)A:B；感謝閱讀行最簡形矩陣：①、只能通過初等行變換獲得；②、每行首個非0元素必須為1；③、每行首個非0元素所在列的其他元素必須為0；謝謝閱讀初等行變換的應(yīng)用：（初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換）①、若(A,E):r(E,X)，則A可逆，且XA1；謝謝閱讀②、對矩陣(A,B)做初等行變化，當A變?yōu)镋時，B就變成A1B，即：(A,B)c(E,A1B)；③、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Axb，如果(A,b):r(E,x)，則A可逆，且xA1b；謝謝閱讀初等矩陣和對角矩陣的概念：①、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；精品文檔放心下載1②、，左乘矩陣A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；2Oiin111③、對調(diào)兩行或兩列，符號E(i,j)，且E(i,j)1E(i,j)，例如：11；111111④、倍乘某行或某列，符號E(i(k))，且E(i(k))11；k(k0)k，例如：k11⑤、倍加某行或某列，符號E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：1k11k11(k0)；11矩陣秩的基本性質(zhì)：①、0r(A )min(m,n)；謝謝閱讀mn②、r(AT)r(A)；**③、若A:B，則r(A)r(B)；感謝閱讀④、若P、Q可逆，則r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）謝謝閱讀⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※）精品文檔放心下載⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※）謝謝閱讀⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）精品文檔放心下載⑧、如果A是mn矩陣，B是ns矩陣，且AB0，則：（※）謝謝閱讀Ⅰ、B的列向量全部是齊次方程組AX0解（轉(zhuǎn)置運算后的結(jié)論）；感謝閱讀Ⅱ、r(A)r(B)n⑨、若A、B均為n階方陣，則r(AB)r(A)r(B)n；謝謝閱讀三種特殊矩陣的方冪：①、秩為1的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結(jié)合律；精品文檔放心下載1ac②、型如01b的矩陣：利用二項展開式001③、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：nr(A)n①、伴隨矩陣的秩：r(A*)1r(A)n1；r(A)n10AA②、伴隨矩陣的特征值：(AXX,A*AA1A*XX)；謝謝閱讀關(guān)于A矩陣秩的描述：①、r(A)n，A中有n階子式不為0，n1階子式全部為0；（兩句話）②、r(A)n，A中有n階子式全部為0；感謝閱讀③、r(A)n，A中有n階子式不為0；謝謝閱讀線性方程組：Axb，其中A為mn矩陣，則：感謝閱讀①、m與方程的個數(shù)相同，即方程組Axb有m個方程；②、n與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組Axb為n元方程；精品文檔放心下載線性方程組Axb的求解：①、對增廣矩陣B進行初等行變換（只能使用初等行變換）；②、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解；③、特解：自由變量賦初值后求得；精品文檔放心下載由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程：謝謝閱讀axaxLaxb精品文檔放心下載 11 1 12 2 1n n 1①、axaxLaxb ；謝謝閱讀 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLa xa xLa xbm1 1 m2 2 nm n n**aaLaxb1112L1n11（向量方程，A為mn矩陣，m個方程，n個未知②、aaaxb21222n22AxbMMOMMMLaaaxbm1m2mnmm數(shù)）x③、a1aLax2（全部按列分塊，其中12nMxn④、axaxLax（線性表出）1122nn

b1b2）；Mbn⑤、有解的充要條件：r(A)r(A,)n（n為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）感謝閱讀4、向量組的線性相關(guān)性1.m個n維列向量所組成的向量組A：,,L,構(gòu)成nm矩陣A(,,L,)；12m12m個n維行向量所組成的向量組B：T,T,L謝謝閱讀1 2

T1T構(gòu)成mn矩陣B2T；精品文檔放心下載MmTm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；①、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)②、向量的線性表出③、向量組的相互線性表示感謝閱讀

Ax0有、無非零解；（齊次線性方程組）Axb是否有解；（線性方程組）AXB是否有解；（矩陣方程）3.矩陣A與B行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax0和Bx0同解；(P例14)mnln101r(ATA)r(A)；(P101例15)謝謝閱讀n維向量線性相關(guān)的幾何意義：①、線性相關(guān)0；②、,線性相關(guān),坐標成比例或共線（平行）；③、,,線性相關(guān),,共面；線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理：若,,L,線性相關(guān)，則,,L,,必線性相關(guān)；12s12ss1若,,L,線性無關(guān)，則,,L,必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）12s12s1r維向量組A的每個向量上添上nr個分量，構(gòu)成n維向量組B：精品文檔放心下載A線性無關(guān)，則B也線性無關(guān)；反之若B線性相關(guān)，則A也線性相關(guān)；（向量組的維數(shù)加加減減）簡言之：無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定；感謝閱讀向量組A（個數(shù)為r）能由向量組B（個數(shù)為s）線性表示，且A線性無關(guān)，則rs；向量組A能由向量組B線性表示，則r(A)r(B)；謝謝閱讀向量組A能由向量組B線性表示AXB有解；**r(A)r(A,B)向量組A能由向量組B等價r(A)r(B)r(A,B)感謝閱讀方陣A可逆存在有限個初等矩陣P,P,L,P，使APPLP；感謝閱讀1 2 l 1 2 lr①、矩陣行等價：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0與Bx0同解謝謝閱讀c②、矩陣列等價：A~BAQB（右乘，Q可逆）；感謝閱讀③、矩陣等價：A~BPAQB（P、Q可逆）；精品文檔放心下載9. 對于矩陣A 與B ：mn ln①、若A與B行等價，則A與B的行秩相等；謝謝閱讀②、若A與B行等價，則Ax0與Bx0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有相同的線性相關(guān)性；謝謝閱讀③、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；④、矩陣A的行秩等于列秩；10.若ABC，則：mssnmn①、C的列向量組能由A的列向量組線性表示，B為系數(shù)矩陣；精品文檔放心下載②、C的行向量組能由B的行向量組線性表示，AT為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）謝謝閱讀齊次方程組Bx0的解一定是ABx0的解，考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；①、ABx0只有零解Bx0只有零解；謝謝閱讀②、Bx0有非零解ABx0一定存在非零解；12.設(shè)向量組B:b,b,L,b可由向量組A:a,a,L,a線性表示為：nr12rns12s(b,b,L,b)(a,a,L,a)K（BAK）12r12s其中K為sr，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān)r(K)r