回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用高二數(shù)學(xué)選修1-21精選ppt問(wèn)題1：正方形的面積y與正方形的邊長(zhǎng)x之間的函數(shù)關(guān)系是y=x2確定性關(guān)系問(wèn)題2：某水田水稻產(chǎn)量y與施肥量x之間是否-------有一個(gè)確定性的關(guān)系？復(fù)習(xí)、變量之間的兩種關(guān)系2精選ppt自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。1、定義：

1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；注對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。2）：3精選ppt2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。

如：人的身高與年齡；產(chǎn)品的成本與生產(chǎn)數(shù)量；商品的銷(xiāo)售額與廣告費(fèi)；家庭的支出與收入。4精選ppt3、對(duì)兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。3、回歸直線方程：2.相應(yīng)的直線叫做回歸直線。1、所求直線方程叫做回歸直---線方程；其中5精選ppt相關(guān)系數(shù)

1.計(jì)算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小．問(wèn)題：達(dá)到怎樣程度，x、y線性相關(guān)呢？它們的相關(guān)程度怎樣呢？6精選ppt負(fù)相關(guān)正相關(guān)7精選ppt相關(guān)系數(shù)ｒ＞０正相關(guān)；ｒ＜０負(fù)相關(guān)．8精選ppt例1從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為172cm的女大學(xué)生的體重。案例1：女大學(xué)生的身高與體重9精選ppt分析：由于問(wèn)題中要求根據(jù)身高預(yù)報(bào)體重，因此選取身高為自變量，體重為因變量．2.回歸方程：1.散點(diǎn)圖；10精選ppt解：1、選取身高為自變量x，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程刻畫(huà)它們之間的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。探究：身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？11精選ppt我們可以用下面的線性回歸模型來(lái)表示：y=bx+a+e，其中a和b為模型的未知參數(shù)，e稱(chēng)為隨機(jī)誤差。12精選ppt思考:產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？隨機(jī)誤差e的來(lái)源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高y的觀測(cè)誤差。以上三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。13精選ppt函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：可以提供選擇模型的準(zhǔn)則14精選ppt函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型：回歸模型：

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解析部分y的變化。

在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱(chēng)為解析變量，因變量y稱(chēng)為預(yù)報(bào)變量。所以，對(duì)于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為

15精選ppt5943616454505748體重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321編號(hào)

那么，在這個(gè)總的效應(yīng)（總偏差平方和）中，有多少來(lái)自于解析變量（身高）？有多少來(lái)自于隨機(jī)誤差？

假設(shè)隨機(jī)誤差對(duì)體重沒(méi)有影響，也就是說(shuō)，體重僅受身高的影響，那么散點(diǎn)圖中所有的點(diǎn)將完全落在回歸直線上。但是，在圖中，數(shù)據(jù)點(diǎn)并沒(méi)有完全落在回歸直線上。這些點(diǎn)散布在回歸直線附近，所以一定是隨機(jī)誤差把這些點(diǎn)從回歸直線上“推”開(kāi)了。在例1中，殘差平方和約為128.361。

因此，數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱(chēng)為殘差。例如，編號(hào)為6的女大學(xué)生，計(jì)算隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差）為：對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來(lái)，用數(shù)學(xué)符號(hào)稱(chēng)為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。表示為：即，16精選ppt

由于解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）為354，而隨機(jī)誤差的效應(yīng)為128.361，所以解析變量的效應(yīng)為解析變量和隨機(jī)誤差的總效應(yīng)（總偏差平方和）

=解析變量的效應(yīng)（回歸平方和）+隨機(jī)誤差的效應(yīng)（殘差平方和）354-128.361=225.639這個(gè)值稱(chēng)為回歸平方和。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是17精選ppt樣本決定系數(shù)

（判定系數(shù)R2

）1.回歸平方和占總偏差平方和的比例反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，說(shuō)明回歸方程擬合的越好；R20，說(shuō)明回歸方程擬合的越差判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(r)218精選ppt顯然，R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型擬合效果越好。在線性回歸模型中，R2表示解析變量對(duì)預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。

R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)）。

如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過(guò)比較R2的值來(lái)做出選擇，即選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型?？偟膩?lái)說(shuō)：相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。在線性模型中，它代表自變量刻畫(huà)預(yù)報(bào)變量的能力。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是19精選ppt1354總計(jì)0.36128.361殘差變量0.64225.639隨機(jī)誤差比例平方和來(lái)源表1-3

從表3-1中可以看出，解析變量對(duì)總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，即R20.64，可以敘述為“身高解析了64%的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。所以，身高對(duì)體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是20精選ppt表3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。

在研究?jī)蓚€(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來(lái)粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來(lái)擬合數(shù)據(jù)。殘差分析與殘差圖的定義：

然后，我們可以通過(guò)殘差來(lái)判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱(chēng)為殘差分析。編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382

我們可以利用圖形來(lái)分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱(chēng)為殘差圖。21精選ppt殘差圖的制作及作用。坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為心的帶形區(qū)域；對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。身高與體重殘差圖異常點(diǎn)

錯(cuò)誤數(shù)據(jù)模型問(wèn)題

幾點(diǎn)說(shuō)明：第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過(guò)程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒(méi)有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。22精選ppt例2、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753解：23精選ppt練習(xí)、在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說(shuō)明擬合效果的好壞。價(jià)格x1416182022需求量Y1210753列出殘差表為0.994因而，擬合效果較好。00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.4-4.424精選ppt例2：一只紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關(guān),現(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù),試建立y與x之間的回歸方程解:1)作散點(diǎn)圖;從散點(diǎn)圖中可以看出產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系并不能用線性回歸模型來(lái)很好地近似。這些散點(diǎn)更像是集中在一條指數(shù)曲線或二次曲線的附近。25精選ppt解:令則z=bx+a,(a=lnc1,b=c2),列出變換后數(shù)據(jù)表并畫(huà)出x與z的散點(diǎn)圖x和z之間的關(guān)系可以用線性回歸模型來(lái)擬合x(chóng)21232527293235z1.9462.3983.0453.1784.194.7455.78426精選ppt2)用y=c3x2+c4模型,令,則y=c3t+c4,列出變換后數(shù)據(jù)表并畫(huà)出t與y的散點(diǎn)圖散點(diǎn)并不集中在一條直線的附近，因此用線性回歸模型擬合他們的效果不是最好的。t44152962572984110241225y71121246611532527精選ppt殘差表編號(hào)1234567x21232527293235y711212466115325e(1)0.52-0.1671.76-9.1498.889-14.15332.928e(2)47.719.397-5.835-41.003-40.107-58.26877.965非線性回歸方程二次回歸方程殘差公式28精選ppt在此處可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題需要注意的問(wèn)題：對(duì)于同樣的數(shù)據(jù)，有不同的統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行分析，我們要用最有效的方法分析數(shù)據(jù)。現(xiàn)在有三個(gè)不同的回歸模型可供選擇來(lái)擬合紅鈴蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)與溫度數(shù)據(jù)，他們分別是：可以利用直觀（散點(diǎn)圖和殘差圖）、相關(guān)指數(shù)來(lái)確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好。29精選ppt用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問(wèn)題：1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；3、樣本采集的范圍會(huì)影響回歸方程的適用范圍；4、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。——這些問(wèn)題也使用于其他問(wèn)題。涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：模型適用的總體；模型的時(shí)間性；樣本的取值范圍對(duì)模型的影響；模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。小結(jié)30精選ppt一