積分曲線的知識(shí)

積分曲線的知識(shí)第1頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義1:聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.

例1：下列關(guān)系式都是微分方程一、常微分方程與偏微分方程

第2頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程.都是常微分方程1.常微分方程如第3頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果在一個(gè)微分方程中,自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上,稱為偏微分方程.注:本課程主要研究常微分方程.同時(shí)把常微分方程簡(jiǎn)稱為微分方程或方程.2.偏微分方程如都是偏微分方程.第4頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù).是一階微分方程；

是二階微分方程；

是四階微分方程.二、微分方程的階如:第5頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月n階微分方程的一般形式為第6頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

是線性微分方程.

三線性和非線性如1.如果方程第7頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是非線性微分方程.

如2.n階線性微分方程的一般形式不是線性方程的方程稱為非線性方程第8頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四微分方程的解定義4第9頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2證明:第10頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1顯式解與隱式解相應(yīng)定義4所定義的解為方程的一個(gè)顯式解.隱式解.注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解.第11頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如有顯式解:和隱式解:第12頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2通解與特解定義5如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解.例如:n階微分方程通解的一般形式為第13頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注1:第14頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3證明:由于故第15頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又由于第16頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注2:注3:類似可定義方程的隱式通解,如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的隱式通解.以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方程的通解.第17頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解.例如定義6第18頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3定解條件為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件.求滿足定解條件的求解問(wèn)題稱為定解問(wèn)題.常見(jiàn)的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個(gè)條件:當(dāng)定解條件是初始條件時(shí),相應(yīng)的定解問(wèn)題稱為初值問(wèn)題.第19頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注1:n階微分方程的初始條件有時(shí)也可寫為注2:第20頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4解由于且第21頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解以上方程組得第22頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考1、微分方程的解是否連續(xù)？是否可導(dǎo)？2、微分方程解的定義區(qū)間是否可以是一個(gè)點(diǎn)？3、通解是否一定包含了全部解？4、所有方程都有通解嗎？第24頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五積分曲線和方向場(chǎng)1積分曲線一階微分方程稱為微分方程的積分曲線.第25頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2方向場(chǎng)在方向場(chǎng)中,方向相同的點(diǎn)的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場(chǎng).第26頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖1.2等斜線積分曲線：圖中實(shí)線例：討論微分方程等斜線是雙曲線：積分曲線的分布概況如左圖.拐點(diǎn)所在的曲線第27頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

方向場(chǎng)畫法：適當(dāng)畫出若干條等斜線，再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向量,這樣即可畫出這個(gè)方向場(chǎng).例畫出方程所確定的方向場(chǎng)示意圖.解方程的等斜線為畫出五條等斜線,再在每條等斜線上適當(dāng)選取若干個(gè)點(diǎn)畫出對(duì)應(yīng)的向量，如圖方向場(chǎng)。第28頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)方向場(chǎng)即可大致描繪出積分曲線．經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，(0,0)，(0,-1)的三條積分曲線．如左圖所示。第29頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5第30頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6積分曲線方向場(chǎng)第31頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方向場(chǎng)示意圖

積分曲線

例7第32頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月六、微分方程組定義：用兩個(gè)及兩個(gè)以上的關(guān)系式表示的微分方程稱為微分方程組。Lorenz方程Volterra兩種種群競(jìng)爭(zhēng)模型(1.18)(1.19)第33頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月高階微分方程的另一種形式（如果可能！）如果把都理解為未知函數(shù)，并作變換上述高階微分方程可以變?yōu)橄铝形⒎址匠探M并可以記為向量形式其中均為向量函數(shù)．分析：微分方程（組）的向量形式為其用線性代數(shù)知識(shí)進(jìn)行研究討論提供了方便。第34頁(yè)，課件共36頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月七、駐定與非駐定、動(dòng)力系統(tǒng)如果方程組的右端不含自變量，即則稱為駐定（自治）的，否則就稱為非駐定的（非自治）的。注：對(duì)于非駐定方程組總可以引入變換變?yōu)轳v定方程組。把滿足恒同性和可加性的映射稱為動(dòng)力系統(tǒng)。動(dòng)力系統(tǒng)分為連續(xù)和離散系統(tǒng)兩種類型，對(duì)應(yīng)有連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)和離散動(dòng)力系統(tǒng)。注：記為單參數(shù)的的映射（變換），則映射滿足恒同性和可加性，即：和第35頁(yè)，課件共36