非線性概率模型

我們可用與圖10.2.1相類似的非線性函數(shù)—邏輯函數(shù)，來逼近圖10.2.1中的函數(shù)曲線：(10.2.1)

其中，pi為采取某選擇的概率，xi為自變量。這個函數(shù)具有我們希望的良好性質(zhì)，它的圖形是一條S型曲線。當時，當時,(10.2.2)當根據(jù)(10.2.1)和(10.2.2)可以畫出邏輯函數(shù)的圖形，如圖10.2.2所示0zipi圖10.2.2邏輯函數(shù)曲線

由(10.2.1)可得(10.2.3)

對(10.2.3)式兩邊取對數(shù)：(10.2.4)

0.5我們可以把整體看作一個變量，于是便有線性回歸模型

(10.2.5)

(10.2.5)式稱為邏輯模型。二、邏輯模型的估計方法(一)因變量觀測值可以分組的情形我們?nèi)匀灰苑治鼍用窦彝ベ徺I某些耐用商品的狀況，比如說購買汽車的狀況為例。假設樣本容量足夠大，以至使每一個自變量觀測值都有5—6個以上的因變量觀察值與之對應。在這種情況下，所有因變量觀測值可以按不同自變量觀測值分成許多組，例如，共可分為G組。假設第i組共有ni個家庭收入為xi，其中有ri個家庭已購買汽車，其余尚未購買。于是收入為xi的家庭，購買汽車的概率為（10.2.6）

這里是概率真值pi的估計值，顯然，每組內(nèi)家庭個數(shù)不能太少，家庭個數(shù)越多，概率估計值越接近真值。因為(10.2.5)式可近似表示為：（10.2.7）

于是，(10.2.5)式可以表示為：（10.2.8）

對于模型(10.2.5)而言，就是因變量，通過上述方法我們實際上求出了這個因變量的所有觀察值，因此可用估計普通線性模型的方法求出β0和β1的估計值。但必須指出，這一方法能否正確得出參數(shù)估計值的關(guān)鍵是每一個自變量xi所對應的因變量觀察值不能少于5或6個。如果樣本容量不太大或自變量數(shù)目很多，上述條件不能滿足，則此法不適用。此種方法，顯然可以推廣到多個自變量的情況。(二)因變量觀測值不能重復觀測的情況如果樣本容量不夠大，以至每個自變量觀測值只對應一個或很少幾個因變量觀測值，分組就不可能實現(xiàn)了。這時可采用極大似然法估計模型（10.2.5)。我們?nèi)砸韵M者是否購買汽車為例進行討論。1.建立似然函數(shù)對第i個消費者進行觀測所得到的結(jié)果只有兩種情況：已經(jīng)購買汽車，即，或者尚未購買汽車，即。設yi

=1的概率為pi，則yi=0的概率為(1-pi)，于是變量y服從兩點分布，其概率分布列為：（10.2.9）

所謂似然函數(shù)，就是樣本中全部觀測值的聯(lián)合分布（此時參數(shù)是未知的）：（10.2.10）

由(10.2.1)知，pi可以表示為所以(10.2.10)可以表示為：（10.2.11）

2.極大似然估計極大似然估計的基本思想是：我們觀測到的樣本應該是出現(xiàn)概率最大的樣本。本問題中，既然來自總體的樣本具有概率分布(10.2.11)，我們應該要求參數(shù)β0和β1的取值使(10.2.11)達到極大值，滿足上述極值條件求出的β0和β1的估計量，稱為極大似然估計量。對(10.2.11)式兩邊取對數(shù)：（10.2.12）

(10.2.12)分別對參數(shù)β0和β1求導數(shù)，可得極值條件的表達式：（10.2.13）

其中(10.2.14)

由(10.2.14)有關(guān)系：把(10.2.15)代入(10.2.13)得到化簡了的正規(guī)方程：

(10.2.16)

解正規(guī)方程，便可參數(shù)的估計值。若以和代表估計量，則概率模型的極大似然估計式為：式中代表具有特征x=xi的消費者購買汽車的概率的估計值。以上方法可以推廣到多元模型的情況，此時，（10.2.25）

3.案例分析利用Eviews軟件可以很方便的估計邏輯模型的參數(shù)。例10.2.1我們考察個體家庭月收入與購買耐用消費品（汽車）的關(guān)系，我們用y表示虛擬變量，取值1表示已購買耐用消費品，取值0表示沒有購買耐用消費品，用x表示家庭月收入，我們收集了36個樣本值如表10.2.1所示（見課本251頁）我們利用表10.2.1的數(shù)據(jù)，建立邏輯模型。點擊Quick/EstimateEquation出現(xiàn)對話框，在EquationSpecification對話框中，輸入公式命令：

Y=1/(1+E