第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念

第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念第1頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月位置函數(shù)為分析：

當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，改變量先回顧函數(shù)的改變量一、引例1.瞬時(shí)速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng),第2頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在這一時(shí)間間隔內(nèi),于是比值就是質(zhì)點(diǎn)在這段時(shí)間內(nèi)的平均速度,

顯然越小,近似程度越好.則此極限值就是質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t的瞬時(shí)速度)(0tv即

tv=)(0記為即的瞬時(shí)速度的近似值,可作為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻0t若的極限存在。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作變速運(yùn)動(dòng)時(shí)，則不然。我們考慮從質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程第3頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．質(zhì)量非均勻的細(xì)桿的線密度將一根質(zhì)量非均勻分布的細(xì)桿放在x軸上,它的一端位于原點(diǎn)，分布在],0[x上的質(zhì)量m是x的函數(shù))(xmm=,求桿中某點(diǎn)0x處的線密度。分析：

若細(xì)桿質(zhì)量分布是均勻的,總長(zhǎng)度總質(zhì)量=對(duì)質(zhì)量分布是非均勻的細(xì)桿,就不能這樣計(jì)算。在]

,0[0x上細(xì)桿的質(zhì)量為)(0xm,在]

,0[0xxD+上的質(zhì)量為細(xì)桿的質(zhì)量為:則它在處的線密度于是在這段長(zhǎng)度內(nèi),第4頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平均線密度為

處的線密度的近似值，顯然

||xD越小,近似程度若r的極限存在,則此極限值即x)(0r當(dāng)很小時(shí),上述兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的物理意義雖然不同，但解決問(wèn)題的方法是相同的，都是求函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限。把這一共同點(diǎn)進(jìn)行歸納，于是得出導(dǎo)數(shù)定義如下：越好，0x處的線密度)(0xr,就是細(xì)桿在點(diǎn)第5頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月處給自變量一改變量Dx,相應(yīng)地函數(shù)y有改變量如果極限存在,二、導(dǎo)數(shù)的定義則稱函數(shù))(xfy=在點(diǎn)0x處可導(dǎo),并稱此極限值為函數(shù))(xf在0x點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)（或稱為函數(shù))(xf在0x點(diǎn)處的變化率

）記為

或

0|xxy=￠

第6頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.導(dǎo)函數(shù)的概念（簡(jiǎn)稱“導(dǎo)數(shù)”）如果函數(shù))(xfy=在開(kāi)區(qū)間)

,(ba內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱函數(shù))(xfy=在開(kāi)區(qū)間)

,(ba內(nèi)可導(dǎo),這時(shí)對(duì)于)

,(ba內(nèi)的每一個(gè)確定的x值,都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的于是就確定了一個(gè)新的函數(shù)這個(gè)新的函數(shù)稱為)(xfy=的導(dǎo)函數(shù)

記為

或y￠

或或

即第7頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）先求導(dǎo)函數(shù)對(duì)于自變量在x給定改變量xD,相應(yīng)地函數(shù)的改變量為:從而

于是即(2)再求導(dǎo)數(shù))(xf￠在0xx=處的函數(shù)值第8頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解(2)解(1)求下列曲線在指定點(diǎn)處的切線方程與法線方程；練習(xí)第9頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解依題意：依題意：第10頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系定理證明第11頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：定理的逆命題不成立。即一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)，它不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件。第12頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月左、右導(dǎo)數(shù)的概念則稱此極限

)(xf0x值為函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù)則稱此極限)(xf0x值為函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)根據(jù)左、右導(dǎo)數(shù)的概念，第13頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

)(xf0x函數(shù)在點(diǎn)處的右導(dǎo)數(shù))(xf0x函數(shù)在點(diǎn)處的左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)的另一種形式：

令xxx=D+0

也可以表示為：也可以表示為：第14頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：解第15頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月用左導(dǎo)數(shù)、右導(dǎo)數(shù)的另一種形式求第16頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明：不存在.第17頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解第18頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的定義第19頁(yè)，課件共21頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求)(xfy=的