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文檔簡介

第三節(jié)一、三重積分的概念

二、三重積分的計算三重積分的計算

第九章一、三重積分的概念類似二重積分解決問題的思想,采用

引例:

設(shè)在空間有限閉區(qū)域內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),求分布在內(nèi)的物質(zhì)的可得“大化小,常代變,近似和,求極限”解決方法:質(zhì)量

M.密度函數(shù)為定義.

設(shè)存在,稱為體積元素,

若對作任意分割:

任意取點則稱此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標系下常寫作下列“乘積和式”極限記作性質(zhì)：三重積分的性質(zhì)與二重積分相似.例如:當時,為立體的體積。又如：中值定理：在有界閉域

上連續(xù),V為

的體積則存在使得二、三重積分的計算1.利用直角坐標計算三重積分方法1.投影法(“先一后二”)方法2.截面法(“先二后一”)方法3.三次積分法先假設(shè)連續(xù)函數(shù)并將它看作某物體通過計算該物體的質(zhì)量引出下列各計算最后,推廣到一般可積函數(shù)的積分計算.的密度函數(shù),方法:方法1.投影法(“先一后二”)記作方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為面密度≈記作投影法方法3.三次積分法設(shè)區(qū)域利用投影法結(jié)果,把二重積分化成二次積分即得:小結(jié):三重積分的計算方法方法1.“先一后二”方法2.“先二后一”方法3.“三次積分”具體計算時應根據(jù)三種方法(包含12種形式)各有特點,被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.例1.化為三次積分，由曲面及平面圍成.解：如圖所以其中

為三個坐標例3.計算三重積分所圍成的閉區(qū)域.解:如圖，：面及平面為面上軸，軸和圍成的等腰直角三角形.所以注：此題亦可嘗試用投影法求解三重積分．例4.

計算三重積分，其中是上半橢球體解：則而原式2.利用柱坐標計算三重積分就稱為點M

的柱坐標.直角坐標與柱面坐標的關(guān)系:坐標面分別為圓柱面半平面平面如圖所示,在柱面坐標系中體積元素為因此其中適用范圍:1)積分域表面用柱面坐標表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用柱面坐標表示時變量互相分離.例2.計算,其中由錐面平面圍成.用投影法.例5.計算三重積分解:

在柱面坐標系下所圍成.與平面其中

由拋

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