九年級數(shù)學(xué)專題復(fù)習數(shù)與式綜合復(fù)習

總復(fù)習數(shù)與式綜合復(fù)習【考綱要求】(1)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)與絕對值.理解有理數(shù)的運算律，并能運用運算律簡化運算；(2)了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；會用根號表示數(shù)的平方根、立方根.了解二次根式的概念及其加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算；(3)了解整式、分式的概念，會進行簡單的整式加、減運算；會進行簡單的整式乘法運算.會利用分式的基本性質(zhì)進行約分和通分，會進行簡單的分式加、減、乘、除運算.【知識網(wǎng)絡(luò)】代數(shù)式立方根平方根數(shù)軸無理數(shù)有理數(shù)因式分解算術(shù)平方根列代數(shù)式代數(shù)式的混合運算實數(shù)的運算代數(shù)式立方根平方根數(shù)軸無理數(shù)有理數(shù)因式分解算術(shù)平方根列代數(shù)式代數(shù)式的混合運算實數(shù)的運算【考點梳理】考點一、實數(shù)的有關(guān)概念、性質(zhì).實數(shù)及其分類實數(shù)可以按照下面的方法分類:

整數(shù).有理數(shù)，實數(shù)I分數(shù)｛實數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)

整整分分

正零負正負［正無理數(shù).負無理數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)數(shù)

整整分分

正零負正負(正實數(shù)］實數(shù);零(正實數(shù)］實數(shù);零正有理數(shù)｛舞正無理數(shù)負實數(shù)｛負實數(shù)｛要點進階：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)..數(shù)軸規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸.每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的關(guān)系.要點進階：實數(shù)和數(shù)軸上的點的這種一一對應(yīng)的關(guān)系是數(shù)學(xué)中把數(shù)和形結(jié)合起來的重要基礎(chǔ)..相反數(shù)實數(shù)a和-a叫做互為相反數(shù).零的相反數(shù)是零.一般地，數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩個點，分別在原點的兩旁，并且離原點的距離相等.要點進階：兩個互為相反數(shù)的數(shù)的運算特征是它們的和等于零，即如果a和b互為相反數(shù)，那么a+b=0；反過來，如果a+b=0,那么a和b互為相反數(shù)..絕對值一個實數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點與原點的距離.一個正實數(shù)的絕對值是它本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；零的絕對值是零，即如果a>0,那么|a|=a；如果a<0,那么|a|=-a；如果a=0,那么|a|=0.要點進階：從絕對值的定義可以知道，一個實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)..實數(shù)大小的比較(1)在數(shù)軸上表示兩個數(shù)的點，右邊的點所表示的數(shù)較大.(2)正數(shù)都大于0；負數(shù)都小于0,兩個負數(shù)絕對值大的那個負數(shù)反而小.(3)對于實數(shù)a、b,a-b>0oa>b；a-b=0oa=b；a-bV0oa<b.要點進階：

常用方法：①數(shù)軸圖示法；②作差法；③作商法；④平方法等.有理數(shù)的運算(1)運算法則(略).(2)運算律：加法交換律a+b=b+a；加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)；乘法交換律ab=ba；乘法結(jié)合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac.(3)運算順序：在加、減、乘、除、乘方、開方這六種運算中，加、減是第一級運算，乘、除是第二級運算，乘方、開方是第三級運算.在沒有括號的算式中，首先進行第三級運算，然后進行第二級運算，最后進行第一級運算，也就是先算乘方、開方，再算乘、除，最后算加、減.算式里如果有括號，先進行括號內(nèi)的運算.如果只有同一級運算，從左到右依次運算..平方根如果x』a,那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).要點進階：正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負數(shù)沒有平方根..算術(shù)平方根正數(shù)a的正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根.零的算術(shù)平方根是零.要點進階：從算術(shù)平方根的概念可以知道，算術(shù)平方根是非負數(shù)..近似數(shù)及有效數(shù)字近似地表示某一個量準確值的數(shù)，叫做這個量準確值的近似數(shù).一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位.這時，從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個數(shù)的有效數(shù)字..科學(xué)記數(shù)法把一個數(shù)記成土aX10n的形式(其中n是整數(shù)，a是大于或等于1而小于10的數(shù))，稱為用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù).考點二、二次根式、分式的相關(guān)概念、性質(zhì).二次根式的概念形如《7(aN0)的式子叫做二次根式..最簡二次根式和同類二次根式的概念最簡二次根式是指滿足下列條件的二次根式：(1)被開方數(shù)不含分母；(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式.幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式.要點進階：把分母中的根號化去，分式的值不變，叫做分母有理化兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若它們的積不含二次根式，則這兩個代數(shù)式互為有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：

(1)與%■"互為有理化因式；a+、；b與a-、：,b互為有理化因式；一般地a+c、；b與a-c\b互為有理化因式；aa+Vb與%a-bb互為有理化因式；一般地c-Ja+d、、；b與c%-a-dbb互為有理化因式..二次根式的主要性質(zhì).急>0(a>0)；(2)(a>=a(a>0)；:- [a(a>0)(3)a22=|a|=<[—a(a<0)(4)積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：Oab=aa-bb(a>0,b>0)；(5)商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：丘=上|(a>0,b>0).. 二次根式的運算(1)二次根式的加減二次根式相加減，先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把同類二次根式分別合并.(2)二次根式的乘除二次根式相乘除，把被開方數(shù)相乘除，根指數(shù)不變.要點進階：二次根式的混合運算：.明確運算順序，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的；.在二次根式的混合運算中，原來學(xué)過的運算律、運算法則及乘法公式仍然適用；.在二次根式的混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能收到事半功倍的效果..代數(shù)式的有關(guān)概念(1)代數(shù)式：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子，叫做代數(shù)式.用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果，叫做代數(shù)式的值.代數(shù)式的分類：必才[單項式有理式[，多項式代數(shù)式分式I無理式(2)有理式：只含有加、減、乘、除、乘方運算(包含數(shù)字開方運算)的代數(shù)式，叫做有理式.(3)整式：沒有除法運算或者雖有除法運算但除式里不含字母的有理式叫做整式.整式包括單項式和多項式.(4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式.分式的分母取值如果為零，分式?jīng)]有意義..整式的運算(1)整式的加減：整式的加減運算，實際上就是合并同類項.在運算時，如果遇到括號，根據(jù)去括號法則，先去括號，再合并同類項.(2)整式的乘法：

①正整數(shù)幕的運算性質(zhì)：am?an=am+n；(am)n=amn；(ab)m=am?bm；am+an—am-n(aW0,m〉n).其中m、n都是正整數(shù).②整式的乘法：單項式乘單項式，用它們的系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于相同字母，用它們的指數(shù)的和作為積里這個字母的指數(shù)，對于只在一個單項式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個因式.單項式乘多項式，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.多項式乘多項式，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.③乘法公式：(a+b)(a-b)—a2-b2；(a±b)2—a2±2ab+b2.④零和負整數(shù)指數(shù)：在am+an—am-n(a#0,m,n都是正整數(shù))中，當m=n時，規(guī)定a0―1；1當m<n時，如m-n=-p(p是正整數(shù))，規(guī)定a-p——.ap.因式分解(1)因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解.在因式分解時，應(yīng)注意：①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解.②因式分解以后，如果有相同的因式，應(yīng)寫成幕的形式，并且要把各個因式化簡.(2)因式分解的方法①提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c).②運用公式法：a2-b2—(a+b)(a-b)；a2±2ab+b2―(a±b)2；③十字相乘法：％2+(a+b)x+ab—(x+a)(x+b).④運用求根公式法：若ax2+bx+c―0(a豐0)的兩個根是x、x,1 2則有：ax2+bx+c—a(x-x)(x-x)

1 2.(3)因式分解的步驟①多項式的各項有公因式時，應(yīng)先提取公因式；②考慮所給多項式是否能用公式法分解.

要點進階：因式分解時應(yīng)注意:①在指定數(shù)(有理數(shù)、實數(shù))的范圍內(nèi)進行因式分解，一定要分解到不能再分解為止，若題目中沒有指定數(shù)的范圍，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，應(yīng)寫成幕的形式，并且要把各個因式化簡，同時每個因式的首項不含負號；③多項式的因式分解是多項式乘法的逆變形.8.分式(1)分式的概念形如A的式子叫做分式，其中A和B均為整式，B中含有字母，注意B的值不能為零.B(2)分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母都乘(或除以)同一個不等于零的整式，分式的值不變.A_AxA_AxMAA+MB_BxM，B—B-M(其中M是不等于零的整式)要點進階：分式有意義一分母》0；分式無意義一分母二0；分子=0，分母W0.分子二分母，分母W0.分式值為正一分子、分式值為負一分子、(3)分式的運算ab①加減法：一土一二分母同號.分式值為正一分子、分式值為負一分子、(3)分式的運算ab①加減法：一土一二分母同號.分母異號.②乘法:③除法:cccacac ■ = ?bdbdacada,cad士bc——士—= bdbdbdbcbcad?nan④乘方:二(n為正整數(shù)).④乘方:bn要點進階：解分式方程的注意事項：(1)去分母化成整式方程時不要與通分運算混淆；(2)解完分式方程必須進行檢驗，驗根的方法是將所得的根帶入到最簡公分母中，看它是否為0,如果為0,即為增根，不為0,就是原方程的解.列分式方程解應(yīng)用題的基本步驟：⑴審一一仔細審題，找出等量關(guān)系;⑵設(shè)一一合理設(shè)未知數(shù)；

(3)列一一根據(jù)等量關(guān)系列出方程；(4)解一一解出方程；(5)驗一一檢驗增根；(6)答一一答題.【典型例題】類型一、實數(shù)的概念、運算及因式分解例1.在數(shù)軸上表示a、b、。三個數(shù)的點的位置如圖所示.化簡：|a-b|+|a-c|-|b+c|.舉一反三：【變式】閱讀下面的材料，回答問題：點4B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a、b,A、B兩點之間的距離表示為|A5|.當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點，如圖1-1,|A8|=O)B\=b=|?！猙］；當A、B兩點都不在原點時：(1)如圖1-2,點A、B都在原點的右邊，［AB|=|OB|-|OA|=|b|—同=b—a=|a—b\；TOC\o"1-5"\h\zO(A) BI I0 b圖1-1O A B0 a b圖1-2(2)如圖1-3,點A、B都在原點的左邊，|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=—b—(—a)=a—b=|a—b(3)如圖1-4,點A、B在原點的兩邊，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(—b)=a—b=|a—b|.B O AI 11r圖1-3b 0 a綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離|AB|=|a-b.回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ；數(shù)軸上表示一2和一5的兩點之間的距離是 ；數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是 .(2)數(shù)軸上表示x和一1的兩點A和B之間的距離是 .如果|AB|=2，那么x=—.例2.分解因式.(1)-18x2y2+9x4-6x3y. (2)1-m2-n2+2mn. (3)-a+2a2-a3.舉一反三：【變式】分解因式：1—2a+a2—b2=1…，任何一個單位分數(shù)都可以拆分成兩個不41_1 1一二—I，…45201…，任何一個單位分數(shù)都可以拆分成兩個不41_1 1一二—I，…4520請寫出口，。所表示的數(shù)；111111同的單位分數(shù)的和，如7=-+—,-=—+-,236 3412(1)根據(jù)對上述式子的觀察，你會發(fā)現(xiàn)1=1+1,5□011^,⑵進一步思考,單位分數(shù)；「是不小于2的正整數(shù)「入十色,請寫出△”所表示的式,并加以驗證.舉一反三:…… ,1 、【變式】若0<X<1,則X、一、X2的大小關(guān)系是（）.X1A.—<X<X2XB.1C.X2<X<—XD.1X<—<X2X1—<X2<XX例4.計算舉一反三：1x3—3x+4【變式】計算X一匚X一下1例5.已知舉一反三：【變式】估計丫豆X<2+、'20的運算結(jié)果應(yīng)在（ ）6至U7之間C.8至U9之間7到8之間D.9到10之間例6.若a,b為實數(shù)，且b=%：3—5a+<5a—3+15，試求ba、-+-+2—ab/baa+12的值.舉一反三：【變式】(1)若m2—n2=6，且m—n=2，則m+n=(2)若0<a<1,—+a=6，求7a——=的值.a aa類型四、數(shù)與式的綜合運用例7.如圖，用相同規(guī)格的黑白兩色的正方形瓷磚鋪設(shè)矩形地面，請觀察下列圖形并解答有關(guān)問題：(1)在第n個圖中，共有瓷磚 塊，其中白色瓷磚 塊，黑色瓷磚塊(均用含n的代數(shù)式表示)；(2)按上述鋪設(shè)方案，鋪設(shè)一塊這樣的矩形地面共用了1056塊瓷磚，求此時n的值;(3)若黑瓷磚每塊4元，白瓷磚每塊3元，則問題(2)中，共花多少元購買瓷磚？正值羽

【鞏固練習】一、選擇題.把多項式1-x2+2xy-y2分解因式的結(jié)果是( )A.(1+x—y)(1—x+y) B.(1-x—y)(1+x—y)C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)2.、、 11111按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：-,-,,，二231015261352.、、 11111按一定的規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：-,-,,，二23101526135--,按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第7個數(shù)是（1

A.—

451B.—401C.—46D.1503.根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應(yīng)依次填寫的數(shù)字是（ ）——^1 ———————1——000110010111001111A.100,011B.011,100C.011,101D.101,110TOC\o"1-5"\h\z.在一個地球儀的赤道上用鐵絲打一個箍，現(xiàn)將鐵絲半徑增大1米，需增加m米長的鐵絲.假設(shè)地球赤道上也有一個鐵箍，同樣半徑增大1米，需增加n米長的鐵絲，則m與n的大小關(guān)系是（ ）A.m>n B.m<n C.m=n D.不能確定.將一張長方形紙片對折，可得到一條折痕，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次折痕保持平行，那么對折n次后折痕的條數(shù)是（ ）A.2n-1 B.2n+1 C.2n-1 D.2n+1.如圖圖案都是同樣大小的小正方形按一定的規(guī)律組成的，其中第1個圖形中有5個小正方形，第2個圖形有13個小正方形，第3個圖形有25個小正方形，…，按此規(guī)律，則第8個圖形中小正方形的個數(shù)為（ ）A.181B.A.181B.145C.100D.88、填空題.若非零實數(shù)a,b滿足4a2+b2=4ab，則-=.ax2—1.已知分式:———77，當乂= 時，分式的值為0.(x—2)(x-1).在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式(x+y)2-4(x+y-1)=.化簡：(1)當xN0時，：餐”=；(2)當aW0時，；(3)當aN0,b<0時，.；27a3b2=