2-1 等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)高階（人教A版2019必修第一冊(cè)）解析版

2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．“若，則”的逆否命題是“若，則”B．“”是“”的充分不必要條件C．“，”的否定是“，”D．若“”為假命題，則均為假命題1．D【分析】根據(jù)逆否命題的定義、集合間的關(guān)系、全稱(chēng)命題的否定、為假命題的定義，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一驗(yàn)證，即可得答案.【詳解】對(duì)A，根據(jù)逆否命題的定義可知命題正確，故A正確；對(duì)B，若，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；對(duì)C，因?yàn)槿Q(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，且將結(jié)論否定，故C正確；對(duì)D，若“”為假命題，則、中只要有一個(gè)為假命題，故D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查命題真假性的判斷，考查對(duì)概念的理解與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2．已知命題，，則為（

）A．， B．，C．， D．，2．C【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題可得出答案.【詳解】由于特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，故命題，的否定是：，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查特稱(chēng)命題的否定，意在考查學(xué)生的推斷能力，屬于基礎(chǔ)題.3．命題“?x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是（）A．,且 B．,或C．,且 D．,或3．D【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，準(zhǔn)確改寫(xiě)，即可求解．【詳解】由題意，根據(jù)命題的全稱(chēng)命題，則否定是特稱(chēng)命題，可得命題：“且”的否定為“或”.故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含有量詞的命題的否定，結(jié)合全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．命題“每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)”的否定是“每一個(gè)素?cái)?shù)都不是奇數(shù)”C．若是的必要不充分條件，則是的充分不必要條件D．若命題：對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形，則：對(duì)角線(xiàn)不相等的四邊形不是矩形4．C【分析】取特值法判斷A；利用全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題判斷B；利用充分條件必要條件的定義判斷C；利用命題的否定判斷D.【詳解】對(duì)于A，取特值法判斷，若，滿(mǎn)足，但，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，所以命題“每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)”的否定是“有的素?cái)?shù)不是奇數(shù)”，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若是的必要不充分條件，可知是真命題，是假命題，即是真命題，是假命題，則是的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D，為命題的否定，只否結(jié)論，不否條件，故：對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形不是矩形，故D錯(cuò)誤；故選：C5．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．命題“，”，則：“，”B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要條件C．“”是“”的充要條件D．若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件5．C【分析】根據(jù)充分條件，必要條件，全稱(chēng)與特稱(chēng)命題的否定依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，命題p：“，”，則，：“，”滿(mǎn)足命題的否定形式，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，已知a，，“且”能夠推出“，“”不能推出“且”，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，時(shí)，成立，反之，時(shí)，或，所以C不正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若p是q的充分不必要條件，則q是p的必要不充分條件，滿(mǎn)足充分與必要條件的定義，所以D正確．故選：C．6．已知下列命題：①命題“”的否定是“”；②“”是“”的充分不必要條件；③“若，則且”的逆否命題為真命題；④已知為兩個(gè)命題，若“”為假命題，則“”為真命題．其中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．06．C【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定得到①錯(cuò)誤，“”是“”的必要不充分條件，②錯(cuò)誤，判斷原命題為假得到③錯(cuò)誤，判斷均為假命題得到④正確，得到答案.【詳解】命題“”的否定是“”，①錯(cuò)誤；“”是“”的必要不充分條件，②錯(cuò)誤；“若，則且”為假命題，故逆否命題為假命題，③錯(cuò)誤；若“”為假命題，則均為假命題，故“”為真命題，④正確.故選：C.7．下列命題的否定為假命題的是（

）A．對(duì)任意的，B．所有的正方形都是矩形C．存在D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使7．ABD【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題以及特稱(chēng)命題的否定，即可寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)中命題的否定，繼而判斷真假.【詳解】A中命題的否定：存在，由于，故該命題是假命題．B中命題的否定：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題．C中命題的否定：對(duì)任意的，由于，該命題是真命題．D中命題的否定：對(duì)任意的，因?yàn)闀r(shí)，，故該命題是假命題．故選：ABD8．下面四個(gè)結(jié)論正確的是（

）A．，若，則．B．命題“”的否定是“C．“”是“”的必要而不充分條件．D．“是關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根的充要條件．8．BD【分析】舉特值判斷A；根據(jù)特稱(chēng)命題的否定判斷B，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷C、D作答．【詳解】對(duì)于A，取，滿(mǎn)足，而，A不正確；對(duì)于B，存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，則“”的否定是“”，B正確；對(duì)于C，取，滿(mǎn)足，而，即不能推出，反之，取，滿(mǎn)足，而，即不能推出，所以“”是“”的既不充分又不必要條件，C不正確；對(duì)于D，當(dāng)方程有一正一負(fù)根時(shí)，由方程兩根之積可得，反之，當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)根，并且兩根之積為負(fù)數(shù)，兩根異號(hào)，所以“”是“關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，D正確．故選：BD9．已知集合，集合，且為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.9．【分析】先利用假命題否定為真命題得到集合和集合的關(guān)系，再分和兩種情況列出相應(yīng)的不等式組即可得到答案.【詳解】因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，即，又因?yàn)榧?，集合，所以?dāng)時(shí)，，即，此時(shí)滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，或，解得，綜上所述，的取值范圍為.故答案為：.10．已知a是常數(shù)，命題p：存在實(shí)數(shù)x，使得．若命題p是假命題，則實(shí)數(shù)a的范圍為．10．【分析】寫(xiě)出命題p的否定，隨后可求出a的范圍．【詳解】命題p：存在實(shí)數(shù)x使得，為假命題，所以，它的否定：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，，為真命題，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，即所以實(shí)數(shù)a的范圍是.故答案為：11．已知集合，集合，如果命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.11．【分析】根據(jù)題意，將命題等價(jià)轉(zhuǎn)化為命題“”為真命題，根據(jù)命題的真假得出關(guān)于的不等式恒成立，進(jìn)而求解即可.【詳解】因?yàn)槊}“”為假命題，所以命題“”為真命題，因?yàn)榧?，?dāng)時(shí)，集合，符合；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以由?duì)，可得對(duì)任意的恒成立，所以，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：.12．已知命題P：“對(duì)任意，存在，使得”為假，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．12．.【分析】根據(jù)含量詞命題的否定得到真命題，轉(zhuǎn)化為，不等式求解即可.【詳解】“對(duì)任意，存在，使得”為假，則“存在，對(duì)任意的，使得”為真，即，故，解得.故答案為：.13．命題“，”的否定是；設(shè)，，分別是的三條邊，且．我們知道為直角三角形，那么．反過(guò)來(lái)，如果，那么為直角三角形．由此可知，為直角三角形的充要條件是．請(qǐng)利用邊長(zhǎng)，，給出為銳角三角形的一個(gè)充要條件是．13．，【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定直接寫(xiě)出即可；根據(jù)勾股定理，充要條件及反證法得出為銳角三角形的一個(gè)充要條件是.【詳解】解：根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題可知，命題“，”的否定是，；設(shè)，，是的三條邊，且，為銳角三角形的一個(gè)充要條件是.證明如下：必要性：在中，是銳角，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如下圖：根據(jù)圖象可知，即，可得證.充分性：在中，，所以不是直角.假設(shè)是鈍角，如下圖：過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則，即，，與矛盾.故為銳角，即為銳角三角形.【點(diǎn)睛】本題考查命題的否定的寫(xiě)法與銳角三角形的充要條件證明，屬于中檔題.充要條件的證明需注意一下幾點(diǎn)：充要條件的證明要從必要性和充分性?xún)蓚€(gè)方面考查；必要時(shí)可以用反證法證明.14．命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根，則“非p”形式的命題是，命題非p是(填“真命題”或“假命題”)．14．對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根假命題【解析】由命題p是特稱(chēng)命題，直接寫(xiě)出命題非p，先判斷出命題p為真命題，從而可判斷命題非p是假命題.【詳解】命題p：存在實(shí)數(shù)m，使方程x2＋mx＋1＝0有實(shí)數(shù)根，是特稱(chēng)命題.所以命題非p：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根在二次方程x2＋mx＋1＝0中，，顯然存在實(shí)數(shù)m，使得成立.所以命題p為真命題，則命題非p是假命題.故答案為：對(duì)任意實(shí)數(shù)m，方程x2＋mx＋1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根；

假命題15．已知命題，，命題，.若p真、q假，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.15．【解析】命題p是真命題，再利用參變分離求恒成立問(wèn)題得，再由為真，解一元二次方程得，從而求得的范圍.【詳解】若命題p是真命題，則對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立.當(dāng)時(shí)，，所以，即.若命題q是假命題，則，使得為真命題.即關(guān)于x的方程有正實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，有正實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)；依題意得，即，設(shè)兩根為、，①當(dāng)方程有個(gè)兩正實(shí)數(shù)根時(shí)，，且，解得，此時(shí)；②當(dāng)方程有一正一負(fù)兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，，解得，此時(shí)；綜上所述，.因?yàn)閜真、q假，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的真假求參數(shù)、一元二次方程根的分布，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類(lèi)討論思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.16．已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中a，b，c滿(mǎn)足且（）；（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A，B；（2）求的范圍；（3）求線(xiàn)段在x軸上的射影的長(zhǎng)的取值范圍；16．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）；【分析】（1）聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的方程得．所以．，，，．，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).（2），，，，，，解得的取值范圍．（3）由題意得，由（2）知，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，故【詳解】解：（1）由消去，得．．，，，．，，即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)．（2），，，，，，解得．（2）設(shè)方程的兩根為和，則，．．的對(duì)稱(chēng)軸方程是，且當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，故．【點(diǎn)睛】考查一元二次方程解的情況和判別式的關(guān)系，韋達(dá)定理，以及完全平方式，以及根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求二次函數(shù)的值域，屬于難題．17．對(duì)于四個(gè)正數(shù)x?y?z?w，如果，那么稱(chēng)是的“下位序列”.(1)對(duì)于2，3，7，11，試求的“下位序列”；(2)設(shè)a?b?c?d均為正數(shù)，且是的“下位序列”，試判斷：，，之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)正整數(shù)n滿(mǎn)足條件：對(duì)集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)k，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求：正整數(shù)n的最小值.17．(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)4035【分析