五年級奧數(shù)幾何圓與扇形包含與排除和旋轉(zhuǎn)對稱（B級）學(xué)生版

包含與排除和旋轉(zhuǎn)對稱包含與排除和旋轉(zhuǎn)對稱課前預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)捆地球的繩子假設(shè)地球上即無山，又無海，完全像一個大圓球，現(xiàn)在想用一根很長很長的繩子，沿著赤道用繩子捆上一圈，問繩長多少？如果繩長加上1米，繩子圍成一個大圓圈之后，就要離開赤道一段距離，形成圍繞地球的一個等距離的圓環(huán)，問圓環(huán)和地球之間的間隔有多大？（已知地球半徑約為6400千米，取3.14）答案提示：地球赤道長：（千米），所以繩長40192千米；一般我們會想對于4萬多千米來說，僅僅延長1米，會有多大的間隔？即使有間隔，恐怕也只能在顯微鏡下才能看見！讓我們來計算一下吧！假如繩長加上1米變?yōu)?0192001米，則有：（米），大約為16厘米，差不多有一支鉛筆長。簡直不可思議！知識框架知識框架圓的知識：當(dāng)一條線段繞著它的一個端點O在平面上旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一端點所畫成的封閉曲線叫做圓，點O叫做這個圓的圓心.連結(jié)一個圓的圓心和圓周上任一點的線段叫做圓的半徑.連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做圓的弦；過圓心的弦叫做圓的直徑.圓的周長與直徑的比叫做圓周率；圓周上任意兩點間的部分叫做弧.圓周長=直徑×π=半徑×2π圓面積=π×半徑扇形的知識：扇形圓心角.我們經(jīng)常說的圓、圓、圓等等其實都是扇形，而這個幾分之幾表示的其實是這個扇形的圓心角占這個圓周角的幾分之幾．那么一般的求法是什么呢？關(guān)鍵是．扇形中的弧長=.扇形的周長=+2r.扇形的面積==.弓形的知識：弦與它所對的弧所組成的圖形叫做弓形?！疽话銇碚f，弓形面積扇形面積-三角形面積．(除了半圓)】常用方法：常用的思想方法：①轉(zhuǎn)化思想(復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡單，不熟悉的轉(zhuǎn)化為熟悉的)②等積變形(割補、平移、旋轉(zhuǎn)等)③借來還去(加減法)④外圍入手(從會求的圖形或者能求的圖形入手，看與要求的部分之間的”關(guān)系”)包含與排除法：重疊想減就是應(yīng)用了包含與排除的思想，用包含與排除求面積時，關(guān)鍵是考慮重疊部分的面積如何正確處理，應(yīng)該加上還是減去，要仔細(xì)思考，正確選擇。旋轉(zhuǎn)對稱：將不規(guī)則圖形或幾個圖形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)、對稱之后成為一個或幾個規(guī)則圖形進行面積計算的方法。重難點重難點重點：利用容斥原理就是重疊相減法求面積。旋轉(zhuǎn)圖形問題的重點研究是當(dāng)一個圖形繞一點進行旋轉(zhuǎn)軌跡掃過的面積。難點：利用容斥原理如何對重疊部分的面積進行正確的處理。如何利用旋轉(zhuǎn)對稱對所求圖形進行簡化。例題精講例題精講如圖，直角三角形的邊長分別為6，8，10，求陰影部分的面積．(取3)【鞏固】如圖，AB與CD是兩條垂直的直徑，圓O的半徑為15，ABE是以C為圓心，AC為半徑的圓?。箨幱安糠置娣e．圖中長方形的長是10厘米，寬是4厘米，那么圖中陰影部分的面積是多少？（用π的式子表示）【鞏固】如右圖，正方形的邊長為5厘米，則圖中陰影部分的面積是多少平方厘米，（用π的式子表示）【例3】如圖所示，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）【鞏固】(2008年四中考題)已知三角形ABC是直角三角形，，，求陰影部分的面積．（用的式子表示）三個圓的半徑都是5厘米，三個圓兩兩相交于圓心，求三塊陰影部分的面積之和。【鞏固】四個小圓的半徑都是5厘米，大圓半徑為小圓的直徑，求三塊陰影部分的面積之和。（奧林匹克決賽試題）在桌面上放置3個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是100平方厘米，蓋住桌面的總面積是144平方厘米，3張紙片共同重疊的面積是42平方厘米.那么圖中3個陰影部分的面積的和是多少平方厘米.【鞏固】（2010年四中）四個圓的半徑都是10厘米，三個圓兩兩相交于圓心，求四塊陰影部分的面積之和。草場上有一個長20米、寬10米的關(guān)閉著的羊圈，在羊圈的一角用長30米的繩子拴著一只羊(見如圖)．問：這只羊能夠活動的范圍有多大？(圓周率取)（用π的式子表示）【鞏固】一只狗被拴在底座為邊長3米的等邊三角形建筑物的墻角上(如圖)，繩長是4米，求狗所能到的地方的總面積．(圓周率按計算)正三角形ABC的邊長是6厘米，在一條直線上將它翻滾幾次，使點再次落在這條直線上，那么點在翻滾過程中經(jīng)過的路線總長度是多少厘米？如果三角形面積是15平方厘米，那么三角形在滾動過程中掃過的面積是多少平方厘米？（用π的式子表示）【鞏固】如圖，一條直線上放著一個長和寬分別為4CM和3CM的長方形Ⅰ．它的對角線長恰好是5CM．讓這個長方形繞頂點B順時針旋轉(zhuǎn)90度后到達長方形Ⅱ的位置，這樣連續(xù)做三次，點A到達點E的位置．求點A走過的路程的長．（用π的式子表示）如圖所示，直角三角形的斜邊長為10厘米，，此時長5厘米．以點為中心，將順時針旋轉(zhuǎn)，點、分別到達點、的位置．求邊掃過的圖形即圖中陰影部分的面積．(取3)（用π的式子表示）【鞏固】（2006年數(shù)學(xué)解題能力高年級初試8題）如下圖，△ABC是一個等腰直角三角形，直角邊的長度是1米?，F(xiàn)在以C點為圓點，順時針旋轉(zhuǎn)90度，那么，AB邊在旋轉(zhuǎn)時所掃過的面積是多少平方米（=3.14）如圖30-14，將長方形ABCD繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD邊掃過部分的面積．(取3.14)【鞏固】(祖沖之杯競賽試題)如圖，是一個長為，寬為，對角線長為的正方形，它繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，分別求出四邊掃過圖形的面積．(2004年第九屆華杯賽初賽)半徑為25厘米的小鐵環(huán)沿著半徑為50厘米的大鐵環(huán)的內(nèi)側(cè)作無滑動的滾動，當(dāng)小鐵環(huán)沿大鐵環(huán)滾動一周回到原位時，問小鐵環(huán)自身轉(zhuǎn)了幾圈？【鞏固】如圖所示，大圓周長是小圓周長的()倍，當(dāng)小圓在大圓內(nèi)側(cè)(外側(cè))作無滑動的滾動一圈后又回到原來的位置，小圓繞自己的圓心轉(zhuǎn)動了幾周？課堂檢測課堂檢測1、下圖是一個直徑為3的半圓，讓這個半圓以A點為軸沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60度,此時B點移動到B’點，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）2、如圖，四個小圓為完全相同的圓，且半徑為2，如圖，求陰影部分的面積。3、長方形的長為10，寬為4，求圖中陰影部分的面積。（π取3）4、直角三角形放在一條直線上，斜邊長厘米，直角邊長厘米．如下圖所示，三角形由位置Ⅰ繞點轉(zhuǎn)動，到達位置Ⅱ，此時，點分別到達，點；再繞點轉(zhuǎn)動，到達位置Ⅲ，此時，點分別到達，點．求點經(jīng)到走過的路徑的長．（用π的式子表示）5、有三個面積都是S的圓放在桌上,桌面被圓覆蓋的面積是2S+2,并且重合的兩塊是等面積的,直線a過兩個圓心A、B,如果直線a下方被圓覆蓋的面積是9,求圓面積S的值.復(fù)習(xí)總結(jié)復(fù)習(xí)總結(jié)在解決圓與扇形的組合圖形時，先觀察圖形中自己會求得圖形的面積，然后再分析如何利用這幾個圖形來求組合圖形的面積。解決旋轉(zhuǎn)圖形的問題時，要認(rèn)真分析運動著的物體所經(jīng)過的路線或范圍。家庭作業(yè)家庭作業(yè)1、如圖所示，圓的半徑為4，BC=10，求陰影部分的面積。（用π的式子表示）2、如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．（用π的式子表示）3、在桌面上放置平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，1，2，3，部分的面積和為80，張紙片共同重疊的面積是陰影部分，求陰影部分得面積。4、一個正方形的邊長為2，它的一半是一個等腰直角三角形，逆時針旋轉(zhuǎn)90度，得到如下圖型，求陰影部分得面積。（用π的式子表示）5、(2008年“學(xué)而思杯”數(shù)學(xué)試題)如圖，直角三角形中，為直角，且厘米，厘米，則在將繞點順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，邊掃過圖形的面積為．()6、如果半徑為25厘